Математические методы и модели в экономике




Скачать 130.22 Kb.
НазваниеМатематические методы и модели в экономике
Дата публикации28.06.2013
Размер130.22 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ
ВВЕДЕНИЕ
Удивительно высокая эффективность математики в естественных и технических науках постоянно подтверждается всей практической деятельностью человека. Наиболее грандиозные технические проекты XX и начала XXI века без использования мощного математического инструментария не могли бы быть осуществлены в современном виде и качестве при минимальном количестве катастрофических ошибок. Для экономических наук и экономики вообще дело обстоит сложнее. Однако, даже самый общий взгляд на проблему приводит к осознанию того, что тезис о возможной высокой эффективности математики в экономике является вполне естественными и логичным, так как вся математика изначально и многие её разделы в последствий, своим происхождением и развитием обязаны именно практической, хозяйственной, экономической жизни общества.

В то же время, справедливость общих положений ещё не означает их безусловного приоритета в каждом конкретном случае, а любой метод в любой области знания имеет свою сферу применения, подчас весьма ограниченную. Поэтому, не следует преувеличивать и тем более абсолютизировать роль математических методов и математики вообще, что и вызывает у обучающихся негативное отношение к предмету: существует широкий класс экономических структур, управление которыми осуществляется на интуитивном уровне без какого-либо использования математических моделей и методов и даёт вполне приемлемые результаты. Таким структурам относятся отдельные предприятия мелкого масштаба. Применение математики в организациях такого типа сводится к элементарным арифметическим расчётам в рамках задач бухгалтерского учёта, что создаёт и укрепляет иллюзию возможности успешного управления любыми экономическими системами без использования какой-либо серьёзной математики вообще.

Однако такая точка зрения является излишне упрощённой.

^ Математическая модель объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков, условный образ объекта, созданный для упрощения его исследования, получения о нём новых знаний, анализа и оценки принимаемых решений в конкретных или возможных ситуациях.

^ Экономико-математическое моделирование, являясь одним из эффективных методов описания сложных социально-экономических объектов и процессов в виде математических моделей, превращается тем самым в часть самой экономики, вернее сплав экономики, математики и кибернетики.

В составе экономико-математических методов можно выделить следующие научные дисциплины и их раздели:

  1. Экономическая кибернетика (системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем);

  2. Математическая статистика (дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, кластерный анализ, частотный анализ, теория индексов и др.);

  3. Математическая экономика и эконометрика (теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.);

  4. Методы принятия оптимальных решений (математическое программирование, сетевые и программно-целевые методы планировании и управления, теория массового обслуживания, теория и методы управления запасами, теория игр, теория и методы принятия решений, теория расписаний и др.);

  5. Специфические методы и дисциплины (модели свободной конкуренции, модели монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы и др.);

  6. Экспериментальные методы изучения экономики (математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, имитационное моделирование, деловые игры, методы экспертных оценок и др.).

^ Экономико-математические модели можно классифицировать по следующим основным признакам

  1. По общему целевому назначению – теоретико-аналитические и прикладные модели;

  2. По степени агрегирования объектов – микроэкономические и макроэкономические модели;

  3. По конкретному предназначению – балансовые (требование соответствия наличия ресурсов и их использования), трендовые (развитие моделируемой системы через длительную тенденцию её основных параметров), оптимизационные, имитационные (в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов) модели;

  4. По типу информации, используемой в модели, - аналитические и идентифицируемые (на базе апостериорной, экспериментальной информации) модели;

  5. По учёту фактора неопределённости – детерминированные и стохастические модели;

  6. По характеристике математических объектов или аппарата – матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т. п.;

  7. По типу подхода к изучаемым системам – дескриптивные (описательные) модели (например, балансовые и трендовые) и нормативные модели (например, оптимизационные модели и модели уровня жизни).

Также по используемому инструментарию можно выделить равновесные, статические, динамические, непрерывные и другие модели.

Теоретические модели на базе априорной информации отображают общие свойства экономики и её компонентов с дедукцией выводов из формальных предпосылок.

Прикладные модели обеспечивают возможность оценки параметров функционирования конкретных технико-экономических объектов и обоснования выводов для принятия управленческих решений.

Макроэкономические модели обычно описывают экономику страны ка единое целое, связывая между собой укрупнённые материальные и финансовые показатели: ВВП, потребление, инвестиции, занятость, бюджет, инфляцию, ценообразование и др.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо их автономное поведение в переходной неустойчивой или стабильной рыночной среде, стратегии поведения фирм в условиях олигополии с использованием методов оптимизации и теории игр и т. п.

Оптимизационные модели связаны в основном с микроуровнем, на макроуровне результатом рационального выбора поведения становится некоторое состояние равновесия.

Детерминированные модели предполагают жёсткие функциональные связи между переменными модели, а стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарии теории вероятностей и математической статистики для их описания.

Равновесные модели, присущие рыночной экономике, описывающие поведение субъектов хозяйствования как в стабильных устойчивых состояниях, так и в условиях нерыночной экономики, где неравновесие по одним параметрам компенсируется другими факторами.

Статические модели описывают состояние экономического объекта в конкретный текущий момент или период времени; динамические модели, напротив, включают взаимосвязи переменных во времени, описывая силы и взаимодействия процессов в экономике.

К числу сложной комбинированной экономико-математической модели, например, можно отнести экономико-математическую модель межотраслевого баланса, являющуюся прикладной, макроэкономической, аналитической, дескриптивной, детерминированной, балансовой, матричной моделью, причём выделяют как статические, так и динамические модели межотраслевого баланса.

^ ГЛАВА I. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
§ 1. Основные понятия и определения
Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся теорией и методами решения многомерных экстремальных задач на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).

В общем виде задача математического программирования формулируется следующим образом: найти наименьшее (или наибольшее) значение функции при ограничениях



где и – заданные функции, а – некоторые постоянные числа.

В зависимости от свойств функции и математическое программирование делится на ряд самостоятельных дисциплин. Прежде всего это линейное программирование. К задачам линейного программирования (ЛП) относятся задачи математического программирования, в которых функции и

Для решения задач линейного программирования существуют универсальные методы, с помощью которых можно решить любую задачу линейного программирования.

Рассмотрим основную задачу линейного программирования.

Пусть заданы линейная функция

(1.1)

и система линейных уравнений с неизвестными

(1.2)

где , и – заданные постоянные числа.

Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.2) найти такое решение, при котором функция (1.1) принимает минимальное значение.

Сформулированная задача называется канонической или основной задачей линейного программирования (ЗЛП).

Условия неотрицательности решения системы (1.2), если они не оговорены в формулировке задачи, записываются в виде

. (1.3)

Функцию (1.1) называют целевой функцией (ЦФ), а условия (1.2) – ограничениями-равенствами.

Всякое неотрицательное решение системы (1.2) называется допустимым решением или планом задачи.

Совокупность допустимых решений системы (1.2) называется областью допустимых решений (ОДР).

Допустимое решение системы (1.2), минимизирующее функцию (1.1), называется оптимальным решением или оптимальным планом ЗЛП.

Значение целевой функции (1.1), отвечающее оптимальному решению, называется оптимумом.

Если в задаче линейного программирования необходимо найти максимум функции , то максимизацию этой функции можно заменить минимизацией противоположной функции .

Рассмотрим другую задачу линейного программирования.

Пусть заданы линейная функция

(1.4)

и система линейных уравнений с неизвестными

(1.5)

где , и – заданные постоянные числа.

Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.5) найти такое решение, которое минимизирует функцию (1.4).

Сформулированная задача называется стандартной или симметричной задачей линейного программирования.

Условия (1.5) называются ограничениями-неравенствами.

Стандартную задачу линейного программирования нетрудно привести к каноническому виду, заменив неравенства в системе (1.5) равенствами с помощью введения новых неотрицательных неизвестных .
§ 2. Простейшие задачи линейного программирования
Задача о наилучшем использования ресурсов.

Для трёх видов продукции , и используется три вида сырья и . Предприятие может израсходовать 32 т сырья , не менее 40 т сырья и не более 50 т сырья . Нормы расхода сырья на единицу продукции того или иного вида, а также трудовые и энергетические затраты на производство единицы продукции , и приведены в таблице.

Сырьё

Запасы (т)

Нормы расхода на единицу продукции (т)









32

2

3

0



40

4

1

2



50

3

1

3

Расходы (руб.)

4

5

6


Определить количества продукции видов , и , которые следует производить при минимальных затратах энергетических и трудовых ресурсов.

Для построения математической модели задачи обозначим через количества продукции видов , и соответственно, которые предполагается производить. Тогда целевую функцию и ограничения задачи можно записать в виде







Как видим, математическая модель задачи сводится к минимизации некоторой линейной функции при ограничениях. Записанных в виде равенств и неравенств.

Задача о максимальном доходе производственного предприятия.

При производстве трёх видов продукции , и используется три вида сырья и . Запасы каждого вида сырья составляют 32 т, 40 т и 50 т соответственно. Количество единиц сырья, необходимого для изготовления единицы продукции, а также прибыль, получаемая от реализации единицы продукции каждого вида приведены в таблице.


Сырьё

Запасы (т)

Виды продукции









32

2

3

0



40

4

1

2



50

3

1

3

Прибыль (руб.)

4

5

6


Требуется составить план выпуска продукции , и , при котором прибыль от реализации всей продукций была бы максимальной.

Обозначим через количества единиц продукции видов , и , которую необходимо производить.

Математическая модель данной задачи имеет вид







Таким образом, надлежит найти такой набор неотрицательных чисел , удовлетворяющий полученной системе ограничений-неравенств, который доставляет максимальное значение целевой функции .

^ Задача о рационе питания.

Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен употребить в пищу в течение суток определённое количество белков, жиров, углеводов, витаминов, микроэлементов и др.

Пусть имеется три вида продуктов , и и перечень из необходимых питательных веществ и . Количество питательных веществ, содержащегося в единице продукта, а также стоимости единиц продуктов приведены в таблице.


Питательные

вещества

Суточная

Потребность

1 человека

Виды продукции









32

2

3

0



40

4

1

2



50

3

1

3

Стоимость 1 единицы продукта (руб.)

4

5

6


Требуется организовать питание так, чтобы удовлетворялась норма потребности в питательных веществах и чтобы стоимость использованных продуктов была минимальной.

Обозначим через количества единиц продуктов видов , и .

Математическая модель данной задачи будет иметь вид







Задача о структуре товарооборота.

Предположим, что для реализации групп товаров торговое предприятие располагает видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве единиц соответственно. При этом для продажи первой группы товаров на единицу товарооборота (например, на 10000 руб.) расходуется ресурсов первого, второго, …. -го вида в количествах единиц соответственно, для продажи второй группы товаров на единицу товарооборота расходуется ресурсов первого, второго, …. -го вида в количествах единиц соответственно, и так далее, для продажи -й группы товаров на единицу товарооборота расходуется ресурсов первого, второго, …. -го вида в количествах единиц соответственно. Известно, что прибыли от реализации соответствующих групп товаров составляет рублей.

Требуется определить плановый объём и структуру товарооборота, при котором прибыль торгового предприятия от реализации всего товара была максимальной.

Математическая модель этой задачи строится следующим образом.

Пусть – план товарооборота предприятия: предлагается реализовать единиц товара первой группы, единиц товара второй группы, …, единиц товара -й группы. Тогда необходимо максимизировать прибыль от реализации всех этих товаров:

.

При этом ограничения, связанные с материально-денежными ресурсами, приводят к следующей системе неравенств:



… ,

Геометрический способ решения задачи линейного программирования (графический метод)
Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными



(3.1)



Такая задача может быть решена графическим методом ввиду того, что в этом случае легко строить ОДР.

Каждое неравенство системы (3.1) геометрически определяет плоскость с граничной прямой, а сама полуплоскость является полуплоскостью решений.

Все полуплоскости решений, если система (3.1) совместна, пересекаясь образуют некоторую общую часть, которая является ОДР системы (3.1). Эта область может не существовать, состоять из одной точки, отрезка, полупрямой, многоугольника или представлять собой неограниченную область.

Область называется выпуклой, если для любых двух точек, принадлежащих этой области, и весь отрезок, соединяющий эти точки, тоже принадлежат данной области. Например, область, изображённая на рис.3.1. а) является выпуклой, а на рис.3.1. б) – не выпуклой.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Математические методы и модели в экономике iconКонспект лекций по дисциплине «Методы оптимальных решений»
Математические методы и модели в экономике. Основные понятия и общая классификация. Иллюстрация на конкретных примерах

Математические методы и модели в экономике iconМетодические указания к выполнению тестовых заданий по учебной дисциплине...
Курс «Экономико-математические методы и модели» посвящен современным методам количественного обоснования управленческих решений,...

Математические методы и модели в экономике iconРабочая программа по курсу «Математические модели в управлении» для...
Целью преподавания курса является обучение студентов основам работы с экономико-математическими моделями в управлении экономическими...

Математические методы и модели в экономике iconИсследование операций
Математические методы в экономике — научное направление в экономике, посвящённое исследованию экономических систем и процессов с...

Математические методы и модели в экономике iconВ. И. Векленко экономико-математические
Векленко В. И. Экономико-математические методы и модели: Курс лекций. Курск: Изд-во Курской гос с. Х акад., 2006. с

Математические методы и модели в экономике iconПлан семинарских занятий
Для студентов 4 курса очного отделения, обучающихся по специальности «математические методы в экономике»

Математические методы и модели в экономике iconВопросы к экзамену по курсу экономико-математические методы и прикладные модели
Общая запись оптимизационной эмм (задача оптимального программирования). Основные элементы и понятия

Математические методы и модели в экономике iconМатематические методы принятия решений
Математические методы принятия решений: Учеб пособие. Тамбов: Изд-во Тамб гос тех ун-та, 2004. 124с. Isbn 5-8265-0259-2

Математические методы и модели в экономике iconМатематические модели в форме нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений
Исход моделирования в значительной степени определяется выбором метода решения модели и умением правильно интерпретировать полученные...

Математические методы и модели в экономике iconЛабораторная работа выполняется по темам: «Оптимизационные экономико-математические...
Лабораторная работа выполняется и защищается в соответствии с утвержденным расписанием занятий

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов