Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева




НазваниеРешение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева
страница3/11
Дата публикации25.07.2013
Размер0.59 Mb.
ТипРешение
zadocs.ru > Информатика > Решение
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Пример. Найти корни уравнения с точностью .

Корни уравнения , легко отделяются графически. Они являются абсциссами точек пересечения графика с прямой . Из приведенного (рис. 2) графика видно, что первый корень лежит на отрезке , а второй – на отрезке . Для определения первого корня заменим исходное уравнение эквивалентным ; здесь , . На отрезке , т.е. . В качестве начального приближения выбираем . Вычисления прекращаем, когда . Последовательные приближения в этом случае таковы:

0,271828Е 00

0,131236Е 00

0,114024Е 00

0,112078Е 00

0,111860Е 00

0,111835Е 00

Так как

,

то принимаем . В этом результате все знаки верные.

Для определения второго корня представляем исходное уравнения в виде . Здесь , и при производная оценивается сверху: , т.е. . Если в качестве начального приближения взять , то получаем следующие последовательные приближения:

0,299573Е 01

0,339977Е 01

0,352629Е 01

0,356283Е 01

0,357314Е 01

0,357603Е 01

0,357684Е 01

0,357706Е 01

0,357713Е 01

Принимаем с погрешностью 0,0001, так как

.
Задание. Используя подпрограмму ЫШЕУК, найти корень уравнения с заданной точностью
Порядок выполнения на ЭВМ.


  1. Графически или аналитически отделить корень уравнения .

  2. Преобразовать уравнение к виду так, чтобы в некоторой окрестности корня производная удовлетворяла условию . При этом следует помнить, что чем меньше , тем быстрее последовательные приближения сходятся к корню.

  3. Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке .

  4. Составить подпрограмму функцию для вычисления значений .

  5. Составить головную программу и печать результатов вычислений.

  6. Провести вычисления по программе.


Варианты заданий.

Найти корень при заданных значениях коэффициентов.


варианта

f(x)

a

b

c

d

1



1.5773

2.3041





2

2.2082

3.2258





3

3.7855

5.5300





4

9.1483

13.3641





5

5.9937

8.7558





6

7.8864

11.5207





7



7.622

8.59

0.5



8

6.0976

6.872

1.0



9

4.5732

5.154

1.5



10

3.9634

4.4868

2.0



11

3.0488

3.436

2.5



12

1.5244

1.718

3.0



13



9.33

6.977

7.25



14

7.667

5.983

6



15

6.67

5.387

5.25



16

5.67

4.794

4.5



17

4.33

4.008

3.5



18

2.67

3.044

2.25



19




0.9737

0.5067





20

0.9286

0.5185





21

0.5458

0.5391





22

0.7593

0.5683





23

0.5909

0.6286





24

0.4474

0.6909





25

0.1667

0.8571





26

0.7308

0.5778





27

0.833

0.5455





28



0.1697

–0.5693

–1.6

3.73

29

1.039

–3.145

–1.94

8

30

4.6839

–14.04

–2.448

23.5


ЗАДАНИЕ № 6.
Приближённое решение уравнения

методом Ньютона
Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения , то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности , сходящейся к корню уравнения . Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

Теорема. Пусть определена и дважды дифференцируема на , причём , а производные , сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно построить последовательность

,

сходящуюся к единственному на решению уравнения .

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью и есть очередное приближение корня уравнения .

Для оценки погрешности приближения корня можно воспользоваться неравенством

,

где – наибольшее значение модуля второй производной на отрезке ; – наименьшее значение модуля первой производной на отрезке . Таким образом, если , то . Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью , то итерационный процесс можно прекращать, когда

.

Опишем один шаг итераций. Если на -м шаге очередное приближение не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляем величины , и следующее приближение корня . При выполнении условия



величину принимаем за приближённое значение корня , вычисленное с точностью .

Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В том случае процесс быстро сходится. Если же численное значение производной вблизи корня мало, то процесс вычисления корня может оказаться очень долгим.
Задание. Составить программу приближённого вычисления корня уравнения для заданной дважды дифференцируемой функции с точностью и произвести вычисления на ЕС ЭВМ.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconМы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера...
...

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconЭкзамен за I семестр по математике
Решение систем линейных уравнений методом полного исключения неизвестных (метод Жордана-Гаусса.)

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение систем линейных уравнений методом Крамера
Понятие функции одной переменной, способы задания. Элементарные функции и их графики

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение уравнений и систем уравнений в Excel методом«Поиск решения»
Локальные и глобальные сети Принципы построения и основные топологии локальных cетей, прободные и беспроводные сети

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconМатематические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения
Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа
Кирхгофа, определить токи во всех ветвях, пользуясь любым известным методом расчета электрических цепей постоянного тока. Правильность...

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение системы
Решить систему методом Жордано Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconВопросы для подготовки к экзамену по математике
Решение системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconСписок вопросов по курсу «Вычислительная математика» для групп цнии...
Оценка погрешности для метода простых итераций решения уравнений. Геометрическая интерпретация метода

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconТема предмет и метод статистики 3
Расчет средней методом отсчета от условного нуля упрощенным способом (методом момента) 26

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов