1. Числа точные и приближённые




Скачать 119.84 Kb.
Название1. Числа точные и приближённые
Дата публикации20.07.2013
Размер119.84 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы




О ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

1. Числа точные и приближённые


При обработке физического эксперимента надо различать точные и приближённые числа.

Точными числами являются числовые коэффициенты и показатели степени в формулах; коэффициенты, отражающие кратность и дольность единиц измерения; числа, заданные определениями, и другие. Например, точными являются: коэффициент 4/3 и показатель степени 3 в формуле объёма шара ; реперная точка термодинамической температур-ной шкалы – температура тройной точки воды Т = 273,16 К; показатель пре-ломления вакуума n = 1 и другие.

Погрешность точных чисел равна нулю.

К приближенным числам относятся: результаты измерений различ-ных величин; округленные значения точных чисел; табличные значения математических, физических, химических величин; иррациональные чис-ла и другие. Например, приближенными числами будут: измеренная с по-мощью амперметра сила тока в цепи I = 42,8 мА; ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2; постоянная Больцмана k = 1,3810-23 Дж/К; число  = 3,14; 2 = 1,41; 1n 10 = 2,30; sin 15°= 0,259.

^ 2. Значащие цифры

Значащими цифрами числа называются все его цифры, в том числе и нули, если они не расположены в начале числа. Так, числа 3,1416; 5,094105; 0,0172 имеют соответственно пять, четыре и три значащие циф-ры. Можно сказать иначе: первое число - пятизначное, второе – четырех-значное, третье - трехзначное.

Значащей цифра называется потому, что она является представи-телем того или иного разряда или, как говорят, означает соответствующий десятичный разряд. Так, в приближенном числе 4,50 цифра 4 означает разряд единиц, цифра 5 – разряд десятых долей, цифра 0 – разряд сотых долей. Тысячные и другие более мелкие доли неизвестны, поэтому соот-ветствующие разряды не означены никакими цифрами.

В точных числах (в отличие от приближенных) представители неоз-наченных разрядов известны – это нули. Следует предостеречь от часто допускаемой при вычисленнях ошибки, когда это положение неправо-мерно переносится и на приближенные числа. В случае точных чисел чис-ла 4,5 и 4,50 совершенно равноценны, а в случае приближенных нет: пер-вое содержит две значащие цифры, второе – три, в первом числе сотые доли неизвестны, во втором известны – их нуль.

Нули, стоящие в начале числа, не являются значащими. Например, в приближенном числе 0,0172 только три значащие цифры. Первые два нуля являются незначащими, так как играют вспомогательную роль: слу-жат для указания соответствующих десятичных разрядов последующими цифрами (цифрами 1, 7 и 2). Такое указание можно осуществить другими способами, обходясь без нулей в начале числа, например, записав его в нормальной форме: 0,0172=1,7210-2.

В нормальной форме первую значащую цифру приближенного числа ставят в разряд единиц, а остальные (общее их количество, естественно, сохраняется) – в десятичных разрядах после запятой. Полученное число умножается на множитель вида 10n, где п целое положительное или от-рицательное число. Например, число 1980 в нормальной форме запишется в виде 1,980103.

^ 3. Верные, сомнительные и неверные цифры

Приближенные числа, полученные в вычислениях, определенные из таблиц или найденные другими способами, содержат различное количес-тво значащих цифр, среди которых имеются верные, сомнительные и неверные цифры.

Верными цифрами приближенного числа называются п первых цифр, если абсолютная погрешность числа не превышает половины еди-ницы разряда n-й цифры. Например, в приближенных числах 1406±2; 512,9±1,2; (82,4±0,8) 103 верными соответственно являются три, две и одна первые значащие цифры. Следовательно, количество верных цифр в при-ближенном числе однозначно определяется его абсолютной погреш-ностью.

Цифра, стоящая за последней верной, является не вполне точно опре-деленной (в ней содержится погрешность) и поэтому называется сомни-тельной. В некоторых случаях сомнительных цифр может быть две. В приведенном выше примере сомнительными соответственно являются од-на, две и две последние значащие цифры. Сомнительные цифры прибли-женного числа так же, как и верные, определяются его абсолютной по-грешностью.

Все цифры приближенного числа, стоящие после последней сомни-тельной, являются неверными. Действительно, поскольку эта сомни-тельная цифра не может быть определена точно, то цифры последующих более низких разрядов невозможно найти и даже оценить. Поэтому невер-ные цифры не содержат реальной информации, бессмысленны и должны быть отброшены (с использованием правил округления). Например, в при-ближенном числе 406,59±2 пять значащих цифр. Из них две первые вер-ные, третья сомнительная, а две последние неверные. Поэтому правиль-ной будет запись: 407±2. В случае приближенного числа 210,324+1,2 сле-дует писать 210,3±1,2.
^

4. Округление чисел


Приближенные и точные числа можно округлять, т.е. уменьшать ко-личество их значащих цифр. Чтобы округлить число до п значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие после n-го разряда. При этом руко-водствуются следующими правилами: если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя из сохраняемых не изменяется; если же первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя из сохраняемых увеличивается на единицу. Например, округление числа 7,192 до трех зна-чащих цифр дает число 7,19, до двух – 7,2. Округление числа 1681 до двух значащих цифр дает число 1,7103, а округление числа 0,80214 - число 0,80.

Абсолютная погрешность округленного числа не превышает полови-ны единицы последней сохраненной цифры. Следовательно, все значащие цифры округленного числа являются верными (исключение составляют приближенные числа, содержащие до округления две сомнительные циф-ры при условии, что округляется только одна из них).

При округлении приближенных чисел их точность уменьшается, так как к первоначальной погрешности добавляется еще ошибка, обусловлен-ная округлением. Причем эта добавка в зависимости от степени округле-ния может быть как меньше, так и больше первоначальной величины пог-решности числа.

В результате округления точных чисел получаются приближенные чи-сла, погрешность которых равна ошибке, возникшей при округлении.
^

5. Округление погрешностей и результатов измерений


Существуют различные методы обработки результатов измерений. Все они приближенные. Поэтому, найденные значения погрешностей так-же являются приближенными. В соответствии с точностью методов обра-ботки абсолютная погрешность опытов определяется не более чем до двух значащих цифр (см. ГОСТ 8.011-72). При простейших методах обработки вычисленная погрешность характеризует реальные ошибки лишь по по-рядку величины, т.е. вторая цифра, как правило, неверна. В учебных лабо-раториях абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры. Например, R = 0,42 см  0,4 см; I = 0,48 10-3А  0,5 ІО-3 А.

Исключением из этого правила являются числа, в которых первая цифра единица. Во избежание грубой ошибки при округлении в этом слу-чае указывают и следующую за единицей цифру. Например, R = 1,36 Ом  1,4 Ом; l = 1,02 мм  1,0 мм.

Найденная абсолютная погрешность позволяет однозначно опреде-лить верные, сомнительные и неверные цифры в приближенном числе – результате измерения и правильно записать окончательный ответ, указав в нём только верные и одну или две сомнительные цифры. Например, t = (18,90,4) с; I = (82,0±0,5) 10-3 А; R = (124,5±1,4) Ом.

Относительная погрешность тоже должна округляться до одной (иногда до двух) значащей цифры. Действительно, в соответствии с пра-вилами округления абсолютная погрешность в приведенном выше примере для времени находится в интервале [0,35; 0,44] с. Следовательно, относи-тельная погрешность лежит в интервале [1,9; 2,3]%. Отсюда видно, что де-сятые доли процента соответствуют отброшенным цифрам в абсолютной погрешности, поэтому при указании относительной погрешности необхо-димо ограничиться одной значащей цифрой.

Если количество сохраняемых значащих цифр в результате одно-значно определяется его погрешностью, то и обратно по количеству знача-щих цифр в правильно записанном результате можно приблизительно су-дить о погрешности. Например, при измерении высоты цилиндра получен результат h = 22,10 мм. Следовательно, абсолютная погрешность содер-жится в самом низком разряде результата, т.е. в сотых долях миллиметра; относительная погрешность составляет десятые-сотые доли процента.

^

6. Запись результатов измерений


На основании изложенного в предыдущих параграфах сформулиру-ем правила записи результатов измерений.

1. Результат измерений записывается вместе с погрешностью и до-верительной вероятностью (надежностью).

Правильно:

Неправильно:

m = (40,12  0,04) г; Р=0,95

m = 40,12 г

2. При записи погрешности ограничиваются одной значащей циф-рой.

Правильно:

Неправильно:

t = (42,4  0,2) c

t = (42,4  0,218) с

3. Если в погрешности первая значащая цифра единица, то после нее сохраняется еще одна, а в результате две сомнительные цифры.

Правильно:

Неправильно:

h = (21,45  0,12) мм

h = (21,45 0,1) мм

4. Последняя цифра результата и последняя цифра его абсолютной погрешности должны принадлежать к одному и тому же десятичному разряду.

Правильно:

Неправильно:

v = (12,3  0,4) м/с

v = (12,285  0,4) м/с

5. Если в ответе содержится множитель вида 10n, то показатель степени п и в результате, и в его абсолютной погрешности должен быть одинаковым.

Правильно:

Неправильно:

R = (1,24  0,03)105 Ом

R = (1,24105  3103) Ом

6. Измеренная величина и ее абсолютная погрешность выражаются в одних единицах измерений.

Правильно:

Неправильно:

I = (0,240  0,005) А

I = 0,240  5 mA
^

7. Математические действия над приближенными числами


Обрабатывая результаты измерений, выполняют различные мате-матические операции (сложение, вычитание, умножение и т. д.) над при-ближенными числами. Приближенный характер исходных данных ограни-чивает точность получаемого результата (результат тоже будет прибли-женным числом). Пытаться путем расчетов получить результат с точно-стью большей, чем это допускают исходные данные задачи, бессмыслен-но. Например, для измерения длины какого-либо предмета использовалась линейка с миллиметровыми делениями; получены следующие результаты: 121, 121, 122, 121, 122, 121 мм. При определении окончательного ответа



не имеет смысла писать l=121,3 мм или l=121,33 мм. Ведь длина предмета ни в одном из опытов не измерялась до десятых или сотых долей милли-метра, а предполагать их все равными нулю (только при таком предполо-жении получается l=121,3 мм или l=121,33 мм) нет никаких оснований. Для повышения точности результата необходимо повысить точность изме-рений (например, использовать более точный прибор), а не пытаться это сделать с помощью карандаша и бумаги.

Для того, чтобы определить, сколько значащих цифр следует сохра-нять в результате, необходимо найти его абсолютную погрешность. Одна-ко если бы пришлось рассчитывать погрешность каждого промежуточного результата вычислений, то любая, даже самая простая задача стала бы очень громоздкой. Поэтому в подобных случаях поступают иначе: пользу-ются правилами приближенного определения количества сохраняемых значащих цифр при различных математических операциях.

1. Сложение и вычитание. Прежде всего слагаемые записывают в форме без множителя в виде десяти в какой-либо степени или с множи-телем одной и той же степени (этот множитель выносится за скобки). Оп-ределяют те разряды, в которых в каждом из слагаемых стоят сомнитель-ные цифры. Находят из этих разрядов самый старший. Сомнительная циф-ра в сумме (разности) будет стоять в этом же разряде. Поэтому при сложе-нии или вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько таковых в слагаемом с наименьшим их количеством.

При суммировании большого количества приближенных чисел надежность последней цифры результата может и уменьшиться и даже стать сомнительной цифра более высокого разряда. Поэтому рассмат-риваемые правила являются приближенными.

При вычитании двух близких по величине чисел в результате может не оказаться ни одной верной цифры. Такой результат весьма ненадежен и поэтому подобных ситуаций надо избегать. К примеру, толщину стенки трубки можно определить как половину разности ее внешнего и внутрен-него диаметров. Если стенки тонкие, т.е. диаметры почти одинаковые, то из-за погрешностей измерений, эллиптичности сечения трубки и других причин результат будет весьма неточным и может получиться даже отри-цательным. В подобном случае толщину стенки следует измерять непос-редственно.

Если вычитанне неизбежно, то необходимо повысить точность ис-ходных данных.

2. Умножение и деление. При умножении и делении приближенных чисел с одинаковым количеством значащих цифр в результате следует сохранять столько же значащих цифр.

В общем случае, когда количество значащих цифр в сомножителях различно, в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько в сомножителе с наименшим их количеством.

3. Возведение в степень. Поскольку возведение в степень пред-ставляет собой произведение одинаковых сомножителей, то в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в сте-пень приближенное число. Надежность последней цифры результата при возведении в степень, как и при умножении, меньше, чем последней циф-ры основания. Причем это сказывается тем заметнее, чем больше показа-тель степени.

4. Извлечение корня. При извлечении корня любой степени из при-ближенного числа в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении. Например, 5,208 = 2,282.

5. Логарифмирование. В мантиссе (независимо от характеристики) логарифма приближенного числа сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет само число. Аналогичное правило справедливо и при на-хождении числа по его логарифму: количество значащих цифр в искомом числе должно быть равным их количеству в мантиссе. Например, lg 22,15 = 1,3454; если 1g х = 0,649, то x = 4,46.

6. Правило запасной цифры. В промежуточных результатах, т.е. в тех приближенных числах, которые используются в последующих расчетах, для уменьшения в дальнейшем влияния ошибок округления следует со-хранять на одну значащую цифру больше, чем это рекомендуется выше-изложенными (см. пп. 1–5) правилами. В окончательном результате эта «запасная» цифра отбрасывается. Правило запасной цифры следует ис-пользовать также и в исходных данных каждой задачи, если они, конечно, это позволяют.
^

8. Цифра 0 в последнем разряде приближённого числа


В любом из разрядов приближенного числа могут быть разные цифры: 0, 1, 2, ..., 9. В частности, цифра 0 может быть верной цифрой последнего разряда приближенного. При этом в случае приближенных чисел (в отличие от чисел точных) записи 8,3; 8,30 и 8,300 отличаются друг от друга. Запись 8,3 означает, что в этом приближенном числе верными являются целые и десятые доли (сотые, тысячные и т. д. доли неизвестны). Истинное значение числа заключено в ннтервале [8,25; 8,34]. Запись 8,30 указывает, что верны также и сотые доли, причем их оказалось нуль; интервал для истинного значения другой [8,295; 8,304] и, следовательно, иная точность определения числа. Если записано 8,300, то это означает, что верными являются также тысячные доли, которых оказалось нуль. Интервал для истинного значения числа в этом случае более узкий [8,2995; 8,3004).

Из приведенного примера ясно, что отбрасывание нулей в последних разрядах приближенных чисел уменьшает их точность, а произвольное приписывание нулей вносит ложную информацию. Распространенной ошибкой такого рода является случай, когда приближенное число выражают в различных единицах измерения. Например, невернымн яв-ляются записи: 10,2 м = 1020 см, 10,2 м = 10200 мм. Следует сохранять в любой форме одинаковое количество значащих цифр: 10,2 м = 1,02103 см =1,02 104 мм. Еще пример. Длина проволоки l = 900 мм. При исполь-зовании записи l = 90 см или l = 0,9 м, как и при всяком округлении, потеряна часть информации (в последней записи сведения о сотых и тысячных долях метра). Следовательно понизилась и точность результата.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

1. Числа точные и приближённые iconЗадание 40 Пусть a, b, y приближенные числа с верными в строгом смысле...
Пусть a, b, y – приближенные числа с верными в строгом смысле значащими цифрами, Х – верное число. Вычислите: 40

1. Числа точные и приближённые iconПрограмма вступительных испытаний по математике
Натуральные числа и ноль. Сложение, вычитание, умножение натуральных чисел. Квадрат и куб числа. Простые и составные числа. Разложение...

1. Числа точные и приближённые iconПрограмма вступительных испытаний по учебному предмету «Математика»
Квадрат и куб натурального числа. Простые и составные числа. Делитель, кратное. Четные и нечетные числа. Признаки делимости на 2,...

1. Числа точные и приближённые iconВопросы к зачету по курсу «Алгебра и теория чисел»
Комплексные числа. Пары действительных чисел. Точки плоскости. Алгебраическая форма. Тригонометрическая форма. Действительная и мнимая...

1. Числа точные и приближённые icon5. Комплексные числа
В процессе развития математики потребовалось дополнительно к известным действительным числам ввести числа нового рода. Они называются...

1. Числа точные и приближённые iconПеречень экзаменационных вопросов по математике
Приближенные вычисления. Способы округления чисел. Понятие абсолютной и относительной погрешности вычислений

1. Числа точные и приближённые iconПрограмма экзамена по дисциплине “Математика”, 4-й семестр
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа

1. Числа точные и приближённые iconВопросы к экзамену по линейной алгебре 2012г. Преподаватель: Авдеев Иван Федорович
...

1. Числа точные и приближённые iconЭкзаменационные вопросы по дисциплине Математика для студентов 1...
Целые и рациональные числа. Приближение действительных чисел. Действительные числа

1. Числа точные и приближённые icon1 Представление числа в ЭВМ. Зависимость машинной точности от формата...
Обозначим через X точное, а через x~ приближенное значения величины. Тогда ошибка будет равна x-x~, а неотрицательную величину |x-x~|...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов