Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403




НазваниеМетодические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403
страница1/6
Дата публикации20.02.2014
Размер0.55 Mb.
ТипМетодические указания
zadocs.ru > Математика > Методические указания
  1   2   3   4   5   6


Министерство образования и науки Украины

Запорожская государственная инженерная академия

Методические указания

к выполнению расчетно-графических заданий по курсу

«Методы математической физики»

для студентов специальности 7.080403

"Программное обеспечение автоматизированных систем"




Запорожье 2001
Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий

по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 7.080403 "Программное обеспечение автоматизированных систем"

/сост. д.ф.-м.н.,проф. Пожуев В.И.,ст. преп. Безверхий А.И., Запорожье, ЗГИА,2000, - 43с.

Составители:

д.ф.-м.н.,проф. Пожуев В.И.

ст. преп. Безверхий А.И.


Обсуждены на заседании

кафедры программного обеспечения и математического моделирования.
Протокол № 5

от 17 октября 2001 г.

Зав. кафедрой

проф. ____________ Пожуев В.И.
^ Методические указания для выполнения расчетно-графического

задания №1
Расчетно-графическое задание №1 посвящено решению уравнений в частных производных(УЧП) гиперболического типа методом Фурье. При этом сами уравнения, начальные и граничные условия – неоднородные. Для решения задачи необходимо подробно изучить разделы 4.4,4.5 учебного пособия [1]. Задание рекомендуется выполнять в следующем порядке:

  1. Постановка задачи

Здесь формулируется задача, записывается уравнение, граничные

и начальные условия задачи.

  1. Приведение уравнения в частных производных к простейшему виду

Этот пункт выполняется в том случае, когда в исходное УЧП кроме старших вторых частных производных входят и первые производные. Для упрощения выполняется замена неизвестной функции на новую(см. раздел 2.3 в [1]) по формуле

u(x,t)=e W(x,t)

Параметры и выбираются так, чтобы уравнение для W(x,t) не содержало первых частных производных. При этом, замену функции u(x,t) на функцию W(x,t) следует произвести и в начальных и в граничных условиях.

  1. Переход к задаче с однородными граничными условиями

Так как метод Фурье применяется только для задач с однородными гранич­ными условиями, то такой переход необходим. Он осуществляется при помощи замены

W(x,t)=U(x,t)+V(x,t),

где функция U(x,t)должна удовлетворять только неоднородным граничным усло­виям. Проще всего эту функцию представить в виде линейной функции от х

U(x,t)=M(t)+xN(t),

при этом функции M(t) и N(t) определяются путем подстановки в заданные граничные условия и выражаются через правые части этих условий. Функция V(x,t) удовлетворяет однородным граничным условиям. После определения функции U(x,t), подставляем функцию W(x,t) в УЧП, начальные и граничные условия, и получаем задачу с однородными граничными условиями для функции V(x,t)




Начальные условия

V(x,0)=(x)

.

Граничные условия однородные.

При этом, неоднородность из граничных условий переходит в уравнение и в начальные условия.

4. Решение однородного УЧП с однородными граничными и неоднородными начальными условиями

Решение задачи для функции V(x,t) представляется в виде

V(x,t)=V(x,t)+V*(x,t),

здесь V0(x,t) – удовлетворяет однородному УЧП, однородным граничным и начальным условиям;

V*(x,t) – удовлетворяет неоднородному УЧП и однородным начальным и граничным условиям.

Вначале решаем УЧП для функции V0(x,t) вида
c начальными условиями

V0(x,0)=(x)

.

Граничные условия однородные

V*(0,t)=0

V*(l,t)=0.

Согласно методу Фурье, решение ищем в виде




и осуществляем разделение переменных.

Приходим к задаче Штурма-Лиувилля для функции X(x). Решая эту задачу(см. раздел 4.4 и[1]), находим собственные числа задачи-n и соответствующие собственные функции Xn(x). При этом функции Xn(x) удовлетворяют однородным граничным условиям. Общее решение однородной задачи представим в виде ряда по собственным функциям

V0(x,t)=Xn(x)

Здесь ,












5.Решение неоднородного УЧП с однородными начальными и
граничными условиям


УЧП для функции V*(x,t) имеет вид


Начальные условия

V*(x,0)=0

.

Граничные условия

V*(0,t)=0

V*(l,t)=0.

Решение УЧП ищем в виде разложения по собственным функциям Xn(x)



Подставив решение в уравнение, получим



т.к. собственные функции удовлетворяют уравнению


то ,
тогда получим



Умножим левую и правую части уравнения на Xm(x) и проинтегрируем на участке [0,l] определения функции Xn (x) Учитывая, что собственные функции ортогональны на отрезке [0,l],

, при mn

получим обыкновенные неоднородные дифференциальные уравнения

,

где

Решение этого уравнения находим либо методом вариации произвольных постоянных (см. раздел 4.5 в[1]) по формуле

,

либо другими возможными методами .
6.Сборка решения и построение графиков

Получаем окончательное решение собирая полученные решения в общую формулу, а также вычисляя производные по x и t



Перед построением графиков на компьютере целесообразно выполнить аналитические упрощения и ввести обозначения. Производные также нужно брать аналитически, а не численно, чтобы избежать больших погрешностей. При усечении бесконечных рядов нужно иметь в виду, что их общими членами есть, как правило, знакопеременные тригонометрические функции. В связи с этим, усекать ряд из-за малого значения общего члена нельзя. Значение верхнего фиксированного предела суммы определяем численным экспериментом. При этом, число членов ряда для производных, как правило, в два раза больше, чем для функции и может достигать нескольких сотен.

Пример 1




u




A x

Рис. 1

1. Постановка задачи.

Рассмотрим колебания струны, один конец которой закреплен, а другой движется по гармоническому закону (Рис.1.). Струна связана с упругим основанием и движется во вязкой среде. Уравнение движения имеет вид

, (1)

где

(2)

u(x,t) - вертикальное перемещение струны ;

T0 - сила натяжения струны ;

k - коэффициент постели основания ;

r - коэффициент вязкого сопротивления ;

S - площадь поперечного сечения струны ;

- плотность материала струны .

Начальные условия соответствуют неподвижному состоянию струны.

. (3)
Граничные условия имеют вид

(4)
где А - амплитуда колебаний конца струны;

- частота колебаний;

l - длина струны.

2. Приведём уравнение (1) к простейшему виду

Перейдём к новой неизвестной функции W(x,t)




(5)
Подставляя (5) в (1),(2),(3), получим

(6)

Начальные условия

W(x,0)=0;

(7)

Граничные условия

(8)

3. Переход к задаче с однородными граничными условиями

W(x,t)=V(x,t) + U(x,t) (9)
Здесь

U(x,t) = 1(t) + x/l(2(t) - 1(l)) =Aet(1-x/l)Sin(t) (10)

удовлетворяет неоднородным граничным условиям.
V(x,t) – новая неизвестная функция.

Подставляя (9), (10) в (6)-(8), получим неоднородное уравнение
Vtt +(2-2)V - a2Vxx = f(x,t), (11)

где

f(x,t) = Aet(1-x/l)(2-2).

Начальные условия

V(x,0) =0


Vt(x,0) = -A(1-x/l) . (12)

Однородные граничные условия
V(0,t)=0

V(l,t)=0 (13)

Здесь имеет место перенос неоднородности из граничных условий в уравнение.

  1. Решение однородной граничной задачи.
    Решение уравнения (11) представим в виде:

V(x,t)=V0(x,t)+V*(x,t) (14)

V0- удовлетворяет однородному уравнению и неоднородным начальным условиям;
V*- удовлетворяет неоднородному уравнению и однородным начальным условиям.
a2 V0xx – V0tt – (2 - 2) V0 = 0. (15)

Начальные условия

V0(x,0)=0

V0t(x,0)=-A(1-x/l). (16)

Граничные условия

V0(0,t)=0

V0(l,t)=0 (17)

Решение уравнения (15) ищем методом Фурье, представляя его в виде

V0(x,t) = X(x) T0(t) (18)

Подставим(18) в (15) и разделим на XT, получим

(19)

или

(20)
Тогда

(21)


  1   2   3   4   5   6

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403 iconМетодические указания к выполнению расчетно-графических заданий для студентов очной формы
В течение семестра по дисциплине «Бухгалтерский учет и анализ» студенты должны выполнить два расчетно-графических задания (ргз):...

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403 iconМетодические указания к выполнению курсовой работы рекомендовано...
Методические указания предназначены для выполнения курсовой работы по дисциплине «Строительная физика» для студентов специальности...

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403 iconМетодические указания к самостоятельному выполнению домашних заданий...
Международные стандарты аудита : метод указания к самостоятельному выполнению домашних заданий для студентов спец. 080109 «Бухгалтерский...

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403 iconМетодические указания к решению физических задач по общему курсу физики москва 2011
Методические указания предназначены для студентов первого и второго курсов, изучающих основы классической феноменологической термодинамики...

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403 iconМетодическое пособие по выполнению расчетно-графических работ по...
Для студентов очной формы обучения специальности «Механизация сельского хозяйства»

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403 iconМетодические указания к выполнению домашних заданий по курсу
Синхронизация вычислительных процессов в распределенных системах: Метод указ к выполнению домашних заданий по курсу "Операционные...

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403 iconМетодические указания по выполнению контрольных работ по курсу «трудовое,...
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения, обучающихся по специальности

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403 iconМетодические указания по выполнению расчётно-графической работы для...
Радиотехника и электроника. Методические указания по выполнению расчётно-графической работы/ Одесса. Одесская национальная морская...

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403 iconМетодические указания по проведению практических занятий и выполнению...
Методические указания предназначены для проведения практических занятий и выполнения домашних заданий по дисциплине «Экономико-математические...

Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий по курсу «Методы математической физики» для студентов специальности 080403 iconМетодические указания составлены в соответствии с рабочей программой...
Методические указания для студентов очной формы обучения по выполнению практических заданий

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов