Математической физики




НазваниеМатематической физики
страница1/8
Дата публикации25.12.2013
Размер0.79 Mb.
ТипЗадача
zadocs.ru > Математика > Задача
  1   2   3   4   5   6   7   8


Министерство образования и науки Российской Федерации

Омский государственный технический университет

Р. К. Романовский
ЛЕКЦИИ

ПО УРАВНЕНИЯМ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Уравнения колебаний и диффузии
Учебное пособие

Омск – 2004
УДК 51(075)

ББК 22.311я73

Р69

Рецензенты:

Н. В. Перцев, доктор физ.-мат. наук, профессор ОмГУ;

В. М. Гичев, канд. физ.-мат. наук, с. н. с. Омского филиала

Института математики СОРАН.

Романовский Р. К.
Р69 Лекции по уравнениям математической физики. Уравнения колебаний и диффузии: Учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004. 102 с.

Основное назначение данного учебного пособия – методическое обеспечение годового курса “Уравнения математической физики” для студентов специальности 071100 “Динамика и прочность машин”. Может быть использовано при чтении спецглав высшей математики студентам технических специальностей.

с Романовский Р. К., 2004

с Омский государственный техни-

ческий университет, 2004

СОДЕРЖАНИЕ


Предисловие……………………………………………………….…..

4

Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ……………………………….

6

§ 1.1.

Определения и основные свойства интегралов различных видов (краткий обзор)…………………………………………………………


6

§ 1.2.

Основные понятия и правила векторного анализа (краткий обзор)……………………………………....................................................


10

§ 1.3.

Предмет математической физики. Примеры уравнений математической физики………………….……………………………………….


20

§ 1.4.

Классификация линейных УЧП второго порядка…………………....

25

Глава 2. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ………………………………………….

27

§ 2.1.

Уравнение колебаний струны. Типы краевых условий......………….

27

§ 2.2.

Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Метод Деламбера………………………….............................................................


33

§ 2.3.

Ортогональные системы. Правило разложения в ряд Фурье по полной ортогональной системе……………………………………….


39

§ 2.4.

Смешанная задача для одномерного волнового уравнения. Метод Фурье……………………………………………………………….…...


47

§ 2.5.

Уравнение колебаний мембраны. Типы краевых условий……....….

56

§ 2.6.

Гамма-функция Эйлера……...…………………………….…………..

62

§ 2.7.

Функции Бесселя. Свойство ортогональности функций Бесселя…..

65

§ 2.8.

Смешанная задача для двумерного волнового уравнения….........….

70

§ 2.9.

Уравнения газовой динамики. Уравнение звуковых волн….……….

77

§ 2.10.

Распространение волн в пространстве. Принцип Гюйгенса…….…..

81

Глава 3. УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ…………………………………………..

85

§ 3.1.

Уравнения распространения тепла и диффузии……………………..

85

§ 3.2.

Преобразование Фурье. Представление функций интегралом

Фурье…………………………………...……………………….………


89

§ 3.3.

Задача Коши для одномерного уравнения теплопроводности……...

92

§ 3.4.

Смешанная задача для трехмерного уравнения теплопроводности…………………………………………………………………...…..


97

Библиографический список…………..……..………..………………..

102

ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебный материал пособия соответствует требованиям госстандартов по специальности 071100 “Динамика и прочность машин”.

Автор счел необходимым начать изложение с двух повторительных параграфов: краткого обзора по интегралам различных видов и по векторному анализу. Эти разделы являются традиционно трудными для усвоения в курсе высшей математики и в то же время систематически используются в течение всего данного курса.

Основным содержанием является исследование краевых задач – задачи Коши и смешанной задачи – для классических уравнений теории колебаний и теплофизики: волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Математическому анализу краевых задач предшествуют подробные физические выводы уравнений, обсуждение краевых условий. Так, выведены уравнения колебаний струны, мембраны, уравнения газовой динамики, звуковых и электромагнитных волн, уравнения распространения тепла и диффузии; приведено с краткими комментариями гиперболическое уравнение теплопроводности, учитывающее конечную скорость распространения тепла. Обсуждается физическая интерпретация получаемых математических результатов. Обращается внимание на универсальность математических моделей физики: одна и та же краевая задача описывает процессы различной физической природы.

Краевые задачи решаются, как правило, на основе различных вариантов метода Фурье. Для удобства читателя необходимые сведения о разложениях функций в ряд Фурье по полной ортогональной системе, о представлении функций интегралом Фурье, о специальных функциях даются непосредственно перед теми параграфами, где они используются. Обсуждаются свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, возникающей на промежуточном этапе при решении краевой задачи методом Фурье.

При написании данного учебного пособия автор стремился находить относительно простую методику изложения трудных для усвоения разделов курса и надеется, что это ему отчасти удалось.

Пособие может быть использовано при чтении спецглав высшей математики студентам технических специальностей.

Выражаю благодарность Т. Г. Царицинской, методисту кафедры высшей математики за большую помощь в техническом оформлении рукописи.

Р. К. Романовский

Глава 1

^ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1.1. Определения и основные свойства

интегралов различных видов (краткий обзор)
1. Пусть в области на плоскости или в пространстве или на криволинейной поверхности (рис. 1) задана функция .

y

a b x
Рис. 1.1

z
0 y

x

Рис. 1.2

z



0 y
x

Рис. 1.3


Выполним следующее построение. Разделим область на час- ти с мерами (площадями или объемами) , на каждой части выберем по точке и составим сумму
. (1.1)

Обозначим наибольший из диаметров частей (диаметром множества называется наибольшее расстояние между точками множества). Предел суммы (1.1) при условии называется интегралом (соответственно двойным, тройным и поверхностным) от функции по области и обозначается :

.
Если функция непрерывна в области , включая точки границы, то этот предел существует. Основные свойства интеграла:

  1. свойство линейности:


;


  1. свойство аддитивности: если область разделена на части , то

.
Другие обозначения интегралов: – для двойного и поверхностного, – для тройного. Будем употреблять термины: – элемент площади, – элемент объема. Вычисление двойного интеграла сводится к повторному интегрированию:
,
где – проекция области на ось абсцисс, и – уравнения нижней и верхней границ области . Тройной интеграл приводится к двойному по формуле
,
где – проекция области на плоскость xOy, и – уравнения нижней и верхней границ области . Если поверхность задается уравнением , где функция имеет непрерывные частные производные , то интеграл по поверхности приводится к двойному интегралу по формуле

,
где – проекция поверхности на плоскость xOy.
2. Пусть на кривой АВ (рис. 2) задана функция f(M). Впишем в кривую ломаную .



z


B

A

y
x

Рис. 2








Рис. 3


Обозначим длины звеньев и составим сумму
.
Предел этой суммы при условии , где – наибольшая из длин звеньев, называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(M) по кривой АВ и обозначается :

.

Если кривая АВ задается параметрическими уравнениями

, (1.2)

где правые части имеют непрерывные производные, то имеет место формула

.
3. Пусть на кривой АВ задана вектор-функция . Впишем в кривую АВ ломаную, как в п. 2, и будем рассматривать звенья ломаной как векторы: (рис. 3). Обозначим скалярное произведение векторов :

.
Составим сумму .
Предел этой суммы при условии называется криволинейным интегралом второго рода от вектор-функции по кривой АВ и обозначается :
.
Обозначим проекции векторов на оси координат. В силу правила векторной алгебры скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций на координатные оси, поэтому

.

Интеграл по кривой с уравнениями (1.2) вычисляется по формуле

,

где P, Q, R вычисляются в точке . Если кривая АВ лежит в плоскости xOy, то
.
Для криволинейных интегралов первого и второго рода верны свойства линейности и аддитивности. Кроме того, при изменении направления на кривой АВ интеграл первого рода не изменяется, интеграл второго рода меняет знак на противоположный:
.
Интеграл второго рода по замкнутой кривой L (конец В совпадает с началом А) обозначается ; при этом необходимо

указать на кривой направление, по которому берется интеграл.

  1   2   3   4   5   6   7   8

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Математической физики iconМетодические указания к выполнению расчетно-графических заданий по...
«Методы математической физики» для студентов специальности 080403 "Программное обеспечение автоматизированных систем"

Математической физики iconМетоды математической физики модульный контроль №1
Примеры задач, приводящих к уравнению Лапласа. Лапласиан в прямоугольной системе координат

Математической физики iconВопросы к экзамену по методам математической физики
Задачи, приводящие к уравнению Пуассона и Лапласа. Постановка основных граничных задач

Математической физики iconУравнения математической физики
...

Математической физики iconУравнения математической физики (ф ф. 2010 – 2011 г г.)
Тип уравнений. Преобразования уравнений. Характеристические уравнения (лемма). Приведение к каноническому виду

Математической физики iconВопросы для подготовки к экзамену по физике
Предмет физики. Методы физического исследования. Структура курса физики. Основные единицы си

Математической физики iconВологодский государственный технический университет Кафедра физики...
Данные методические указания написаны в соответствии с программой курса физики для технических специальностей в вузах. Пособие содержит...

Математической физики iconМатематические методы и компьютерные технологии в управлении
Эти модели — результат развития математической экономики как части математической науки. Широко известны примеры применения математического...

Математической физики iconВопросы для самостоятельного изучения по курсу «физика» раздел «механика»
Предмет, задачи и метод физики. Единицы физических величин. Связь физики с другими науками

Математической физики iconМетод математической индукции
Метод математической индукции,6 Методы научных исследований,7 Полная индукция,8 Индуктивные рассуждения,9 Обобщение. Вывод,10 Дедукция,11...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов