Решение. Определим нижнюю цену игры




Скачать 153.72 Kb.
НазваниеРешение. Определим нижнюю цену игры
Дата публикации30.01.2014
Размер153.72 Kb.
ТипРешение
zadocs.ru > География > Решение
Теория игр Контрольная работа Вариант 3

1.Для платежной матрицы определить нижнюю и верхнюю цену игры, минимаксные стратегии и оптимальное решение игры и седловую точку.
Краткая теория:

Матрица P = (aij ), i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям Ai и Bj , называется платежной матрицей.

Обозначим через αi , наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии Ai для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е.:



Среди всех чисел  (i=1, 2…m) выберем наибольшее. Назовем  нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно:



Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией.

Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию Bj , он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим



Среди всех чисел ^ Bj ; выберем наименьшее и назовем β верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно:



Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры α = β = v называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность — оптимальным решением, или решением игры.

Пара чистых стратегий Ai и Bj дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент aij , является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой.

Решение.

Определим нижнюю цену игры.





Таким образом

 - нижняя цена игры
Определим верхнюю цену игры.





Таким образом

 - верхняя цена игры.

следовательно, эта игра имеет решение в минимаксных стратегиях.

Минимаксные стратегия – столбец 1 (В1), строка 2 (А2).

Оптимальное решение – пара чистых стратегий (A2, B2), эта же пара стратегий и образует седловую точку.
2.Определите, решается ли игра в чистых стратегиях. Если решается, найдите решение (стратегии игроков и цену игры). Игра задана платежной матрицей .

Решение.

Сравним нижнюю и верхнюю цены игры. Если они совпадают, т.е. α = β = v, то это значит, что игра имеет решение в так называемых "чистых", минимаксных стратегиях.
Определим нижнюю цену игры.






Таким образом  - нижняя цена игры
Определим верхнюю цену игры.








Таким образом  - верхняя цена игры.

Следовательно, это игра решается в чистых стратегиях.

Минимаксные стратегии: B1, В3. (Столбцы, содержащие цену игры 6)

Максиминные стратегии: А2, A3. (Строки, содержащие цену игры 6)

3.Найдите решение игры в смешанных стратегиях. Игра задана платежной матрицей .

Краткая теория:

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий A1, A2, ..., Am с вероятностями p1, p2, ..., pi, ..., pm причем сумма вероятностей равна 1:


Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы:

или в виде строки  = (p1, p2, ..., pi, ..., pm). Аналогично для игрока B.
Решение.

Решить игру означает для каждого игрока найти оптимальную стратегию.
Определим нижнюю цену игры.





Таким образом

 - нижняя цена игры
Определим верхнюю цену игры.





Таким образом

 - верхняя цена игры.


Следовательно, платежная матрица не содержит седловой точки. Это значит, что игра не имеет решения в чистых минимаксных стратегиях, но она всегда имеет решение в смешанных стратегиях.

Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока А.

Если предположить, что игрок "В" будет пользоваться чистой стратегией B1, то средний выигрыш  составит:



C другой стороны, если предположить, что игрок "В" будет пользоваться чистой стратегией B2, то средний выигрыш составит:


Приравняв левые части уравнений, получим:

А с учетом того, что , имеем:

Отсюда найдем оптимальную частоту стратегии (раскрываем скобки и выносим общим множитель ):


Подставляем значения:



Теперь вычислим цену игры, подставив значения  в вышеприведенную формулу


Теперь найдем оптимальную стратегию для игрока B.

Теперь вероятность обозначим через .

Если предположить, что игрок "A" будет пользоваться чистой стратегией A1, то средний выигрыш  составит:



Поскольку цена игры  нам уже известна и учитывая, что q1 + q2 = 1, то оптимальная частота стратегии B1 может быть найдена как:


Подставим наши значения:



Отсюда


В итоге получаем следующие оптимальные стратегии:

Для игрока А

Для игрока В


Это и есть решение игры.
4. Игра задана платежной матрицей. Найдите оптимальные смешанные стратегии игроков А и В и цену игры графическим способом.




В1

В2

А1

4

7

А2

5

3


Решение.
Дадим геометрическую интерпретацию игре. Возьмем участок оси абсцисс единичной длины и проведем через его концы вертикальные прямые a1 и a2 соответствующие нашим стратегиям A1 и A2. Предположим теперь, что игрок "B" будет пользоваться стратегией B1 в чистом виде. Тогда, если мы (игрок "A") будем использовать чистую стратегию A1, то наш выигрыш составит 3.Отметим соответствующую ему точку на оси a1.
Если же мы будем использовать чистую стратегию A2, то наш выигрыш составит 4. Отметим соответствующую ему точку на оси a2.

Очевидно, если мы будем применять, смешивая в различных пропорциях стратегии A1 и A2, наш выигрыш будет меняться по прямой проходящей через точки с координатами (0 , 3) и (1 , 4), назовем ее линией стратегии B1 (показана красным цветом). Абсцисса любой точки на данной прямой равна вероятности p2 (частоте), с которой мы применяем стратегию A2, а ордината - получаемому при этом выигрышу k.

Предположим теперь, что игрок "B" будет пользоваться стратегией B2 в чистом виде. Тогда, если мы (игрок "A") будем использовать чистую стратегию A1, то наш выигрыш составит 6.Если же мы будем использовать чистую стратегию A2, то наш выигрыш составит 2. Аналогично, если мы будем смешивать в различных пропорциях стратегии A1 и A2, наш выигрыш будет меняться по прямой проходящей через точки с координатами (0 , 6) и (1 , 2), назовем ее линией стратегии B2. Как и в предыдущем случае, абсцисса любой точки на этой прямой равна вероятности, с которой мы применяем стратегию A2, а ордината - получаемому при этом выигрышу, но только для стратегии B2.



Получаем следующие значения:

v=4,6 – цена игры;

p2=0.60 – оптимальная частота для игрока А.


v=4.6 – цена игры;

q2=0.2 – оптимальная частота для игрока В.

Теперь найдем  и .





Теперь составим матрицы оптимальных стратегий.



5.Выбирая санаторную путёвку в туристической фирме, клиент руководствуется рекомендациями, ценой и местонахождением санатория.

Рекомендациям, цене и местонахождению санатория приписывается вес 15%,60 % и 25% соответственно. Клиенту предложили три путёвки.

Используя системный анализ для оценки санаториев, были получены приближенные следующие оценки







санатории




критерии

А

В

С

рекомендации

20%

35 %

45 %

цена

60%

25 %

15 %

местонахождение

40%

30 %

30 %

Найти оптимальный выбор путевки.

Решение.

Оценка трех кандидатов основана на вычислении комбинированного весового коэффициента для каждого из них.
Кандидат А:

Кандидат В:

Кандидат С:

На основе этих вычислений кандидат С получает наивысший комбинированный вес и, следовательно, будет выбран.

6.Пусть в распоряжении статиста имеется три стратегии А123. а у природы предполагается четыре возможные состояния В1, В2, В3, В4. Выигрыш статиста при каждой паре стратегий задан платежной матрицей.




В1

В2

В3

В4

А1

3

5

6

1

А2

3

2

5

5

А3

5

8

4

3

1)Построить матрицу рисков.

2)Найти оптимальную байесовскую стратегию с известными вероятностями состояния природы p1=0.2, p2=0.3, p3=0.4, p4=0.1 соответственно и средний выигрыш.

3) Найти оптимальную байесовскую стратегию, если не известны предпочтения ни одной гипотезы.

4)Вероятности состояния природы не известны. Требуется определить оптимальную стратегию, используя критерий Вальда.
Решение.

  1. Построим матрицу рисков.

Размер риска оценивается как разность rij = qi - qij.

Матрицу R = (), составленную из элементов rij (где i=1,2,...,m, а j=1,2,...,n), называют матрицей рисков.

Построим матрицу рисков по полученной выше матрице последствий.

Очевидно, что







Следовательно, матрица рисков имеет вид:





В1

В2

В3

В4

А1

7-4

8-7

4-3

6-5

А2

7-2

8-8

4-4

6-1

А3

7-7

8-2

4-4

6-6







В1

В2

В3

В4

А1

3

1

1

1

А2

5

0

0

5

А3

0

6

0

0




  1. Найти оптимальную байесовскую стратегию с известными вероятностями состояния природы p1=0.1, p2=0.2, p3=0.4, p4=0.3 соответственно и средний выигрыш.

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) , при которой максимизируется средний выигрыш или минимизируется средний риск .

Составим таблицу для определения среднего выигрыша.




В1

В2

В3

В4

А1

4∙0,1

7∙0,2

3∙0,4

5∙0,3

А2

2∙0,1

8∙0,2

4∙0,4

1∙0,3

А3

1∙0,1

2∙0,2

4∙0,4

6∙0,3






В1

В2

В3

В4



А1

0,4

1,4

1,2

1,5

4,7

А2

0,2

1,6

1,6

0,3

3,7

А3

0,1

0,4

1,6

1,8

2,9



Следовательно, оптимальной является стратегия 

3) Найти оптимальную байесовскую стратегию, если не известны предпочтения ни одной гипотезы.

В таком случае все варианты поведения природы заведомо считаются равновероятными, и оценивать стратегии мы будем с точки зрения минимизации рисков. Снова построим матрицу рисков:




В1

В2

В3

В4



А1

3

1

1

1

6

А2

5

0

0

5

10

А3

0

6

0

0

6

В этом случае оптимальными являются стратегии .

4) Вероятности состояния природы не известны. Требуется определить оптимальную стратегию, используя критерий Вальда.

Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.




В1

В2

В3

В4



А1

3

5

6

1

1

А2

3

2

5

5

2

А3

5

8

4

3

3



Следовательно, оптимальной является стратегия .

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение. Определим нижнюю цену игры iconИтак, напрасно было бы требовать от нас изложения всей истории и...
Игры: подобная задача не по плечу и куда более искушенным и достойным авторам. Решение ее удел будущего, если, разумеется, к тому...

Решение. Определим нижнюю цену игры iconРешение. 1 Определим стоимость оборотных средств на начало 1-го квартала
Определить величину прироста оборотного капитала на конец квартала, если известно

Решение. Определим нижнюю цену игры iconРешение По заданному закону движения колеса определим угловую скорость...
Колесо, радиусом r вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса со временем t описывается уравнением

Решение. Определим нижнюю цену игры iconДля Государственного экзамена по специальности 2-25 01 35 Бухгалтерский учет, анализ и контроль
Определите сумму ндс, включенного в цену изделия, и рассчитайте отпускную цену изделия, выпускаемого пк «Ветразь», исходя из данных,...

Решение. Определим нижнюю цену игры iconДля Государственного экзамена по специальности 2-25 01 35 «Бухгалтерский...
Определите сумму ндс, включенного в цену изделия, и рассчитайте отпускную цену изделия, выпускаемого пк «Ветразь», исходя из данных,...

Решение. Определим нижнюю цену игры iconРешение: Определим приведённую погрешность прибора
Если наибольшая абсолютная погрешность при измерении напряжения милливольтметром с верхним пределом измерения 100 мV при измерении...

Решение. Определим нижнюю цену игры iconРешение : Определение реакций опор. Рассмотрим внешние силы приложенные...
Определим усилия в стержнях фермы. Кроме внешних сил на каждый узел фермы действуют реакции сходящихся в ней стержней. Эти реакции...

Решение. Определим нижнюю цену игры iconИгры и упражнения для развития речи у детей от 1 до 3 лет
В данном разделе представлены игры, направленные на формирование звуковой культуры речи, пальчиковые игры, артикуляционная гимнастика,...

Решение. Определим нижнюю цену игры iconВопросы к экзамену по дифференциальным уравнениям группа нмб-11
Определение дифференциального уравнения первого порядка. Решение, общее решение, интегральная кривая, общий интеграл, задача Коши,...

Решение. Определим нижнюю цену игры iconРешение задач
Как избавиться от постоянного стресса? Как влияют на нас компьютерные игры, популярные фильмы и сериалы? Вредны ли препараты для...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов