Вектор – упорядоченная пара точек;направленный отрезок. Свойства :1) (коммутативный закон)-для любых век. А и В выполняется а+б=б+а; 2) (ассоциативный закон)-сложение а+(б+с)=(а+б)+с; 3) 0+а=а; 4) а+(-а)=0; 5) (ассоциативное умножение век а на число α, β.)- (α*β)*а=α*(а*β); 6) (Дистрибутивное умножение век а на число α,β)- а(α+β)=αа+βа;7) (Умножение век дистрибутивно по отношению сложения двух чисел для любого век а)- α(а+б)=αа+αб; 8)( Умноженеи век на 1)- 1*а=а;
Система векторов а1…ак линейно независима, если нулевой вектор рассматривается по ней не единственным образом , т.е. если найдутся такие коэффициенты α1…αк, что α1а1+…+αкак=0, но не все они равны нулю α12+…+αк2≠0.
Лемма: Система векторов линейно независима тогда и только тогда,когда один из этих векторов можно линейно выразить через остальные.
Одномерное пространство одной прямой любого ненулевого век называется Базой. Базисом в векторном пространстве называется упорядоченная инейно независимая система векторов,такая,что любой вектор векторного пространства раскладывается по ней.Т1-База в пространстве состоит из линейно независимых век. Т2_ Любой век постранства линейно выражается через базу векторов при том однозначно.
Если е1е2е3 базис в пространстве и а=α1е1+α2е2+α3е3 то числа α1α2α3 называются координатами век в данном базисе. Т-Каждый век какой либо прямой параллельный может быть разложен по базису этой прямой.
Сферическая, цилиндрическая, Полярная, Декартова, Афинная с к - это совокупность точки и базиса для прямой вектор, для плоскости 2 век. Деление – α\µ или α=µ
^ в пространстве называется совокупность точки и базиса. Базис называется ортонормированным если векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат. Полярная сист корд – Связь с к –
Свойства проекций – 1)прс α а=α прс а; 2)прс (а+б)= прса+прсб. проекция – зеркальное отражение.
Скалярное произведение век – это число, (а,б)=|а|*|б|* соsφ. Свойства: 1) (а,а)=|а|*|а|=|а|2; 2)(а,б)=(б,а) – коммутативность; 3) (а,б)=0 когда φ=900 или |a|=0, |b|=0; 4)(αа,б)=(а,αб)=α(а,б)
Векторное произведение – а,б,с –правая тройка, если из конца вектора с поворот от а к б виден против часовой стрелки (если левая тройка то, по часовой стрелке). Свойства: 1)[а,б]=0когда аvб=0 а||б.; 2) |[а,б]|=Sпар-ма.; 3)[а,б]=-[б,а]- коммутативность в виду,б]
Смешанное произведение трех век – (а,б,с)=(а,[б,с]) а-число, [в,с] – вектор. Свойства: 1)(а,б,с)=0 , когда а=0 [в,с]=0; 2)(а,б,с)=Vпар-да h=|a|* cosφ, |[b,c]|=S, (a,[b,c])=S*|a|*cosφ=S*h=V. 3)а,б,с – комплонарны.
Лемма: Если векторы a и b колинеарны и а≠0, то существует такое число к, что b=ka.
Теорема: если (α1,α2,α3) и (β1, β2, β3) – координаты векторов в ортогональном правом базисе, то их векторное произведение определяется формулой: 
Если - ортонормированный правый базис a=α1i+α2j+α3k, b=β1 i+β2 j+ β3k, c=γ1 i+γ2 j+γ 3k то смешанное произведение: 
Замена базиса: компоненты старого базиса е1, е2, е3, компоненты нового базиса е’1e’2e’3. е1’=α11e1+α21e2+α31e3 так же делаем е’2 и 3
Виды уравнений плоскости: параметрическое r-r0=t1p+t2q; векторное (r-r0, n)=0
Угол между двумя плоскостями в пространстве связан с углом между нормалями к этим плоскостям 1 соотношением: = 1 или = 1800 - 1, т.е. cos = cos Определим угол 1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:  , где  (A1, B1, C1),  (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:  Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:  Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.
.Расстояние от произвольной точки М0 (х0, y0, z0) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 равно 
.Формы уравнений прямой в пространстве: уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей N*r+D=0, где -нормаль плоскости, - радиус – вектор произвольной точки плоскости. Векторные -  Координатная форма
Взаимное расположение прямых – параллельные, пересекающиеся, сходящиеся. Угол между прямыми в пространстве. Пусть в пространстве заданы две прямые их параметрические уравнения: L1: r = r1+ S1t L2: r = r2+S2t r = (x; y; z) r1=(x1;y1;z1) r2=(x2; y2; z2) S1=(m1; n1; p1) S2=(m2; n2; p2) Угол между прямыми I и угол между направляющим вектором j этих прямых связаны соотношением : j=j1 или j=1800-j1 Угол между направляющим векторами находится из скалярного произведения 
Векторно-параметрическое уравнение прямой r=r0+ta Параметрическое уравнение прямой  t - произвольный параметр, ax, ay - координаты. Каноническое уравнение прямой  ax, ay –координаты x, y – направление вектора прямой x0, y0 – координаты точки, принадлеж прямой.
.(Разложение прямых на плоскости)  -угол,  .
(Приведение ур-ия линии 2-ого порядка к каноническому виду,леммы) В общей декартовой системе координат линии 2-ого может быть задана ур-ием: . Лемма: при повороте  . после поворота:  + .
.(Класификация линий 2-ого порядка, теорема)  -элипс (( гипербола.
(Теорема о расстоянии до фокусов эллипса)  фокусами наз.точки  с координатами (С;0) и(-С;0) в канонической системе координат.Теорема:расстоянием от произвольной точки. M(x;y) лежащей на эллипс, до каждого из фокусов яв-ся линейной фун-ей от ее абциссы:  . Док-во:
(Теорема о сумме расстояния до фокуса) Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2 . ( Док-во: 
(Теорема о директрисах) Для тго чтобы точка лежала на эллипсе необходимо и достаточно чтобы расстояние до фокуса к расстоянию до соответсвий директрисы равнялась эксцентритету . Док-во: для  Пусть  -т. Эллипса, директриса  ;  | => т.к. 
(Теорема о касат.К эллипсу) Касательная к эллипсу в точке  есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
(Св-ва гиперболы)Расстояние от производной точки M(x;y) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависит от ее абсциссы  Док-во:  -для левой;  -для правой;  для левой: 
(теорема о разности площади до фокусов) Для того чтобы точка M лежала на гиперболе, необходимых и достаточных, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величене равнялась вещ-ой оси гипербола.Док-во: достаточность  .
30.(Теорема о директриссах и св-вагипер). Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необх. и достат, чтобы отнош. её расстояния до фокуса к расстоянию до соответст-ей директриссе равнялосьэксцентриентету ε. Док-во: до фокуса F2(-С;0),!M’(x,y)-mгипер. расстояние до директриссы: d’|x+ .
31.(Теорема о касательной). Касательная к гиперболе в т. есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
32.(Св-во параболы.Теорема о расс-и до фокусов). Для того чтобы т.М лежала на параболе, необходимо и дост.,чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директриссы этой параболы. Док-во: достат.М(х,у) равноудаленa .
33.(Теорема о разности S до фокуса и директ-с). Для того чтобы т.М лежала на параболе, необх-мо и достат-но, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директ-сы этой параболы. Док-во: достат. М(х,у) равноудалена
34.(Теорема о касательной к параболе(y )). Касательная к параболе в т.М есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соед.  с фокусом, и лучом, выходящим из этой точки в направлении оси параб. Док-во: в т. по ур-ю касат-й получаем  и  ,  и |=>( но  и т.д.
35.поверхности второго порядка, метод параллельных сечений.
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0
36. (Поверхности вращения, примеры). Поверхность S называется поверх-ю вращения с осью d, если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой d и лежат в плоскостях, перпендикуляром данной прямой. Эллипсоид (
37.Цилиндрические поверхности
Определение.
Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.
1).эллиптический цилиндр, 2).гиперболический цилиндр. 3) x2 = 2py – параболический цилиндр
38. (Виды гиперболоидов). Однополосный гиперболоид ( , двуполосный гиперболоид( .
39. (канонические поверхности). Конус 2-го порядка a
40. (Виды и св-ва параболоидов). Элиптич-й параболоид  .
поверхность называется линейчатой, если ее можно образовать движением прямой линии(образующей). Из поверхностей второго порядка линейчатыми являются цилиндры и конус второго порядка, однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.
43. (классификация поверхностей 2-го порядка) 1).
44. (Тождество Якоби). [a,[b,c]]-[b,[c.a]]+[c,[a,b]]=0 ; дистрибутивность векторного произведения [a,[b,c]]=(a,c)b-(a,b)c
45. (Пересечение кривой 2-го порядка и прямой).  , Bt+C=0, t= ; б)B=0; I) c=d=>плос-ть; II)c
46. (Пересечение поверхности 2-го порядка и плоскости).  |
