Образован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение




НазваниеОбразован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение
страница2/5
Дата публикации29.06.2013
Размер0.63 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Физика > Документы
1   2   3   4   5
Глава 9.^ СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Закон распределения энергии по степеням свободы молекулы

Полученное выражение для средней энергии молекулы учитывает только энергию ее поступательного движения, наряду с которым возможны также вращательное движение молекулы и колебания атомов в ней. Оба этих движения связаны с некоторым запасом энергии, величину которого нам предстоит установить. Представление о соотношении энергии различных видов движения молекул – поступательного, вращательного и колебательного -- устанавливается из закона о равнораспределении энергии по степеням свободы. Понятие степени свободы тела или системы тел дано в механике. Наименьшее число независимых координат, которые полностью определяют положение тела в пространстве, называют числом степеней свободы тела i. Положение точки, движущейся по прямой, определяется одной координатой, т.е. она обладает одной степенью свободы i= 1. Точка, перемещающаяся по плоскости, имеет две степени свободы i = 2, т.к. ее положение задается в любой момент времени двумя координатами. Положение материальной точки в пространстве задается 3-мя координатами, она имеет 3 степени свободы, т.е. ее движение можно разложить на составляющие в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Как следует из опытов, при определении числа степеней свободы молекул следует рассматривать атомы как материальные точки. Следователь-

но, одноатомной молекуле следует при-

писывать 3 (поступательные) степени сво-

боды.Так одноатомные молекулы инерт-

ных газов (Ar, He, Ne, Kr, Xe) имеют i= 3.

При определении числа степеней сво-

боды двух- и трехатомных молекул Рис. 50.

представим их в виде жестко связанных атомов. Двухатомная молекула с жесткой связью может быть представлена в виде гантели (рис. 50). Центр инерции может перемещаться по 3-м степеням свободы поступательно. Кроме того, молекула может вращаться относительно двух осей – оси Y и оси Z .

Вращением относительно оси X можно пренебречь, т.к. мы считаем, что атомы - это материальные точки и момент инерции их относительно оси X равен нулю. Следовательно, двухатомная молекула обладает пятью степенями свободы( i = 5), из которых три поступательные и две вращательные.



Рис. 51.

Трехатомная молекула с жесткой связью атомов в них представлена схематически на рис. 51. Такая молекула может перемещаться, как целое (ее центр инерции), поступательно по трем направлениям –осям X,Y,Z, а также вращаться вокруг этих осей. Т.е. такая молекула обладает шестью степе- нями свободы (i=6) - тремя поступательными и тремя вращательными.

У молекул с упругой (нежесткой) связью между атомами добавляются колебательные степени свободы ( у двухатомной – одна, у трехатомной –три).

Движение молекул носит, как известно, беспорядочный характер. Причем не только по направлениям, но и по другим видам движения. Ни один из видов движения молекулы не имеет преимущества перед другими. Поэтому кинетическая энергия распределяется между всеми видами движения в среднем пропорционально числу степеней свободы для

каждого вида движения.

^ Закон равнораспределения энергии по степеням свободы формулируется следующим образом: статистически в среднем на каждую степень свободы молекулы приходится одинаковая энергия.

Поступательное движение характеризуется тремя степенями свободы, а средняя энергия поступательного движения молекулы, равна



Следовательно, на одну степень свободы приходится энергия, равная kT/2. В общем случае для молекул, обладающих числом степеней свободы i, средняя кинетическая энергия будет равна

,

где i = iпост + iвращ + 2iколеб. Эта формула представляет количественное выражение закона равнораспределения энергии по степеням свободы молекул.

На одну колебательную степень свободы приходится двойная доля энергии, т.к. колебательное движение связано с кинетической и потенциальной энергией, а поступательное и вращательное движения - только с кинетической. При этом среднее значение кинетической и потенциальной энергии колебательного движения оказывается одинаковым.

^ Закон распределения молекул идеального газа по скоростям

и энергиям теплового движения Максвелла

Молекулы газа движутся хаотично. Величины и направления скоростей молекул изменяются в результате весьма частых (до 109 с-1) соударений с другими молекулами. Так как все направления движения равновероятны, то распределение движения молекул по направлениям будет равномерным, т.е. в каждом из выбранных направлений будет двигаться равное число молекул. Вместе с тем возможные численные значения скорости отнюдь неравновероятны, они могут изменяться в широких пределах. Вследствие соударений с другими молекулами молекула может приобрести энергию существенно большую, чем ее средняя энергия < ε>. Однако, даже если одна молекула отберет энергию у всех остальных молекул, то и тогда ее энергия будет конечной, т.е. скорость молекулы газа вообще не может иметь значения выше некоторого значения vmax , а тем более v = ∞.



Вероятность того, что скорости окажутся слишком большими или слишком малыми по сравнению со средней, практически невелика и значения скоростей группируются около некоторого наиболее вероятного значения. Воспользуемся способом моментальной “фотографии“. Возьмем горизонтальную ось скоростей. Крестиками на оси скоростей отметим значения скоростей молекул, зафиксированные в какой-то момент времени. Качественная картина распределения молекул вдоль оси скоростей будет такой, как на рис.52.

Плотность точек ρ ( она определена формулой 9.1) вдоль оси будет неравномерной и, очевидно, будет зависеть от величины скорости v, так как зависит от выбора места интервала скоростей Δv

, (9.1)

где Δv - интервал скоростей от v до (v + Δv); ΔNv - число молекул, обладающих скоростями в интервале значений от v до (v + Δv).

Если взять несколько порций газа при одинаковых давлении P и температуре Т в идентичных условиях, то плотность точек на оси v будет пропорциональна числу молекул N в каждой порции газа, а одинаковым для всех порций газа будет отношение



Функция f(v) называется функцией распределения молекул по скоростям. Величина дает вероятность того, что скорость молекулы будет иметь значение в пределах данного интервала скоростей Δv.

Сумма этой величины по всему диапазону скоростей от 0 до ∞ будет равна 1: , поскольку скорость молекулы обязательно принимает какую-либо величину в интервале от 0 до ∞ . Вероятность этого есть вероятность достоверного события и, следовательно, равна 1, т.е.



Вид функции распределения молекул по скоростям получен Максвеллом и она носит его имя



где m - масса молекулы; k - постоянная Больцмана; T –температура; А - множитель, не зависящий от скорости. Величины стоящие в показателе степени, характеризуют среднее значение энергии молекулы. Экспонента убывает быстрее, чем возрастает v2, поэтому функция f (v)

(рис. 53), достигнув максимума, будет асимптотически стремиться к нулю.

Коэффициент А находят из условия нормировки:

или



Этот интеграл будет равен 1,

если коэффициент А равен

. Окончательный вид функции распределения представляется выражением:



График функции дан на рис. 53. Эта функция зависит от рода газа (m) и параметра состояния (Т). Давление и объем на функцию распределения f (v) не влияют. Скорость, отвечающая максимуму распределения, называется вероятной vвер и является наиболее вероятной. Выражение для vвер можно получить, продифференцировав и приравняв эту производную нулю:

.

При v=0 и v=∞ функция имеет минимумы, а из условия отвечающее условию максимума функции при v=vвер.

.

С ростом температуры максимум распределения смещается в сторону больших скоростей (рис. 54). Зная распределение молекул по скоростям, можно найти среднее значение скорости ар> (среднеарифметическое), а также среднее значение квадрата скорости 2кв>:



Оценка средней скорости молекул кислорода (М=32 кг/кмоль) при нормальных условиях даст величину порядка 500м/с, а для водорода -порядка 2 км/с.Относительные количества молекул ΔN/N для различных интервалов скоростей приведены в таблице

v/vвер

0 - 0,5

0,5 - 1,5

1,5 - 2

2 - 3

> 3

>5

ΔN/N (%)

8

70,7

16,6

4,6

0,04

8 ∙10-9

Как видно из таблицы, более чем у 70% всех молекул скорость отличается от наиболее вероятной не больше, чем на 50% . Скоростью, более чем в три раза превышающей vвер , обладают в среднем только 0,04% молекул.

Экспериментальная проверка закона распределения молекул по скоростям проведена в опытах Штерна (1920 г.) и Ламмерта (1929 г.).

Два коаксиальных цилиндра с радиусами R и r вращаются с одинаковой угловой скоростью ω (рис. 55). На оси цилиндров помещена платиновая нить, покрытая серебром. При нагревании нити молекулы серебра испаряются и вылетают через отверстие - щель в малом цилиндре. Если бы скорости молекул были одинаковыми, то на внутренней поверхности большого цилиндра появилось бы пятно, равное по размеру ширине отверстия-щели в малом цилиндре. Получилось же размытое пятно. Это качественно подтверждает справедливость распределения молекул по скоростям.
В опыте Ламмерта ( рис. 56) щели 1 и 2 смещены на угол Δ φ. Через вторую щель в диске пройдут молекулы, имеющие определенную скорость. Изменяя угловую скорость ω, можно снять полное распределение молекул по скоростям. Исходя из полного распределения молекул по скоростям, можно найти распределение молекул по значениям их кинетической энергии поступательного движения. Для этого нужно перейти от переменной v к переменной Производя замену и , получим функцию распределения молекул по энергиям


^ Распределение Больцмана

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Пусть Р давление газа на высоте h. Тогда давление на высоте h+dh будет P+dP, а разность давлений dP будет равна весу газа mg в объеме V с площадью основания S = 1 м2 и высотой dh (V=Sdh), отнесенному к S.



Выразим плотность газа ρ через давление P из уравнения Менделеева-Клапейрона



Тогда

Проинтегрируем отдельно левую и правую части уравнения. Считая температуру постоянной T=const, получим lnP = - , где С – постоянная интегрирования. Выражение для давления будет Постоянную интегрирования определяют из граничного условия. Если h = 0, то С = Р0 и тогда



Это уравнение носит название барометрической формулы и показывает зависимость давления газа от высоты.

Видно, что чем тяжелее молекулы и чем ниже температура, тем быстрее уменьшается давление с увеличением высоты.

Заменим в формуле давление, выразив его через концентрацию молекул из уравнений P = nkT, P0 = n0kT и



где n0 - концентрация молекул на высоте h=0;

n - концентрация молекул на высоте h≠0.

Данная формула описывает изменение концентрации молекул от высоты h в потенциальном поле земного тяготения и от температуры Т. Можно отметить две тенденции, определяющих распределение молекул по высоте:

1. Притяжение молекул к Земле (mg) стремится расположить их на поверхности Земли.

2. Тепловое движение (kT) стремится разбросать молекулы равномерно по всем высотам от 0 до .

В результате этих конкурирующих процессов распределение молекул газа по высоте имеет промежуточный вид.

Потенциальная энергия молекулы Р=mgh. Следовательно, полученная формула представляет собой распределение молекул по значениям потенциальной энергии



Это формула функции распределения Больцмана. Здесь n0 концентрация моле-кул в том месте, где Р = 0, n –концентрация молекул в той точке простран-ства, где молекула обладает потенциальной энергией p ≠ 0. Молекулы стремятся расположиться с наибольшей плотностью там, где у них минимальная потенциальная энергия



Закон Максвелла дает распределение молекул по значениям кинетической энергии, а закон Больцмана - по значениям потенциальной энергии.

Больцман доказал, что формула распределения справедлива не только в случае потенциального поля земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Контрольные вопросы

  1. Что такое степень свободы молекул?

  2. Чему равно число степеней свободы одно-, двух- и трехатомной молекул?

  3. Сформулируйте закон распределения энергии по степеням свободы молекул.

  4. Приведите выражение функции распределения молекул по скоростям.

  5. По каким формулам определяются среднеарифметическая, наиболее вероятная и среднеквадратичная скорости молекул?

  6. Каково выражение для функции распределения Больцмана по значениям потенциальной энергии?

Тесты

  1. чему равно число степеней свободы двухатомной молекулы?

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.

  1. Сколько степеней свободы приходится на вращательное движение у двухатомной молекулы?

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.

  1. Какое из приведенных выражений описывает наиболее вероятную скорость?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

  1. Какое из приведенных выражений является функцией распределения Больцмана?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Пример решения задач

Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1с, происходящий между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 270С и давлении 100кПа.

Дано: V = 2л = 2∙10-3м3; M = 32∙10-3кг/моль; T = 300K;

p = 100кПа = 105Па;

Найти:

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле:

(1)

где - эффективный диаметр молекулы кислорода; - число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения

(2)

где - постоянная Больцмана.

Подставляя (2) в (1), имеем

(3)

Число соударений , происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно

(4)

где - число молекул кислорода в сосуде объемом ; - среднее число соударений одной молекулы за 1с. Число молекул в сосуде

. (5)

Среднее число соударений молекулы за 1 с равно , (6)

где - среднеарифметическая скорость молекулы

(7)

Подставляя в (4) выражения (5),(6) и (7), находим



Проведем вычисления:

Глава 10.^ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
1   2   3   4   5

Похожие:

Образован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение iconОбразован в 1953 году Кафедра физики и высшей математики
Министерство образования российской федерации московский государственный университет технологий и управления

Образован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение iconОбразован в 1953 году
Настоящая работа является продолжением цикла учебно-практических пособий «Физика. Ч. 1 – Ч. 3»

Образован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение iconОбразован в 1953 году
Для студентов технологических специальностей всех форм обучения: 260201, 260202, 260203, 260204, 260302, 260401, 260501, 260504

Образован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение iconВологодский государственный технический университет Кафедра физики...
Данные методические указания написаны в соответствии с программой курса физики для технических специальностей в вузах. Пособие содержит...

Образован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение iconВиды технологизированного обучения на современном этапе
Обзор современных технологий обучения. Дайте краткую характеристику видов обучения (адаптивное обучение, инновационное, этнокультурное,...

Образован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение iconУчебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра...
Учебное пособие предназначено для студентов, специализирующихся в области магнетизма и физики твердого тела, а также радиофизики...

Образован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение iconРайон образован 20 августа 1930 года делением Аргаяшского кантона...
...

Образован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение iconСоздания ветеринарного факультета послужила кафедра основ ветеринарии,...
С. М. Воробьёв, приехавший из Ленинграда. На кафедре с 1953 года работали доцент В. В. Куликов (основы ветеринарии и акушерства),...

Образован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение icon1. Общая характеристика предприятия
Колхоз «Юбилейный» образован в 1968 году в результате реорганизации колхоза «Заря»

Образован в 1953 году Кафедра физики Дистанционное обучение iconКак проходит дистанционное обучение?
Базовый курс включает сеансы для активизации Ключевых Нервных Узлов, которые проходят каждый день подряд, в течении 5 дней и методические...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов