Фгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов




НазваниеФгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов
страница1/4
Дата публикации28.07.2013
Размер0.74 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4


МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Департамент кадровой политики и образования

ФГОУ ВПО

«Тюменская государственная сельскохозяйственная академия»
Кафедра математики

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

(методическое указание и варианты заданий к выполнению расчетно-графической работы для студентов-очников 1 курса всех факультетов)



Тюмень 2007

Автор: старший преподаватель Плотникова Т.И., преподаватель Виноградова М.В.

Рецензент:

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Настоящие методические указания предназначены для студентов Института экономики и финансов, Механико-технологического, Агро- технологического институтов и института Биотехнологий и ветеринарной медицины, изучивших раздел курса высшей математики: «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».

^ ЦЕЛЬ РАБОТЫ - овладеть методом, наименьших квадратов как одним из методов обработки эмпирических данных, навыками самостоятельной работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

  1. Изучить теорию метода наименьших квадратов.

  2. Самостоятельно проверить степень усвоения теории с по­мощью предложенных вопросов.

3. Разобраться в решении предложенных задач.

4. Научиться анализировать экспериментальные данные, подбирать вид эмпирической функции и определять параметры функ­ции.

5. Выполнить контрольное задание и сдать на проверку.

6. При защите работы уметь отвечать на контрольные вопросы.

§ 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

1.1. Постановка задачи.

В естествознании, биологии, экономике и других науках при измерении и наблюдении устанавливаются различные зависимости (связь между наблюдаемыми величинами X и У) . Эти зависимости обычно выражают аналитически, т.е. различными формулами.

Формулы, составленные на основе данных, полученных в резуль­тате наблюдений, называются ^ Эмпирическими формулами.

Процесс получения эмпирических формул состоит из двух этапов:

1. Подбор вида элементарной функции;

2. Вычисление параметров этой функции.

Рассмотрим один из методов получения эмпирических формул - способ наименьших квадратов.

Пусть на основании эксперимента необходимо найти функциональ­ную зависимость между переменными величинами Х и У.

По результатам измерений составим следующую таблицу:

Таблица 1.

Х

x1

x2

x3



хn

У

у1

у2

у3



уn


Если вид функциональной зависимости неизвестен, то обычно поступают так: упорядоченные пары чисел (хi, yi) (i = 1,2,3 ...k) данной таблицы рассматривают как точки в прямоугольной системе координат ХОУ и строят график. Полученные точки будут группироваться около какой-то линии.

^ 1.2. Выравнивание по прямой.

Предположим, что точки (хi уi ) группируются около не­которой прямой.



рис 1.
В этом случае между переменными X и У существует функциональная зависимость, близкая к линейной. Будем искать эту зависимость в виде:

(1.1)

где a и b – параметры, подлежащие, вычислению,

- теоретическое значение функции (вычисленное по формуле).

Поставим задачу: найти такие значения а и b, чтобы прямая (1.1.) «наилучшим образом» проходила через множество точек Мi (xi, yi).

Если бы все точки Mi(xi, yi ) лежали строго на пря­мой (1.1), то для каждой из точек было бы справедливо следую­щее равенство:



однако на практике имеет место следующее равенство:

(1.2)

т.е существует (отклонение) между наблюдаемыми ординатами (эмпирическими) и ординатами, полученными по урав­нению (теоретическими).

Принцип метода наименьших квадратов утверждает: оптимальны такие значения параметров а и b при которых сумма квадратов отклонений минимальна. Составим эту сумму:

или

(1.3)

Для исследования функции (1.3) с двумя переменными на ми­нимум, найдем частные производные, приравняем их к нулю и решив систему уравнений, найдем а и b.

(1.4)

или

(1 .5)

Введя сокращенные обозначения, получим систему уравнений (1.5) в следующем виде:

(1.6 )

Решив систему (1.6), найдем значения параметров а и b и подставим их значения в эмпирическую формулу (1.1).

Нахождение линейной функциональной зависимости называется выравнивание по прямой, а система уравнений (1.6) - нормальной системой метода наименьших квадратов при выравнивании по прямой.

^ 1.3. Выравнивание по параболе.

Пусть точки Мi(xi, yi), соответствующее парам чисел таблицы 1, группируются вблизи некоторой параболы (рис 2).



рис 2.

В этом случае между переменными Х и У существует функциональная зависимость, которую будем искать в виде:

(1.7)

Найдем параметры a, b и c с таким расчетом, чтобы парабола заданная уравнением (1.7) «наилучшим образом» проходила через множество точек Мi(xi, yi), т.е чтобы сумма квадратов отклонений теоретических ординат точек от эмпирических была наименьшей.

Составим эту сумму:

(1.8)

Найдем частные производные по переменным a, b, и c, при­равняем их к нулю, преобразуем полученные уравнения и получим следующую систему уравнений:

(1.9)

Система уравнений (1.9) называется нормальной системой ме­тода наименьших квадратов при выравнивании по параболе.

Решив систему уравнений, найдем параметры a, b, c и подставим их значения в уравнение (1.7). Получим искомую эмпирическую функцию.

Замечание I. Число уравнений нормальной системы уравнений (1.6) и (I..9) метода наименьших квадратов соответствует числу ис­комых параметров.

Замечание 2. Между переменными х и у , заданными табли­цей, существуют зависимости, близкие, например, к показательной функции вида у= аbx или lgy, lga+xlgb; к функции y=a/x+b (уравнение гиперболы) и др.

§ 2. Порядок выполнения задания

1. Определить вид эмпирической формулы, используя данные задания (см.§1, п.2,3).

  1. Написать нормальную систему уравнений (см.§1, п.2,3) в общем
    виде.

  2. Для определения параметров выбранной эмпирической формулы составить расчетную таблицу (см § З).

  3. Составить конкретную систему уравнений и решить ее любым способом.

  4. Найти значение функции для значения X, выходящего за пределы таблицы (найти прогнозную оценку). Найти

  5. Пояснить содержательный смысл коэффициента а, для линейной зависимости.

  6. Построить в одной системе координат график полученной функции и точки по исходным данным. Наглядно убедиться, насколько хо­рошо теоретическая линия согласуется с эмпирической линией.


§ 3. Образец выполнения задания

Задание I. Имеются данные о назначенной месячной пенсии (руб) за последние девять месяцев 2003 года по РФ.

Таблица № 2

Месяцы (х)

январь

1

февраль

2

Март

3

апрель

4

Май

5

июнь

6

июль

7

август

8

сентябрь

9

назначенной месячной пенсии (руб) (у)

1,7

1,4

1,5

1,5

1,6

1,6

1,65

1,66

1,7

Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу функциональной зависимости между Х и У.

Решение

1. Для определения вида функциональной зависимости построим в прямоугольной системе координат точки с координатами:

(1;1,7); (2,1,4); (3,1,5); (4;1,5); (5,1,6); .(6,1,6); (7;1,65); (8;1,66); (9;1,7).



рис 3.

Точки группируются около некоторой линии. Следовательно зависимость между переменными Х и У близка к линейной

2. Для вычисления параметров a и b воспользуемся расчетной таблицей № 3.

Таблица № 3.

х

у

х2

ху

1

1,7

1

1,7

2

1,4

4

2,8

3

1,5

9

4,5

4

1,5

16

6

5

1,6

25

8

6

1,6

36

9,6

7

1,65

49

11,55

8

1,66

64

13,28

9

1,7

81

15,3

45

14,31

285

72,73














3. Напишем нормальную систему уравнений метода наименьших квадратов (См 1.6).

(3.1)

4. Решим систему по правилу Крамера, вычислим параметры a, b с точностью до 0,1.











  1. Подставляя найденные значения параметров в формулу , получим эмпирическую формулу:

(3.2)

выражающую зависимость между начисленной месячной пенсии и месяца года.

6. Используя формулу (3.2), можем найти теоретические значения У для данных значений Х и откло­нение теоретической ординаты от эмпирической:

при х= 1 у=0,02*1+1,5=1,52; ε1=1,52-1,7= -0,18

при х=2 у=0,02*2+1,5=1,54; ε2=1,54-1,4 = 0,14

при х=3 у=0,02*3+1,5=1,56; ε3=1,56-1,5 = 0,06

при х=4 у=0,02*4+1,5=1,58; ε4=1,58-1,5= 0,08

при х=5 у=0,02*5+1,5=1,6; ε5=1,6-1,6 = 0

при х=6 у=0,02*6+1,5=1,62; ε6=1,62-1,6= 0,02

при х=7 у=0,02*7+1,5=1,64; ε7=1,64-1,65= -0,01

при х=8 у=0,02*8+1,5=1,66; ε8=1,66-1,66=0

при х=9 у=0,02*9+1,5=1,68; ε9=1,68-1,7= -0,02.

Сумма отклонений εi должна быть близкой к 0.



С помощью формулы можно найти значения У для тех значений X, которое не содер­жатся в таблице, но взяты из области изменения X (интерполировать). Этот факт и оправдывает отыскание эмпирических формул.

Например, пусть Х=4,5, тогда У=0,02*4,5+1,5=1,59.

Отсюда, ух=4,5 = 1,59 т.е. в середине апреля, будет назначена месячная пенсия в размере 1,59 тыс.руб.

Можно найти значение функции для значения X, выходящего за пределы таблицы, (экстраполировать), т.е. находить прогнозную оценку.

Например, при х=10, У=0,02*10+1,5=1,7, т.е. в октябре будет назначена месячная пенсия в размере 1,7 тыс.руб.

7. Выясним содержательный смысл параметров полученного уравне­ния =0,02х+1,5.

Коэффициент, а =0,02 определяет средний показатель уве­личения месячной пенсии. С каждым месяцем начисленная месячная пенсия увеличивается в среднем на 0,02 тыс.руб.

Свободный член b=1,5 конкретного содержательного смысла не имеет, он определяет начальный уровень.

  1. Наглядно убедимся в том, насколько хорошо теоретическая кривая согласуется с исходными данными. Для этого построим точки с координатами: (1;1,7); (2,1,4); (3,1,5); (4;1,5); (5,1,6); .(6,1,6); (7;1,65); (8;1,66); (9;1,7) и полученную теоретическую прямую по точкам (0;1,5); (2;1,54) (рис.4).

На рисунке видно, что погрешности (отклонения εi ) теоретических ординат от эмпирических малы по абсолютной величине. Следовательно, теоретическая функция хорошо согласуется с исход­ными данными.



Рис. 4

^ 3.1. Замечание. Метод наименьших квадратов в обработке рядов динамики.

Статистика изучает социально-экономические явления не толь­ко в их взаимной связи и взаимной обусловленности, но и в движе­нии, развитии.

Процесс развития социально-экономических явлений во време­ни в статистике называется динамикой.

Размеры отдельных социально-экономических явлений связанные с определенным периодом или датой времени, называют уровнями. Последовательности уровней об­разуют ряд динамики.

Формирование уровней ряда динамики происхо­дит под воздействием многочисленных факторов, однако все действу­ющие факторы можно подразделить на две группы:

1. Управляемые, регулируемые обществом факторы интенсифика­ции производства.

2. Случайные, не поддающиеся контролю и регулированию факторы. Эта группа факторов вызывает случайные колебания и затушевывает основную тенденцию развития.

Первая группа факторов систематически действует в одном направлении и определяет характер долговременной тенденции ряда.

Для выявления основной тенденции развития ряда используется метод наименьших квадратов.

В социально-экономической статистике для выявления и анали­тического выражения тенденции динамического ряда наиболее часто используются следующие функции: У=ax+b - линейная функция;

Y= ax2+bx+c - квадратичная функция; Y= abx - показательная функция.

Форму кривой, как обычно, определяют по графику ряда. Затем определяют параметры выбранной функции, решая систему нормальных уравнений вида (1.6) или (1.9) и находят эмпирическую функцию. По найденной эмпирической функции с определенной осторожностью можно получать прогнозные оценки на будущий период (экстраполиро­вать) при условии, что период прогноза небольшой.

Практика показывает, что для большинства рядов динамики эко­номических явлений вполне удовлетворительные результаты дает вы­равнивание по прямой линии, особенно при использовании выводов для получения прогнозных оценок. Показательная кривая и парабола приводят, как правило, к завышенным оценкам.

  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Фгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов iconФгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Институт экономики и финансов
Методические указания и задания составлены Гильгенберг И. В., ст преподавателем на основании Государственного общеобразовательного...

Фгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов iconФгоу впо «Самарская государственная сельскохозяйственная академия»

Фгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов icon2 Обобщенный метод наименьших квадратов (омнк)
При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный...

Фгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов iconНауки и кадров учреждение образования «белорусская государственная...
Национальная экономика: учебно-методический комплекс / Белорусская государственная сельскохозяйственная академия; сост. Л. В. П а...

Фгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов iconФгбоу впо «Ульяновская государственная сельскохозяйственная академия им. П. А. Столыпина»
Ульяновская государственная сельскохозяйственная академия им. П. А. Столыпина приглашает студентов учебных заведений Российской Федерации...

Фгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов iconОсновные положения программы кандидата на должность ректора фгбоу...
И. о ректора фгбоу впо «Пензенская государственная сельскохозяйственная академия», кандидата технических наук

Фгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов iconВ курсе дисциплин «Организация производства на предприятиях апк»,...
Министерство сельского хозяйства РФ фгоу впо «Ярославская государственная сельскохозяйственная академия»

Фгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов iconЧерных Юлия Александровна дата рождения: 09. 07 1987г семейное положение:...
Фгоу впо «Ижевская государственная сельскохозяйственная академия» (заочная форма). Экономист по специальности «Бухгалтерский учет,...

Фгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов icon«Итоговая государственная аттестация студентов» : Учебно-методическое...
Фгбоу впо «Бурятская государственная сельскохозяйственная академия им. В. Р. Филиппова»

Фгоу впо «Тюменская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики метод наименьших квадратов iconЛекция. М.: Фгоу впо мгавмиБ, 2009, 19 c
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «московская государственная академия...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов