Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика»




НазваниеМетодические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика»
страница3/9
Дата публикации19.07.2013
Размер0.85 Mb.
ТипМетодические указания
zadocs.ru > Экономика > Методические указания
1   2   3   4   5   6   7   8   9

^ Определение основной тенденции развития в рядах динамики
Основной тенденцией динамики называется последовательное изменение уровней в определенном направлении, по определенному закону, на протяжении значительного промежутка времени под влиянием основных постоянно действующих факторов.

Чтобы получить количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда, применяется метод аналитического выравнивания, при котором общая тенденция рассчитывается как функция времени:

; (31)

где - уровни динамического ряда, рассчитанные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики.

Самым простым типом линии тренда является линейная функция:

(32)

где - уровни динамического ряда, рассчитанные по уравнению тренда на момент времени t.

- свободный член уравнения, численно равный среднему выравненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т.е. для t=0;

- средняя величина изменения уровней ряда за единицу изменения времени;

- номера моментов или периодов времени, к которым относятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).

Величина параметров и определяется по методу наименьших квадратов. Решается система двух нормальных уравнений по данным фактического временного ряда. Если номера периодов (моментов) времени отсчитываются от начала ряда так, что первый период обозначается номером 1, то свободный член есть уровень тренда для предыдущего периода, а не первого в ряду динамики.

, (33)

где - фактические уровни ряда;

- время (порядковый номер периода или момента времени).

Параболический тренд выражается уравнением:

(34)

Величина параметров , и определяется по методу наименьших квадратов. Решается система nht[ нормальных уравнений по данным фактического временного ряда. Если номера периодов (моментов) времени

(35)

Выявление основной тенденции создает базу для прогнозирования, т.е. для определения ориентировочных размеров явлений в будущем. Для этого используется метод экстраполяции тенденций. Экстраполяция это продление тенденции в будущее и нахождение уровней за пределами изучаемого ряда динамики.

Для оценки автокорреляции остатков может быть использован коэффициент автокорреляции.

(36)

Чем меньше коэффициент автокорреляции остатков, тем в большей мере уравнение тренда пригодно для прогноза.

Чтобы суждение об автокорреляции остатков не было субъективным, для ее оценки используется критерий Дарбина –Уотсона.

(37)

Критерий Дарбина-Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков связаны между собой соотношением:

D-W=2(1-ral ) (38)

Сравнивая фактическое значение (D-W) с критическими при заданном n (числе уровней ряда) и m (числе параметров при t в уравнении тренда), судим о наличии или отсутствии автокорреляции в остатках. (Приложение 6)

При D-W1-есть автокорреляция остатков;

При D-W>D-W2- отсутствует автокорреляция остатков;

при- необходимы дальнейшие исследования, например по большему числу наблюдений. При отрицательной автокорреляции остатков с табличными значениями сравнивается не D-W, а 4-D-W.

При выборе уравнения тренда можно руководствоваться и средней ошибкой аппроксимации:

(39)

Если средняя ошибка аппроксимации не превышает 5-7%, уравнение тренда хорошо представляет тенденцию временного ряда и пригодно для прогнозирования.

Рабочая таблица для расчета коэффициента автокорреляции в остатках, критерия Дарбина-Уотсона, средней ошибки аппроксимации


















14

15

17

14

.

.

12

14

16

17

2

1

1

-3

-

2

1

1

4

1

1

9

-

2

1

-3

-

1

0

4

0,143

0,067

0,059

0,214


На основе уравнения тренда дается точечная оценка прогноза.

Точечный прогноз – это точка, через которую с наибольшей вероятностью пройдет линия тренда в прогнозируемом периоде. Он рассчитывается путем подстановки номера прогнозируемого периода в уравнение тренда.

Однако более надежный прогноз предполагает оценку его в интервале, так как полное совпадение фактического и прогнозируемого уровней динамического ряда маловероятно. Даже если выбор формы уравнения тренда удачен, фактическая реализация события может отличаться от прогнозируемой. Это обусловлено тем, что тренд характеризует лишь тенденцию, а уровни временного ряда содержат также случайную компоненту.

В основе расчета доверительного интервала прогноза лежит показатель колеблемости уровней динамического ряда относительно тренда. Чем больше этот показатель, тем шире интервал прогноза при одной и той же степени вероятности. Колеблемость уровней динамического ряда относительно тренда определяется формулой:

(40)

-фактические уровни динамического ряда;

- расчетные значения уровней динамического ряда по уравнению тренда;

- длина динамического ряда;

- число параметров в уравнении тренда (без свободного члена).

Доверительный интервал для тренда рассчитывается по формуле:

(41)

– табличное значение коэффициента Стьюдента с вероятностью нулевой гипотезы 0,05 и числом степеней свободы

Вероятностные границы интервала прогнозируемого явления определяются:

(42)


Корреляция рядов динамики и прогнозирование на основе системы рядов динамики

Для измерения автокорреляции уровней динамического ряда используется коэффициент автокорреляции:

(43)

где у - уровни исходного динамического ряда;

уt-k – уровни того же динамического , но сдвинутые на к шагов во времени;

к – величина лага, принимающая значения 1,2,3, и т.д и определяющая порядок коэффициента автокорреляции. При к=1 рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, т.е. оценивается корреляция текущих значений временного ряда с предшествующими значениями.
Измерение корреляции в рядах динамики основано на сопоставлении параллельной вариации явлений. Если ряды динамики характеризуются одинаковой вариацией, то они тесно связаны; если же характер варьирования в рядах различен, то показатель корреляции примет низкое значение.

Если предполагается линейная связь между остаточными величинами рядов, то теснота связи между двумя динамическими рядами измеряется линейным коэффициентом корреляции, исчисленным по отклонениям от тренда.

, (44)

где ly,lx-отклонения уровней ряда от тренда.

Так как при этом , то формула линейного коэффициента корреляции упрощается:
(45)
Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от 0 до +-1 Отрицательные его значения указывают на обратную связь между динамикой явлений. Чем он ближе к 1 по абсолютной величине, тем теснее рассматриваемая связь.

Для оценки тесноты связи по первым разностям используется обычная формула линейного коэффициента корреляции.
(46)
Уравнение регрессии по рядам динамики можно построить тремя способами:

  1. регрессия первых разностей

(47)

  1. регрессия по отклонениям от тренда;

(48)

  1. регрессия по уровням ряда с включением в нее фактора времени

(49)

В каждом из них оценка параметров регрессии дается традиционным методом наименьших квадратов, как и при построении трендов.

Уравнение регрессии первых разностей показывает, как зависит скорость роста результативного признака от скорости роста факторного.

Чтобы использовать это уравнение для прогнозирования, необходимо определить на перспективу скорость изменения факторного признака.

, (50)

От данного уравнения можно перейти к уравнению, в котором прогнозируется уровень ряда, а не его скорость. Для этого необходимо раскрыть содержание абсолютного прироста, выразив его через соответствующие значения уровней ряда:

, (51)

где yp - прогнозируемое значение уровня ряда y;

yn- конечный уровень динамического ряда y;

xpпрогнозируемое значение уровня ряда x;

xn- конечный уровень динамического ряда x.

Следовательно, прогнозируемое значение для ряда y составит:

(52)

Для прогноза применяется и уравнение по отклонениям от тренда. (53)



откуда

Данную модель можно использовать для прогноза



где yp –прогнозное значение y;

- прогноз по тренду;

- прогноз фактора х;

- прогноз фактора х, исходя из уравнения тренда.
Уравнение регрессии по рядам динамики можно получить методом включения фактора времени t в уравнение регрессии

(54)

Параметры такого уравнения также находятся методом наименьших квадратов. Коэффициенты при х и t имеют логическую интерпретацию. Параметр b фиксирует силу связи у с х , т.е. он показывает среднее изменение у с изменением х на единицу. Параметр с при t характеризует среднегодовой абсолютный прирост результативного показателя под воздействием прочих факторов при закреплении фактора х на постоянном уровне.

Задача 1

По данным таблицы 1определите наличие, направление и тесноту связи между результативным признаком и факторным:

  1. Рассчитайте параметры уравнения парной линейной регрессии. Проверьте правильность решения уравнения.

  2. Оцените достоверность коэффициента регрессии при независимой переменной с вероятностью нулевой гипотезы 0,05.

  3. Рассчитайте парный линейный коэффициент корреляции, оцените его достоверность с вероятностью нулевой гипотезы 0,05, рассчитайте коэффициент детерминации, коэффициент эластичности.

  4. Оцените адекватность модели.

  5. Рассчитайте точечный и интервальный прогноз результативного показателя при условии, что факторный признак возрастет на 10%.


Таблица 1 - Рабочая таблица для определения параметров уравнения регрессии и коэффициента корреляции

№ наблюдения















1

2

3

4

5

6

7

Итого

Среднее

значение

68

58

62

52

54

57

51

402
57,429

4,5

5,2

5,7

7,2

6,4

6,0

7,0

42,0
6,0

4624

3364

3844

2704

2916

3249

2601

23302
3328,857

20,25

27,04

32,49

51,84

40,96

36,00

49,00

257,58
36,797

306,0

301,6

353,4

374,4

345,6

342,0

357,0

2380
340

66,038

62,020

59,151

50,542

55,133

57,429

51,690

402,0
Х

3,849

16,16

8,117

2,126

1,284

0,184

0,476

32,16
Х

Для решения задачи воспользуемся формулами 1-16

Параметры уравнения определяем по формулам



Уравнение парной регрессии запишется так:



При увеличении факторного признака на единицу своего измерения, результативный признак уменьшается на 5,739 единиц своего измерения. Рассчитаем теоретические значения результативного признака, подставляя в уравнение регрессии значения факторного признака (таблица 1). Если уравнение регрессии решено правильно, сумма фактически значений должна быть равна сумме теоретических. Суммы получились равны.

Коэффициент корреляции рассчитаем по формуле





Коэффициент детерминации – коэффициент корреляции, возведенный в квадрат. Он показывает долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией факторного признака. В нашем примере вариация результативного признака на 85,2 % обусловлена вариацией факторного признака, включенного в модель, а на 24,8% случайными факторами.

Среднюю ошибку рассчитаем по формуле



Коэффициент Стьюдента по формуле



Табличное значение критерия Стьюдента = 2,57. Фактическое значение получилось больше, чем критическое, коэффициент регрессии статистически значим, и нулевая гипотеза о равенстве коэффициента регрессии нулю в генеральной совокупности отвергается.

Среднюю ошибку и коэффициент Стьюдента для коэффициента корреляции вычисляем по формулам




Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле



Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении факторного признака на один процент, результативный признак в среднем уменьшается на 0,6 процента.

Адекватность модели оценим по F-критерию

Табличное значение критерия Фишера с вероятностью нулевой гипотезы 0,05 и числом степеней свободы –1 и 5 равно 6,61. Фактическое значение F-критерия получилось больше табличного значения, это значит, что модель адекватна. Влияние факторного признака на результативный признак существенно и статистически доказано с вероятностью 0,95.

При правильном решении задачи должно соблюдаться равенство



в нашей задаче это равенство соблюдается: 5,34=5,37=5,37, разница в сотых долях показателя обусловлена округлениями в расчетах.

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз результативного показателя при условии, что факторный признак увеличится на 10%.



Прогнозируемое значение подставим в уравнение регрессии:





Для расчета ошибки интервального прогноза воспользуемся формулами 15, 16.





Предельная ошибка прогнозируемой величины составит:



Определим интервал прогнозируемой величины:





Прогнозируемое значение результативного показателя с вероятностью 0,95 будет не меньше 46,4 и не больше 60,8 единиц своего измерения.
Задача 2

По данным таблицы 2 определите наличие и тесноту связи между признаками:

  1. Определите параметры уравнения множественной регрессии.

  2. Рассчитайте парные и частные коэффициенты корреляции, стандартизированные коэффициенты регрессии, коэффициенты эластичности.

  3. Рассчитайте множественный коэффициент корреляции и детерминации.

  4. Оцените адекватность модели по коэффициенту Фишера.

  5. Оцените целесообразность включения факторных признаков в модель.


Решение:

Таблица 2 – Расчет параметров уравнения множественной регрессии и коэффициента корреляции


№ п.п.





















1

2

3

4

5

6

7

Итого

средняя

45

50

55

70

62

65

45

392

56

10

17

15

25

19

20

8

114

16,3

9

13

9

10

5

6

11

63

9

2025

2500

3025

4900

3844

4225

2025

22544

3220,6

100

289

225

625

361

400

64

2064

294,9

81

169

81

100

25

36

121

613

87,6

450

850

825

1750

1178

1300

360

6713

959

405

650

495

700

310

390

495

3445

492,1

90

221

135

250

95

120

88

999

142,7

46,8

53,4

54,1

67,8

63,5

64,1

42,1

391,8

Х


Парные коэффициенты корреляции для расчета стандартизированных коэффициентов регрессии вычислим по формулам (7.4, 7.5, 7.6).











Парные коэффициенты корреляции показывают, что связь между результативным признаком и первым факторным признаком прямая и тесная, между результативным признаком и вторым факторным признаком – обратная, слабая, между факторными признаками наблюдается обратная, слабая зависимость.

Рассчитаем частные коэффициенты корреляции по формулам 7.27, 7.28, 7.29.

между у и х1 при исключении влияния х2



между у и х2 при исключении влияния х17.27,



между х1 и х2 при исключении влияния у

Стандартизированные коэффициенты регрессии вычислим по формулам (7.21, 7.22).




Стандартизированные коэффициенты регрессии показывают, что первый факторный признак сильнее влияет на результативный признак, чем второй факторный признак.

Параметры уравнения рассчитаем по формулам (7.19, 7.20).






Запишем уравнение регрессии:



При увеличении факторного признака х1 на единицу своего измерения, результативный признак у увеличивается на 1,46 единиц своего измерения, при условии, что х2 не изменяется. При увеличении факторного признака х2 на единицу своего измерения, результативный признак уменьшается на 0,9 единиц своего измерения, при условии, что х1 не изменяется.

Рассчитываем теоретические значения результативного показателя путем подстановки фактических значений факторных признаков в уравнение регрессии. Сумма теоретических значений равна сумме фактических значений результативного показателя, значит уравнение рассчитано верно.

Множественный коэффициент корреляции рассчитаем по формуле (7.24).



Связь между результативным признаком и факторными признаками, включенными в модель, сильная.

Множественный коэффициент детерминации – это множественный коэффициент корреляции в квадрате. В нашем примере он равен – 0,924. Это значит, что вариация результативного признака на 92,4 % зависит от вариации факторных признаков, включенных в уравнение множественной регрессии, а на 7,6 % зависит от случайных факторов, не включенных в регрессионную модель.

Рассчитаем коэффициенты эластичности по формуле 7.26



При увеличении первого факторного признака на один процент от своей средней величины, результативный признак увеличивается на 0,42 процента от своей средней величины, а при увеличении второго факторного признака на один процент от своей средней величины, результативный признак уменьшается на 0,14 процента от своей средней величины.

Адекватность модели определяется по критерию Фишера, формула (7.25).


Находим табличное значение критерия Фишера для уровня значимости 0,05, оно равно – 6,94. Fф.> Fкр. Модель адекватна, влияние факторных признаков на результативный существенно и статистически доказано с вероятностью 0,95.
Задача 3
По данным о динамике производства электроэнергии в Российской Федерации за 2003 – 2009 гг., млрд. кВт – ч. (таблица 3) определить основную тенденцию в изменении показателя методом аналитического выравнивания.
Таблица 3 - Динамика производства электроэнергии в Российской Федерации за 2003 – 2009 гг., млрд. кВт – ч.


год

Производство электроэнергии




















2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

916

932

953

996

1015

1040

992

1

2

3

4

5

6

7

1

4

9

16

25

36

49

916

1864

2859

3984

5075

6240

6944

923,4

941,5

959,6

977,7

995,8

1013,9

1032,0

54,8

90,3

43,6

334,9

368,6

681,2

1608,0

итого

6844

28

140

27882

6843,9

3181,4


Решение

Определим основную тенденцию производства электроэнергии в России .

Расчеты оформим в таблицу. Полученные результаты подставим в систему :



Поделим каждое уравнение почленно на коэффициент при параметре a и получим систему уравнений:


Из второго уравнения вычитаем первое уравнение и получаем:



Подставим значение параметра b в уравнение и получим значение параметра a:



Запишем уравнение тренда:



Это значит, что среднее выравненное значение производства электроэнергии в 2002 году равнялось 905,3 млрд. кВт. – ч. и каждый год производство в среднем увеличивалось на 18,1 млрд. кВт.- ч.

Рассчитаем теоретические значения, подставляя в уравнение тренда номер периода: 1,2,3…n (таблица 3). Сумма фактических значений и сумма теоретических значений совпадают , это значит, что расчеты выполнены правильно, разница 0,1 обусловлена округлениями в вычислениях.

Проверим уравнение тренда на пригодность к прогнозированию по коэффициенту автокорреляции в остатках, критерию Дарбина -Уотсона, средней ошибке аппроксимации. Расчеты занесем в таблицу 4:

Таблица 4 – Рабочая таблица

















916

932

953

996

1015

1040

992

923,4

941,5

959,6

977,7

995,8

1013,9

1032,0

-7,4

-9,5

-6,6

18,3

19,2

26,1

-40

-

-7,4

-9,5

-6,6

18,3

19,2

26,1

56,98

90,25

43,56

334,89

368,64

681,21

1600

-

70,3

62,7

-120,78

351,36

501,12

-1044

-

6,25

8,41

620,01

1,44

47,61

4369,21

0,0081

0,0102

0,0069

0,0184

0,0189

0,0251

0,0403

6844

6843,9

0,1

-

3175,53

-179,3

5052,93

0,1279


Коэффициент автокорреляции в остатках равен:



Коэффициент автокорреляции в остатках стремиться к 0, значит уравнение тренда пригодно для прогнозирования.

Критерий Дарбина – Уотсона равен:



Значение коэффициента для 5% уровня значимости:

Для нижней границы – 0,70; для верхней – 1,36.

Фактическое значение критерия 1,56 находится выше верхней границы, значит автокорреляции в остатках нет, уравнение тренда пригодно для прогнозирования.

Средняя ошибка аппроксимации равна:



Средняя ошибка аппроксимации меньше 5%, значит уравнение тренда пригодно для прогнозирования.

На основе исчисленного ранее уравнения тренда рассчитаем прогнозируемое значение уровня путем подстановки номера прогнозируемого периода в уравнение тренда (t=8). . Это значит, что можно ожидать производство электроэнергии в Российской Федерации в 2010 году 1050,1 млрд. кВт. – ч. По второму уравнению тренда . Прогнозы совпали. На практике строятся интервальные прогнозы.

Рассчитаем доверительный интервал прогноза для производства электроэнергии в Российской Федерации в 2010 году.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение от тренда (формула 5.26)


Коэффициент доверия определяем по таблице Стьюдента



Определяем границы интервала



Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что производство электроэнергии в Российской Федерации в 2010 году будет не менее 985,3, но и не более 1114,9 млрд. кВт. – ч.

Задача 4
Рассчитайте коэффициент автокорреляции 1-го порядка

Решение:

Таблица 5 -Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для уровней динамического ряда


T

Yt

Yt-1

YtYt-1

Yt2

Yt-12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

итого: 45

2

9

24

47

78

116

162

216

277

929

-

2

9

24

47

78

116

162

216

654

-

18

216

1128

3666

9048

18792

34992

59832

127692

-

81

576

2209

6084

13456

26244

46656

76729

172035

-

4

81

576

2209

6084

13456

26244

46656

95310


Поскольку в нашем примере к=1, то формула расчета коэффициента автокорреляции приобретает вид:
,
согласно таблице имеем:


Коэффициент автокорреляции высокий, приближается к единице. Это значит, что наблюдается высокая корреляция соседних членов ряда. Или другими словами уровни текущего месяца на 99,87 % обусловлены уровнями предыдущего месяца.


Варианты контрольных работ
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика» iconМетодические указания и контрольные задания по дисциплине
Методические указания и контрольные задания по дисциплине "Электротехника и электроника" для студентов спец. 37 01 06 "Техническая...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика» iconМетодические указания и контрольные задания по дисциплине «химия»
Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Химия». Екатеринбург: гоу впо «Рос гос проф пед университет», 2009. 68...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов специальности,...
Методические указания и контрольные задания по дисциплине Стандартизация норм точности для студентов специальности: 1- 38. 02. 01...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика» iconМетодические указания и контрольные задания по курсу «Математическая статистика»
Т338 Математическая статистика: Методические указания и контрольные задания/ Сост. Н. А. Кучанская. – Вологда–Молочное: иц вгмха,...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика» iconМетодические указания по выполнению контрольной работы 31 Общие указания 31
Производственные технологии : программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальностей 1-25 01 07 – Экономика...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика» iconУчебная программа, методические Указания и контрольные задания для...
Программа, методические указания и контрольные задания для студентов безотрывной формы обучения специальности

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика» iconУчебная программа, методические Указания и контрольные задания для...
Программа, методические указания и контрольные задания для студентов безотрывной формы обучения специальности

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов заочного...
Химия: Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения. /Составители: Г. В. Маврин. Набережные Челны:...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика» iconГеология месторождений полезных ископаемых программа, методические...
Геология месторождений полезных ископаемых: Программа, методические указания и контрольные задания/ Перм ун-т; Сост. Р. Г. Ибламинов,...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Эконометрика» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов специальности...
Брестский государственный технический университет, 2002. й политехнический институт

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов