Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева




НазваниеРешение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева
страница7/11
Дата публикации25.07.2013
Размер0.59 Mb.
ТипРешение
zadocs.ru > Информатика > Решение
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11



^ ЗАДАНИЕ № 9.
Приближённое решение задачи Коши

методом РунгеКутта
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений решения уравнения в точках . Точки – узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина – шаг сетки .

Методом РунгеКутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвёртого порядка, относящийся к широкому классу методов типа РунгеКутта. В этом методе величины вычисляют по следующим формулам:

(1)

Погрешность метода на одном шаге сетки равна , но поскольку на практике оценить величину обычно трудно, при оценке погрешности используют правило Рунге. Для этого проводят вычисления сначала с шагом , а затем – с шагом , то справедлива оценка

.

При реализации метода на ЭВМ обычно на каждом шаге делают двойной пересчёт. Если полученные значения отличаются в пределах допустимой погрешности, то шаг удваивают. В противном случае берут половинный шаг.

Метод РунгеКутта легко переносится на нормальные системы дифференциальных уравнений вида

,

которые для краткости удобно записывать в векторной форме:

.

Для получения расчётных формул методом Рунге-Кутта достаточно в формулах (1) заменить и , коэффициенты – на .
Задание. Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений второго порядка, используя подпрограмму RGK. Результаты печатать на каждом шаге.


Порядок выполнения на ЭВМ.

  1. Составить головную программу, содержащую обращение к RGK и печать результатов на каждом шаге.

  2. Составить подпрограмму вычисления правых частей P(X,Y,F).

  3. Произвести вычисления на ЕС ЭВМ.


Варианты заданий.

На отрезке с шагом решить задачу Коши для системы



варианта



a



1



0.01

0.5

2

0.02

1/3

3

0.03

0.25

4

0.04

0.2

5

0.05

1/6

6

0.06

1/7

7

0.07

0.125

8

0.08

1/9

9

0.09

0.1

10



0.06

1/7

11

0.07

0.125

12

0.08

1/9

13

0.09

0.1

14

0.1

1/11

15



0.01

0.5

16

0.02

1/3

17

0.03

0.25

18

0.04

0.2

19

0.05

1/6

20



0.6

0.5

21

0.8

0.5

22

1.2

0.5

23



1.2

0.5

24





0.14

1/15

25

0.15

1/16

26

0.16

1/17

27

0.17

1/18

28

0.18

1/19

29

0.19

0.05

30

0.2

1/21

^ ЗАДАНИЕ № 10.
Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

методом Чебышева


  1. Постановка задачи

Явным методом Чебышева требуется найти приближённое решение уравнения

(1)

в квадрате с краевыми условиями

, (2)

где – граница квадрата .

Выбираем функцию, удовлетворяющую краевым условиям (2)

.

Вычислим

.

Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1)

,

тогда нам известно точное решение задачи (1), (2).


  1. Теоретическая часть

От задачи (1), (2) перейдём к разностной. Вводим на плоскости прямоугольную сетку с шагом по направлению и по направлению . Получим , . Обозначим .

Обозначим через множество внутренних узлов сетки, то есть

,

а через – множество граничных узлов, то есть

.

Пусть далее





Рассмотрим конечномерное пространство функции , заданных на сетке . Здесь и будем обозначать . Обозначим

.

Тогда разностный оператор Лапласа записывается в виде

. (3)

Разностное выражение (3) называется пятиточечным разностным шаблоном, так как содержит значения функции в пяти точках сетки, а именно в точках (см. рис.). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора Лапласа.

Заменим исходную задачу разностной задачей. При этом будем считать, что , тогда . Разностная аппроксимация задачи (1), (2), принимает вид

, (4)



или более подробно

, (5)

.

Обозначим через пространство функций , заданных на и равных нулю на границе со скалярным произведением

. (6)

В пространстве определим оператор

. (7)

Тогда уравнение (5) можно записать в операторной форме

, (8)

где – функция, заданная на сетке и . Сеточные функции и будем рассматривать как вектора – мерного пространства с координатами .

Наименьшее и наибольшее собственные значения оператора равны

,

(9)

.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconМы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера...
...

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconЭкзамен за I семестр по математике
Решение систем линейных уравнений методом полного исключения неизвестных (метод Жордана-Гаусса.)

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение систем линейных уравнений методом Крамера
Понятие функции одной переменной, способы задания. Элементарные функции и их графики

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение уравнений и систем уравнений в Excel методом«Поиск решения»
Локальные и глобальные сети Принципы построения и основные топологии локальных cетей, прободные и беспроводные сети

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconМатематические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения
Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа
Кирхгофа, определить токи во всех ветвях, пользуясь любым известным методом расчета электрических цепей постоянного тока. Правильность...

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconРешение системы
Решить систему методом Жордано Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconВопросы для подготовки к экзамену по математике
Решение системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconСписок вопросов по курсу «Вычислительная математика» для групп цнии...
Оценка погрешности для метода простых итераций решения уравнений. Геометрическая интерпретация метода

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева iconТема предмет и метод статистики 3
Расчет средней методом отсчета от условного нуля упрощенным способом (методом момента) 26

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов