Исследование операций




Скачать 170.92 Kb.
НазваниеИсследование операций
Дата публикации24.08.2013
Размер170.92 Kb.
ТипИсследование
zadocs.ru > Экономика > Исследование
Содержание

1

Введение 2

Теоретическая часть 4

Постановка задачи нелинейного программирования. 4

Критерии оптимальности в задачах с ограничениями. 5

Графическое решение задач нелинейного программирования 5

Метод множителей Лагранжа 9

Практическая часть 14

Задачи 14

Решения 15

Заключение 21

Список используемой литературы: 23

Введение



Математические методы в экономике — научное направление в экономике, посвящённое исследованию экономических систем и процессов с помощью математических моделей. Включают в себя:

  • Математическую экономику;

  • Эконометрику;

  • Исследование операций;

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Одним из самых перспективным направлений в математических методах в экономике на данный момент является экономико-математическое моделирование с использованием комплексных переменных (статья "Экономико-математическое моделирование с использованием комплексных переменных"), направление разрабатываемое в Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов.

Разработка нечисловой экономики (на основе статистики объектов нечисловой природы) ведется в МГТУ им.Н.Э.Баумана совместно с ЦЭМИ РАН управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. Например, прогнозы социально-экономического развития РФ, разрабатываемые МЭРТ, основаны на математическом анализе ретроспективных показателей (динамики инфляции, ВВП и т. д.) и строятся с применением таких разделов эконометрики и прикладной статистики, как корреляционный анализ, регрессионный анализ, метод главных компонент, факторный анализ и т. д.

Новым направлением в современной экономической науке является

реализация так называемого экономического эксперимента, суть которого заключается в математическом моделировании экономических ситуаций с учётом психологического фактора (ожиданий участников рынка).

Центральный экономико-математический институт Академии наук СССР, ныне Российской Академии наук (сокращенно ЦЭМИ РАН) создан в 1963 г. по инициативе академика В.С.Немчинова на базе организованной им в 1958 г. Лаборатории экономико-математических методов. В качестве главной цели при создании института было провозглашено внедрение математических методов и ЭВМ в практику управления и планирования, создание теории оптимального управления народным хозяйством. В настоящее время эта цель трансформировалась в развитие фундаментальной теории и методов моделирования экономики переходного периода, разработку экономико-математического инструментария и программно-алгоритмических средств анализа экономики.
^

Теоретическая часть

Постановка задачи нелинейного программирования.



Если в линейном программировании обязательным является условие, согласно которому целевая функция и все ограничения должны быть представлены только линейными зависимостями, то в задачи нелинейного программирования могут входить зависимости любого вида. Поэтому в общем виде задача нелинейного программирования состоит в определении максимального (минимального) значения функции при условии, что ее переменные удовлетворяют соотношениям (1)

(2)

При этом предполагается, что известны функции переменных и, а - заданные числа. Обычно на некоторые переменные накладывается условие неотрицательности. Кроме того, ограничением может служить условие целочислености решения для ряда переменных.

Класс задач нелинейного программирования шире класса задач линейного программирования. Например, производственные затраты в большинстве случаев не пропорциональны объему выпуска, а зависят от него нелинейно, доход от реализации продуктов производства оказываются нелинейной функцией цен и т.д. Критериями в задачах оптимального планирования часто служат максимум прибыли, минимум себестоимости, минимум капитальных затрат; в качестве переменных величин выступают объемы выпуска различных видов продукции; в число ограничений входят производственные функции, характеризующие связь между выпуском продукции и затратами трудовых и материальных ресурсов, объем которых лимитирован.
^

Критерии оптимальности в задачах с ограничениями.



Ряд инженерных задач связан с оптимизацией при наличии некоторого количества ограничений на управляемые пере­менные. Такие ограничения существенно уменьшают размеры об­ласти, в которой проводится поиск оптимума. На первый взгляд может показаться, что уменьшение размеров допустимой области должно упростить процедуру поиска оптимума. Между тем, напро­тив, процесс оптимизации становится более сложным, поскольку установленные выше критерии оптимальности нельзя использовать при наличии ограничений. При этом может нарушаться даже ос­новное условие, в соответствии с которым оптимум должен достигаться в стационарной точке, характеризующейся нулевым гра­диентом. Например, безусловный минимум функции имеет место в стационарной точке х=2. Но если задача минимиза­ции решается с учетом ограничения , то будет найден условный минимум, которому соответствует точка x=4. Эта точка не является стационарной точкой функции f, так как (4)=4. Далее исследуются необходимые и достаточные условия оптимальности решений задач с ограничениями.
^

Графическое решение задач нелинейного программирования



Существующие методы нелинейного программирования применимы лишь при известных предположениях о характере ограничений и целевой функции задачи.

Система ограничений (2) отделяет область допустимых решений. В отличие от задачи линейного программирования она не всегда является выпуклой. Даже если область допустимых решений является выпуклой, то в ряде задач целевая функция может иметь несколько локальных экстремумов. С помощью большинства же вычислительных методов можно найти точку локального оптимума, но нельзя установить, является ли она точкой глобального (абсолютного) оптимума или нет.

На рис.1 показана выпуклая область (круг, шар, куб) для нее отрезок ABD, а точка P является точкой абсолютного минимума. Для невыпуклой области (рис.2) отрезок ABD целиком. Точки M и N являются точками минимума, но для области D точка N точкой абсолютного минимума не является. Поэтому будем говорить, что в точке M достигается глобальный минимум, а в точке N достигается локальный минимум.

В задачах нелинейного программирования точка экстремума может лежать в вершине многогранника, на ребре (грани) или внутри области. Если задача содержит нелинейные ограничения, то область допустимых решений не является выпуклой и кроме глобального оптимума могут существовать точки локального оптимума. Для того чтобы при решении задач нелинейного программирования имелась уверенность, что полученный оптимальный план отвечает именно глобальному оптимуму, достаточно, чтобы область допустимых решений была выпуклой, а целевая функция – вогнутой (для задач на max) или выпуклой (для задач на min). Экономические задачи очень часто отвечают этим условиям.

Процесс нахождения решения задач нелинейного программирования (1) и (2) с использованием ее геометрической интерпретации включает следующие этапы:

  1. Находят область допустимых решений задачи, определяемую соотношениями (2) (если она пуста, то задача не имеет решений);

  2. Строят гиперповерхность (гиперповерхность – обобщение понятия поверхности –го порядка – гиперплоскость);

  3. Определяют гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня или устанавливают неразрешимость задачи из-за неограниченности функции (1) сверху (снизу) на множестве допустимых решений;

  4. Находят точку области допустимых решений, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня, и определяют в ней значение функции (1).

Пример 1.

Найти минимальное и максимальное значения функции



При ограничениях



Находим область допустимых решений – многоугольник OABC (рис. 3)

Строим линию уровня



где - некоторая постоянная и исследуем ее поведение при различных значениях . Преобразуем линию уровня .

При каждом значении получаем параболу, которая тем выше отдалена от оси OX, чем больше значение .

Значит функция Z принимает оптимальные значения в точке касания одной из парабол с границей многоугольника OABC.

Минимальное значение в точке E:

Решая эту систему, найдем, что , т.е в точке E (3;0).

Максимальное значение в точке D:

Отсюда и в точке D(3;4).

Точки, соответствующие оптимальным значениям функции Z не являются вершинами многоугольника допустимых решений. Поэтому процедура перебора вершин, которая использовалась при решении задач нелинейного программирования, неприменима для решения данной задачи.

Пример 2.

Найти максимальное и минимальное значение функции



При условиях




Областью допустимых решений системы неравенств является многоугольник OABC (рис.4).

Полагая значения целевой функции равным некоторому числу , получаем линии уровня ,а именно окружности



С центром M(1;5) и радиусом . С увеличением (уменьшением) числа значения функции Z соответственно увеличиваются (уменьшаются).

Проводя из точки М окружности разных радиусов, видим, что минимальное значение целевая функция принимает в точке D, в которой окружность касается области решений.

Для определения координат этой точки воспользуемся равенством угловых коэффициентов прямой и касательной к окружности в точке D. Из уравнения прямой следует, что ее угловой коэффициент равен . Для нахождения углового коэффициента касательной берем уравнение окружности и, рассматривая как неявную функцию переменной , дифференцируем уравнение окружности отсюда .

Приравнивая найденную производную числу , получаем одно из уравнений для определения координат точки D. Присоединяя к нему уравнения прямой, на которой лежит точка D, имеем систему:

Откуда т.е. D(2;3).

Таким образом,

Из рис. 4 видно, что максимальное значение функции Z будет в точке С(4;0) и при этом Zmax=34.

^

Метод множителей Лагранжа



С помощью метода множителей Лагранжа по существу устанавливаются необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в задачах оптимизации с ограничениями в виде ра­венств. При этом задача с ограничениями преобразуется в эквива­лентную задачу безусловной оптимизации, в которой фигурируют некоторые неизвестные параметры, называемые множителями Ла­гранжа.

Пусть задана задача математического программирования: максимизировать (минимизировать) функцию (3)

при ограничениях . (4)

Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому для ее решения можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума функций нескольких переменных. При этом полагаем, что функции и непрерывны вместе со своими первыми частными производными.

Вводим набор переменных , называемых множителями Лагранжа и составляем функцию Лагранжа:

. (5)

Определяем частные производные и рассматриваем систему уравнений (6) с неизвестными .

Всякое решение системы (6) определяет точку , в которой может иметь место экстремум функции. Следовательно, решив систему (6), получают все точки, в которой функция (3) может иметь экстремальные значения. При этом неизвестен способ определения точек глобального минимума или максимума. Дальнейшее исследование найденных точек проводят так же, как и в случае безусловного экстремума, т.е. если для функции (3) существуют вторые частные производные и они непрерывны, то можно вывести достаточное условие существования локального экстремума функции в точке, являющейся решением системы (6). Однако практическое значение этого условия невелико.

Метод множителей Лагранжа имеет ограниченное применение, так как система (6), как правило, имеет несколько решений.

Пример 3.

Найти точки экстремума функции при условии .

Составим функцию Лагранжа .

Найдем ее частные производные по , приравнивав их к нулю:



Решение системы . Таким образом, в точке данная функция может иметь условный экстремум.

Найдем .

Далее .

Так как и , то в точке имеем условный минимум, причем .

Пример 4.

Обработка статистических данных показала, что производственная функция, связывающая выпуск готовой продукции предприятия с численностью рабочих и производственными фондами , имеет вид . Общие затраты предприятия на заработную плату и оборудование определяются соотношением .

Нужно определить затраты предприятия на покупку оборудования и расходы на заработную плату, при которых выпуск продукции будет максимальным.

Для решения составляем функцию Лагранжа:

.

Находим частные производные этой функции по и, исходя из необходимого условия экстремума функции Лагранжа, приравниваем их к нулю.

Получим систему:



Отсюда и тогда . Находим, что . Получаем .

Теперь необходимо убедиться, что в точке (15;30) функция F достигает max. Для этого рассмотрим окрестность точки (15;30) и составим приращение функции

.

Так как по условию , или , то ,или .

Подставим это соотношение в :

при любом .

Это показывает, что в точке функция Лагранжа достигает max, равного .
^

Практическая часть

Задачи


Задача 1.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции при:



Задача 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции при:

Задача 3.

Найти точки экстремума функции при условии, что .
Задача 4.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции при:

Решения



Задача 1.
Областью допустимых решений системы неравенств является выделенный многоугольник (рис.5), построенный по координатам, данным ниже:

(1)

x1

0

2




x2

1

0












































x1

0

6

x2

6

0

x1

0

5.5

x2

11

0
(2) (3)

Полагая значения целевой функции равным некоторому числу , получаем линии уровня, а именно окружности



С центром A(7;3) и радиусом . С увеличением (уменьшением) числа значения функции Z соответственно увеличиваются (уменьшаются).

Проводя из точки A окружности разных радиусов, видим, что минимальное значение целевая функция принимает в точке B, в которой окружность касается области решений.

Для определения координат этой точки воспользуемся равенством угловых коэффициентов прямой и касательной к окружности в точке B. Из уравнения прямой следует, что ее угловой коэффициент равен . Для нахождения углового коэффициента касательной

берем уравнение окружности и, рассматривая как неявную функцию переменной , дифференцируем уравнение окружности отсюда .

Приравнивая найденную производную числу, получаем одно из уравнений для определения координат точки B. Присоединяя к нему уравнения прямой, на которой лежит точка B, имеем систему:

Откуда т.е. B(5;1).

Таким образом,

Из рис. 5 видно, что координаты точки C(0;6), а точки D(2;0). Максимальное значение функции Z будет в точке С(0;6) и при этом

.
Задача 2.

Областью допустимых решений системы неравенств выделенный является многоугольник (рис.6), построенный по координатам, данным ниже:

(1)

x1

0

12

x2

8

0

(2)

x1

0

15

x2

7,5

0

Представим целевую функцию Z в виде суммы квадратов, полагая значения Z равным некоторому числу .Представим :

получаем линии уровня, а именно окружности

С центром A(1;3), лежащей в области допустимых решений и являющейся минимальным значением целевой функции, и радиусом . С увеличением (уменьшением) числа значения функции Z соответственно увеличиваются (уменьшаются).

Проводя из точки A окружности разных радиусов, видим, что максимальное значение целевая функция принимает в точке С, в которой окружность касается области решений.

Для определения координат точки B воспользуемся равенством угловых коэффициентов прямой и касательной к окружности в этой точке. Из уравнения прямой следует, что ее угловой коэффициент равен. Для нахождения углового коэффициента касательной берем уравнение окружности и, рассматривая как неявную функцию переменной , дифференцируем уравнение окружности отсюда .

Приравнивая найденную производную числу, получаем одно из уравнений для определения координат точки B. Присоединяя к нему уравнения прямой, на которой лежит точка B, имеем систему:

Откуда т.е. B(2,6;6,2).

Из рис. 6 видно, что координаты точки C(12;0), а точки D(0;8).
Максимальное значение функции Z будет в точке С(12;0) и при этом







Задача 3.

Составим функцию Лагранжа .

Найдем ее частные производные по , приравнивав их к нулю:



Решение системы . Таким образом, в точке данная функция может иметь условный экстремум. Найдем .

Так как и , то в точке имеем условный минимум, причем .
Задача 4.

Найдем частные производные по :



Условие (a)

- не подходит;

Условие (b)

- подходит;

Условие (c)

- не подходит;
Условие (d)

- не подходит;
В точке О имеем условный минимум, причем , но указать глобальный минимум нет возможности.



Заключение


В даной курсовой работе были рассмотрен процесс нахождения решения задачи нелинейного программирования с использованием ее геометрической интерпретации и с помощью метода множителей Лагранжа.

Исследование операций – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.

Управление любой системой реализуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществления данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие процесс и внешние условия, измерены. Следовательно, цель исследования – количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.

При решении конкретной задачи управления применение методов исследования операций предполагает:

  • Построение математических моделей для задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;

  • Изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия.

Трудности применения классических методов оптимизации заключаются в том, что применение этих методов весьма ограничено, так как задача определения условного экстремума функции переменных технически весьма трудна: методы дают возможность определить локальный экстремум, а из-за многомерности функции определение ее максимального (минимального) значения (глобального экстремума) может оказаться весьма трудоемким – тем более, что этот экстремум возможен на границе области решений. Классические методы вовсе не работают, если множество допустимых значений аргумента дискретно или функция Z задана таблично.

Поэтому разработаны приближенные методы решения задач программирования, особенно плодотворные для некоторых классов функций, например, для выпуклых (вогнутых) функций.

Список используемой литературы:





  1. Шапкин А. С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник. – 2-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2005. – 400 с.

  2. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов под редкцией проф. Кремера Н. Ш. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 407с.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Исследование операций iconТ е. операций увеличения собственного капи­тала и операций привлечения...
Указанные ресурсы формируются путем проведения банком пас­сивных операций, т е операций увеличения собственного капи­тала и операций...

Исследование операций iconИсследование операций” Модель и эффективность операции
Индивидуальные задания для решения задач линейного программирования графическим методом

Исследование операций iconИсследование операций
Переход от одного опорного решения к другому. Выражение целевой функции через свободные переменные. Оценки свободных переменных

Исследование операций iconИсследование документов или хозяйственных операций
Контроль за производственной, хозяйственной и финансовой деятельностью предприятий, организаций, учреждений является хозяйственным...

Исследование операций iconИсследование операций/систем и управленческие информационные системы (уис) 11
Собранные вместе, эти материалы дают широкую историческую картину раз­вития идей и реальных практических методов деятельности, способствовавших...

Исследование операций iconИсследование операций сравнительно молодая наука, возникла в Англии...
Системный анализ занимается исследованием сложных систем различной природы: технических, экономических, экологических

Исследование операций iconУчет и оформление расчетных операций
В связи с этим представляется целесообразным остановиться на ключевых моментах организации бухгалтерского учета и оформления расчетных...

Исследование операций iconИсследование: установление контакта с сопротивлением 64 Самостоятельное...
Седона-метод: Избавьтесь от эмоциональных проблем и живите так, как всегда мечтали. 1

Исследование операций iconИсследование: установление контакта с сопротивлением 75 Самостоятельное...
Седона-метод: Избавьтесь от эмоциональных проблем и живите так, как всегда мечтали. 1

Исследование операций iconИсследование: установление контакта с сопротивлением 64 Самостоятельное...
Седона-метод: Избавьтесь от эмоциональных проблем и живите так, как всегда мечтали. 1

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов