Пусть произвольное поле, векторное пространство над. Обозначим через дуальное пространство, т е. пространство линейных функций неотрицательные целые

ТЕНЗОРЫ 1. Основные понятия. Пусть - произвольное поле, - векторное пространство над , . Обозначим через дуальное пространство, т.е. пространство линейных функций . - неотрицательные целые числа. Для каждой такой пары определим следующее понятие: Определение: Тензором на типа называют любое полилинейное отображение . Т.е. - функция от аргументов, первые из которых из пространства , следующие - из пространства , линейная по каждому из аргументов со значениями в поле . Определение: Число называют валентностью (реже рангом) . Сам называют смешанным тензором раз ковариантным, раз контрвариантным. 2. Интерпретация тензоров малых рангов. Тензор типа - это любой скаляр из поля . Тензор типа - это линейная форма, т.е. любой элемент из . Тензор типа - это линейный функционал . Т.е. любой элемент из . Отождествляя канонически и , мы говорим, что контрвариантный тензор типа есть вектор из . Если , то . Мы будем использовать запись и для значения на , и для значения на . Смешанный тензор типа . Пусть - фиксированный вектор из пространства . Тогда - линейный функционал на , т.е. элемент . Т.е. - вектор из . Обозначим этот вектор . Тогда выполняется соотношение (1) где - некоторое отображение. Т.к. , то . Поскольку - любой элемент , то это равенство влечёт: . Т.е. . Обратно: если - произвольный оператор, формула (1) сопоставляет ему тензор типа . Таким образом, мы построили биекцию между тензорами типа и линейными операторами из . 3. Произведение тензоров. Пусть сначала , - два произвольных полилинейных отображения, где - различные векторные пространства (не обязательно совпадают) над . Определение: Тензорное произведение и , где . Ясно, что - полилинейная функция по каждому аргументу. Если - три полилинейных функции, то , т.е. тензорное произведение ассоциативно. Но, вообще говоря, оно не является коммутативным, т.е. для произвольных функций (об этом даже не всегда корректно говорить). Пусть теперь - тензор типа , - тензор типа . Тогда - тензор типа , определённый формулой: (2) Определение: Тензор, заданный формулой (2) называется тензорным произведением тензоров , . 4. Координаты тензоров. Пусть - базис . Рассмотрим в сопряжённом пространстве дуальный базис . Т.е. . Обозначим через пространство тензоров типа на . Тогда любое произведение (3) является тензором типа , т.е. полилинейной функцией: . Эти тензоры линейно независимы по следующей причине: (4) Теорема. Тензоры вида (3) образуют базис векторного пространства . То, что - пространство – очевидно, если определить сложение обычным образом: . Умножение на скаляр – тоже обычное. Линейная независимость (3) уже показана. Осталось проверить, что любой тензор линейно выражается через систему (3). Пусть . Обозначим (5). Тогда из формулы (4) следует, что если взять тензор , то , т.е. значения и на всех возможных наборах базисных векторов совпадают. Т.к. и - полилинейные функции, то , и (3) – базис пространства . Определение: Принято говорить, что из формулы (5) – координаты тензора в базисе . Следствие: . 5. Изменение координат тензора при замене базиса Пусть и - два базиса в пространстве . Обозначим через матрицу перехода от базиса к базису . Элементы матрицы индексируем так: , где - элемент i-ой строки и j-ого столбца. Тогда имеем: и . Это стандартное обозначение: чтобы суммирование велось по индексу, встречающемуся сверху и снизу. В некоторых книгах знак суммы опускают и пишут: . Но мы так делать не будем: все суммы будем прописывать полностью. Пусть теперь - дуальный базис к базису , а - дуальный к базису в пространстве . Обозначим через матрицу перехода от базиса к базису в пространстве . Тогда . Чтобы следовать правилу “разных уровней” ( т.е. чтобы индекс суммирования появился сверху и снизу), обозначим через - транспонированная матрица . Тогда . Эту формулу мы запишем следующим образом. Поскольку , то , т.е. . Введём вспомогательную матрицу . Тогда , т.е. . Т .к. базисы дуальны . Т.е. и . Отсюда . Пусть теперь и - его координаты в , а - координаты в базисе . Тогда . (6) Выразим (аналогично выражаем ) и подставим в формулу (6). Получим . Здесь мы использовали, что и аналогичные выражения для . Т.к. элементы образуют базис пространства , то нами доказана следующая Теорема. При переходе от базиса к базису в координаты тензора типа изменяются по правилу: , где - матрица перехода от базиса к базису пространства , а . 6. Свёртки тензоров. Пусть - тензор типа . Зафиксируем числа и , и определим свёртку по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу следующим образом. Т.к. , где , а , то можно определить сумму , где - базис , а - дуальный базис . Определение. называется свёрткой тензора по r-ому ковариантному индексу и s-ому контрвариантному индексу. Ясно, что - полилинейная функция от оставшихся аргументов, т.е. . Докажем, что не зависит от выбора базиса пространства . Доказательство: пусть - другой базис пространства , а - матрица перехода от базиса к базису . Тогда . Напомним, что для дуальных базисов имеем: , где (смотри доказательство предыдущей теоремы). Зафиксируем для удобства все остальные переменные у кроме и , обозначим . Тогда . Получаем: . Заметим, что - произведение i-ой строки матрицы на j-ый столбей матрицы . Т.к. эта сумма равна , . Связь координат тензора T и его свертки . Теорема. Свертка по s-тому ковариантному и r-тому контравариантному индексам тензора T типа (p,q) является тензором типа (p-1,q-1) с координатами То, что свертка – тензор типа - проверено. Пусть , где . Как и раньше, обозначим через . Обозначим . Тогда . Знак «домик» означает пропуск соотв. индекса (т.е. ). Соотношение (1) и есть утверждение теоремы. Пример. Тензор типа (1,1) - это матрица . Его свертка равна - след матрицы A. Действие симметрической группы на тензорах. Пусть T – тензор типа , т.е. , и - группа подстановок множества . Для любой определим отображение . Ясно, что - тензор типа . Аналогично можно определить действие на . Опр. Тензор T типа называется симметричным, если . Ясно, что - линейный оператор на . Опр. Симметризацией тензоров из называется отображение . Пример. Возьмем подстановку . Тогда . . Обозначим через подпространство всех симметричных тензоров из . Теорема. Действие симметризации на обдадает следующими свойствами: 1) и 2) . (а) Если T – симметричный тензор, то . (б) Покажем, что симметризация любого тензора симметрична. . Из формулы получаем (т.к. ). Пункт (б) означает, что . Теперь из (а) следует, что и из (б) и (а) следует 1). ^ КОСОСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ Опр. Тензор называют кососимметричным, если , где - знак подстановки. Эквивалентно, . Кососимметричные тензоры образуют подпространство в , которое принято обозначать . Опр. Элементы (т.е. p раз контравариантные кососимметричные тензоры) называют внешними p-формами или внешними формами степени p на V. Аналогично вводятся множество кососимметричных контравариантных тензоров на (название – q-вектора). 4. Связь с определителями Теорема. Пусть - векторное пространство над полем и . Тогда векторы линейно независимы в том и только в том случае, если . Пусть сначала линейно зависимы. Обозначим через их линейную оболочку. Тогда . Из следствия (см. предыдущую лекцию) получаем что , а с другой стороны . Следовательно . Пусть теперь линейно независимы. Тогда в существует базис , такой, что . В этом случае - один из базисных элементов (см. теорему из предыдущей лекции) алгебры . Поэтому . Замечание. . Если - произвольный элемент , то не всегда . Пусть теперь , - базис , и . Их внешнее произведение можно явно выразить через произведения . Пусть - координаты вектора в базисе , т.е. . Введём обозначение: В матрице, столбцы которой – координаты векторов , вычеркнуты все строки, кроме . Теорема. Пусть - базис , и , - любые векторов в . Тогда . Рассмотрим в этой сумме ту часть слагаемых, у которых множество одно и то же. Слагаемые этой суммы отличаются только порядком следования этих индексов, т.е. эта часть суммы равна . При этом произведение равно , где знак подстановки , а сами можно считать упорядоченными: . Поэтому . Вспомним формулу для определителя . Отсюда следует, что . Это означает, что множитель перед равен .

Похожие:

	Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное... Пусть V – векторное пространство над R. Скалярным произведением на V называется отображение от двух аргументов (, ) : Vv r, обладающее...		Линейные и сопряженные пространства Пусть векторное пространство над и линейная функция, если. Ядром функции назывется подмножество, на каждом элементе которого функция...
	Что такое личное пространство в коммуне по вашему мнению? Д личное пространство есть только внутри, но даже там каждый пытается потоптаться для вашего же блага		Архитектурная Студия "Правильное Пространство" Студия П2 "Правильное Пространство" предлагает Вам услуги по 3d-визуализации различности сложности в адекватные сроки
	Архитектурная Студия "Правильное Пространство" Студия П2 "Правильное Пространство" предлагает Вам услуги по архитектурному проектированию		Освободи пространство для чуда Радикальное Прощение: Освободи пространство для чуда / Перев с англ. — М.: Ооо издательство «София», 2009. — 320 с
	«трансёрфинг реальности» Пространство вариантов Пространство вариантов... Вы не можете изменить сценарий, но вы способны выбрать другой, и еще вот что, не нужно бороться за счастье — можно просто выбирать...		План: Проблема бытия в философии. Основные виды бытия. Материя как философская категория Пространство и время как формы бытия материи. Биологическое пространство и время
	Освободить пространство для чуда Вы можете продолжать обижаться и тратить огромное количество энергии на негативные чувства, а можете освободить пространство для...		Владимир Николаевич Мегре пространство любви книга 3 Владимир Николаевич... Вот она! Снова передо мной большая сибирская река Обь. Добрался до этого северного посёлка, на котором заканчивалось регулярное транспортное...