Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева




НазваниеРешение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева
страница1/11
Дата публикации25.07.2013
Размер0.59 Mb.
ТипРешение
zadocs.ru > Информатика > Решение
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ЗАДАНИЕ № 1.

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева
Метод простых итераций
Требуется решить систему уравнений

, (1)
где – симметрическая, положительно определенная матрица. Метод простых итераций имеет вид
, (2)

где где – соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы или их оценки снизу и сверху. Можно положить
,

.
Из (2) следует, что

(3)

Полагаем начальное приближение Итерации продолжаются до тех пор, пока 3 последние итерации не будут совпадать с точностью до 6 знаков после запятой.

^ Метод Чебышева
Пусть – симметрическая, положительно определенная матрица. В явном методе Чебышева вместо итерационного процесса (2) используется следующий
, (4)



где – минимальное и максимальное собственные числа матрицы.





Метод Чебышева отличается от предыдущего метода тем, что число итерации задается в начале итерационного процесса. Особенностью метода Чебышева является то, что именно последняя n-я итерация считается верной. После выполнения всех итераций число n увеличивается, процедура повторяется.

Вычисления останавливаем, когда абсолютное значение между двумя последовательными повторениями становится не более чем
Задание.
Написать программы для решения системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева. Исходная система имеет вид:

,
где матрица
– искомый вектор-столбец.

Провести вычисления на ЭВМ.

Порядок выполнения.

  1. Оценить и .

  2. Вычислить для метода простых итераций и для метода Чебышева.

  3. Написать подпрограмму для расчета невязки

  4. Составить программу для метода простых итераций и провести вычисления с указанной точностью.

  5. Составить программу для метода Чебышева и провести вычисления с указанной точностью.


Варианты.


Вариант

a

b

Вариант

a

b

1

1

1

16

4

1

2

1

2

17

4

2

3

1

3

18

4

3

4

1

4

19

4

4

5

1

5

20

4

5

6

2

1

21

5

1

7

2

2

22

5

2

8

2

3

23

5

3

9

2

4

24

5

4

10

2

5

25

5

5

11

3

1

26

0

1

12

3

2

27

0

2

13

3

3

28

0

3

14

3

4

29

0

4

15

3

5

30

0

5


^ ЗАДАНИЕ № 2.
Приближённое вычисление интеграла

методом Симпсона
Для приближённого вычисления интеграла чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграла от которой вычисляется аналитически. За приближённое значение интеграла принимают интеграл от вспомогательной функции. В частности, если при вычислении подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трёх точках , то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона

,

где – остаточный член. Если непрерывна на , то

, .

С увеличением длины промежутка интегрирования точность простой формулы Симпсона в общем случае быстро падает.

Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Чтобы получить составную формулу Симпсона, разобьем отрезок на чётное число отрезков длины . Пусть , , . Применим простую формулу Симпсона к каждому из отрезков длины . После суммирования интегралов по всем отрезкам получаем составную формулу Симпсона

.

Алгебраический порядок точности формулы Симпсона равен трём. Это означает, что она точна для много членов до третьей степени включительно. Оценка погрешности формулы Симпсона по остаточному члену часто оказывается малоэффективной из-за трудностей оценки четвёртой производной подынтегральной функции.

На практике применяют правило Рунге. Для этого выбирают число кратное 2 и вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим это приближённое значение ). Затем вычисляют приближённое значение интеграла по формуле Симпсона с шагом (обозначим его ).

За приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле Симпсона с поправкой по Рунге, принимают

.

Погрешность этого результата приближённо оценивают величиной .

Задание. Составить программу вычисления по формуле Симпсона с поправкой Рунге. Оценить погрешность по Рунге. Произвести вычисления на ЭВМ.
Порядок выполнения на ЭВМ.

  1. Выбрать чётное число для составной формулы Симпсона.

  2. Написать подпрограмму-функцию для вычисления подынтегральной функции.

  3. Составить головную программу.

  4. Произвести вычисления по программе.


Варианты заданий.

1. 10.

2. 11.

3. 12.

4. 13.

5. 14.

6. 15.

7. 16.

8. 17.

9. 18.

19. 20.

21. 22.

23.

^ ЗАДАНИЕ № 3.
Приближённое вычисление интеграла

по квадратурной формуле Гаусса.
Алгебраический порядок точности квадратурной формулы Симпсона равен трём. Гауссом были построены квадратурные формулы наивысшего алгебраического порядка точности. В квадратурной формуле Гаусса



узлы и коэффициенты подобраны так, чтобы формула была точна для всех многочленов степени . Можно показать, что если – число узлов квадратурной формулы, то её алгебраический порядок точности не может быть выше . Для приближённого вычисления интеграла по конечному отрезку выполняем замену переменной ; тогда квадратурная формула Гаусса принимает вид

,

где ; – узлы квадратурной формулы Гаусса; – гауссовы коэффициенты; .

Можно показать, что узлы квадратурных формул Гаусса являются корнями многочленов Лежандра степени . Например, при для узлов получаем . При этом . Таким образом, квадратурная формула Гаусса



имеет такой же алгебраический порядок точности, что и формула Симпсона, но требует вычисления подынтегральной функции только в двух точках.

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то квадратурная формула Гаусса обеспечивает очень высокую точность при небольшом числе узлов, так как для погрешности формула Гаусса с узлами справедлива оценка

.

Концы отрезка интегрирования никогда не входят в число узлов формул Гаусса. Поэтому формулы Гаусса удобны для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций, если особые точки подынтегральной функции лежат на концах отрезка интегрирования. Так, формулы Гаусса позволяют вычислить интеграл , в то время как формула Симпсона здесь неприменима. Блок-схема вычисления интеграла по формуле Гаусса с восемью узлами: , ; ,;; ; , .

Задание. Вычислить .
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconМы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера...
...

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconЭкзамен за I семестр по математике
Решение систем линейных уравнений методом полного исключения неизвестных (метод Жордана-Гаусса.)

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение систем линейных уравнений методом Крамера
Понятие функции одной переменной, способы задания. Элементарные функции и их графики

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение уравнений и систем уравнений в Excel методом«Поиск решения»
Локальные и глобальные сети Принципы построения и основные топологии локальных cетей, прободные и беспроводные сети

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconМатематические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения
Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа
Кирхгофа, определить токи во всех ветвях, пользуясь любым известным методом расчета электрических цепей постоянного тока. Правильность...

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение системы
Решить систему методом Жордано Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconВопросы для подготовки к экзамену по математике
Решение системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconСписок вопросов по курсу «Вычислительная математика» для групп цнии...
Оценка погрешности для метода простых итераций решения уравнений. Геометрическая интерпретация метода

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconТема предмет и метод статистики 3
Расчет средней методом отсчета от условного нуля упрощенным способом (методом момента) 26

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов