Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве




НазваниеТри координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве
страница1/6
Дата публикации30.01.2014
Размер0.57 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Астрономия > Документы
  1   2   3   4   5   6


Начертательная геометрия. Курс Лекций

2013г.

ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ЧЕРТЕЖ. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ
Любой предмет пространства может рассматриваться как определенная совокупность отдельных точек этого пространства. Поэтому для изображения различных предметов пространства необходимо научиться строить изображения отдельной точки пространства.

Таким образом, изучение метода построения ортогонального чертежа начнем с изучения проецирования точки.

Представим в пространстве три взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 6, а):

1 - горизонтальную плоскость проекций;

2 - фронтальную плоскость проекций;

3 - профильную плоскость проекций.

Для наглядного изображения плоскостей проекций взята так называемая кабинетная проекция1, известная из курсов геометрии и черчения средней школы.

Плоскости проекций пересекаются по прямым, которые называются осями проекций и обозначаются x, y и z. Точка О – точка пересечения всех трех осей проекций – называется началом координат.


Рис. 6


Представим себе также в пространстве некоторую точку ^ А. Для того, чтобы получить проекцию точки A на горизонтальную плоскость проекций 1, необходимо провести через эту точку прямую, перпендикулярную плоскости 1, и найти точку пересечения A этой прямой с плоскостью 1. Точка A называется горизонтальной проекцией точки A. Путем ортогонального проецирования точки A на фронтальную 2 и профильную 3 плоскости проекций образуются ее фронтальная и профильная проекции (соответственно точки A и A).

Длины отрезков, измеряемые некоторой установленной единицей длины и равные расстояниям от точки А до горизонтальной 1, фронтальной 2 и профильной 3 плоскостей проекций, называются прямоугольными (декартовыми) координатами:

  • по оси x - абсцисса, равная отрезку xA=AA;

  • по оси y - ордината, равная отрезку yA=AA;

  • по оси z - аппликата, равная отрезку zA=AA.

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве.

Взаимно перпендикулярные плоскости, изображенные на рис. 6, дают нам пространственный чертеж. Для получения всех трех проекций точки в одной плоскости чертежа все три плоскости проекций 1, 2 и 3 условно совмещают с плоскостью чертежа. Это совмещение выполняется следующим образом.

Фронтальная плоскость проекций 2 принимается за плоскость чертежа, горизонтальная плоскость проекций 1 совмещается с плоскостью чертежа вращением вокруг оси x, а профильная плоскость проекций 3 - вращением вокруг оси z. Направление вращения на рис. 6, а показано стрелками.

При совмещении плоскости 1 с плоскостью чертежа положительное направление оси y совмещается с отрицательным направлением оси z, а отрицательное направление – с положительным направлением оси z. На чертеже изображение этой оси y принято обозначать y1 (рис. 6, б).

При совмещении плоскости 3 с плоскостью чертежа положительное направление оси y совмещается с отрицательным направлением оси x, а отрицательное направление – с положительным направлением оси x. На чертеже изображение этой оси y принято обозначать y3.

В результате образуется ортогональный чертеж или эпюр (от франц. epure - чертеж, проект). На эпюре изображаются только проекции геометрических объектов, а не сами объекты.

Любые две проекции точки, изображенные на эпюре, связаны между собой линией проекционной связи, перпендикулярной оси проекций (на чертеже она обозначается штриховой линией):

  • горизонтальная и фронтальная проекции (точки А и А) расположены на линии проекционной связи, перпендикулярной оси x;

  • фронтальная и профильная проекции (точки А и А) - на линии проекционной связи, перпендикулярной оси z;

  • горизонтальная и профильная проекции (точки А и А) - на линии проекционной связи, перпендикулярной оси y.

Вследствие того, что отрезки ОАy1 и y3 являются изображением одной и той же координаты yA, точки Аy1 и Аy3 связывают дугой окружности с центром в начале координат.

Каждая проекция точки А определяется двумя координатами:

  • горизонтальная проекция А (xA; yA);

  • фронтальная проекция А (xA; zA);

  • профильная проекция А (yA; zA).

Положение точки А может быть задано как графически, так и аналитически. Пример графического изображения точки А рассмотрен нами на рис. 6. Аналитическая форма задания точки представляет собой числовое выражение трех координат точки А, измеряемое в выбранных единицах длины (например, запись А (3;2;3) означает, что xA =3, yA =2, zA =3).

От аналитической формы задания точки легко перейти к графическому изображению этой точки на ортогональном чертеже.
Пример 1. Построить проекции точки

В (-2;-3;1).
1. Выбираем единичный отрезок (рис.7).

2. С учетом знака откладываем на осях проекций координатные отрезки

xВ = ОВх = -2;

yВ = ОВy1 = ОВy3 = -3;

zВ = ОВz = 1.

3. Отмечаем точки Вx, Вy1, Вy3, Вz.

4. Из построенных точек Вx, Вy1, Вy3, Вz проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и на их пересечениях отмечаем проекции точки В:

В = (ВxВ  x)  (Вy1В  y1);

В = (ВxВ  x)  (ВzВ  z);

В = (Вy3 В  y3)  (ВzВ  z).
Две проекции точки, построенные на эпюре, однозначно определяют ее положение в пространстве. По двум проекциям заданной точки можно построить третью, и притом только одну.




^ Пример 2. Построение третьей проекции точки по двум заданным.


  1. Даны фронтальная и профильная проекции точки А (рис. 8):

– фронтальная проекция А определяется координатами xА = ОАx, zА = ОАz, А = (АxА  x)  (АzА  z);

- профильная проекция А определяется координатами yА = ОАy3, zA = ОАz, А = (Аy3 А  y3)  (АzА  z).

2. Из имеющихся проекций проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций и определяем координатные отрезки ОАx, ОАy, ОАz, равные соответствующим координатам точки А:

ОАx = xА, ОАy = yА, ОАz = zА.

3. На пересечении линий проекционной связи с осями проекций отмечаем точки Аx, Аy3, Аz.

4. Строим третью, горизонтальную проекцию точки АА (рис. 9). Горизонтальная проекция А определяется координатами:

xА = ОАx, yА = ОАy1, А = (АxА  x)  (Аy1А  y1).

При определении точки Ау1 по Ау3 перенос осуществляется с оси у3 на соответствующее по знаку направление оси у1 .
В зависимости от расположения точки относительно плоскостей проекций различают:

1) точки общего положения, не принадлежащие плоскостям проекций (например, точка А на рис. 6);

2) точки частного положения, лежащие в плоскостях проекций 1, 2, 3, на осях проекций x, y, z или в начале координат.

У точки общего положения все три координаты отличны от нуля.

Если точка лежит в плоскости проекций, то одна из ее координат равна нулю, по оси, перпендикулярной этой плоскости проекций.

Если точка лежит на оси проекций, то две другие ее координаты равны нулю.

Е
сли все три координаты точки равны нулю, то точка лежит в начале координат.

На рис. 10 изображена точка ^ С, принадлежащая горизонтальной плоскости проекций, а на рис. 11 - точка D, лежащая на оси y.



  1   2   3   4   5   6

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве iconЗакон движения частицы
Положение тела в пространстве определяют по отношению к другому телу, с которым связывают систему координат, например, декартову,...

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве iconМатериальная точка. Система отсчета. Кинематическое уравнение движения...
Размерами или расстояниями в пределах допущений исследуемой задачи. Положение материальной точки в пространстве определяется как...

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве iconБилет Понятие дифференциального уравнения. Математические модели,...

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве iconКак расставить транспорт и piсkup'ы без редактирования main scm
Итак, для начала определим координаты тех мест, где должны будут появляться наши объекты. Сделать это имхо лучше всего с помощью...

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве icon18. Нравственное воспитание
Структуру нравственности личности составляют три компонента знания, чув­ства и отношения, поведение. Они определяют задачи нравственного...

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве iconВ рамках проекта будет проведено 5 различных тематических выступлений
Первые три выступления должны пересказать нам основной ход Великой Отечественной Войны. Я однозначно считаю, что это никогда не будет...

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве iconПеречень вопросов к экзамену по дисциплине «Математика»
Прямоугольная декартова система координат в пространстве. Понятие прямоугольного базиса в пространстве

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве iconВербальном (физическом) пространстве, так и в дистанционном (виртуальном) пространстве
Речь идет о принципах, которые направлены на значительное улучшение социальных процессов, в которых участвует или с которыми соприкасается...

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве iconЭкзамен тесты 2012 2013 уч г. Предлагается по 28 вопросов Отметьте 1 неправильный ответ
Отметьте 1 неправильный ответ. Положение страны на международном рынке технологий определяют следующие факторы

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве iconВопросы по курсу общей и экспериментальной физики, раздел “механика”
Системы отсчета (их выбор). Материальная точка. Движение материальной точки. Вектор перемещения. Относительность движений. Скорость...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов