В. И. Векленко экономико-математические




НазваниеВ. И. Векленко экономико-математические
страница1/22
Дата публикации29.06.2013
Размер2.89 Mb.
ТипУчебное пособие
zadocs.ru > Экономика > Учебное пособие
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22


-7
В.И. Векленко


ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

(курс лекций)




Курск
Издательство Курской государственной
сельскохозяйственной академии

2006

УДК 519.86 (075)

ББК 65.23я7

В 269

Печатается по решению

методического совета КГСХА

Векленко В.И. Экономико-математические методы и модели: Курс лекций. - Курск: Изд-во Курской гос. с.-х. акад., 2006. - с.
ISBN 5-7369-0373-3


Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями существующих ГОС для студентов по экономическим специальностям. В нем приведены общие сведения о линейном программировании, изложены симплексный и распределительный методы, основные положения теорий игр, управления запасами, массового обслуживания, сетевых методов, оптимизационные модели рыночного равновесия, потребительского поведения, поведения фирмы на различных рынках, выбора наиболее эффективных проектов инвестиций для управления материально-вещественными и финансовыми потоками на предприятиях, комплексах, отраслях АПК.

Для студентов сельскохозяйственных вузов, обучающихся по агроэкономическим специальностям.
.

Рецензенты:

Гуров В.И., доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой бухгалтерского учета, анализа и аудита Курского государственного университета

Привало К.И., доктор сельскохозяйственных наук, профессор кафедры высшей и прикладной математики КГСХА


ISBN 5-7369-0373-3

© Векленко В.И., 2006

ВВЕДЕНИЕ
В современных условиях развития экономики, характеризующейся усложнением межотраслевых связей, формированием крупных хозяйственных комплексов, имеется настоятельная необходимость в принципиально новых методических решениях проблем взаимной увязки, сбалансированности и оптимизации функционирования экономики в целом и ее составных частей.

Перемещение центра экономической деятельности на уровень предприятия, полная его ответственность за результаты своей деятельности тоже предполагает использование принципиально новых подходов к планированию и прогнозированию хозяйственных решений. Поэтому экономико-математические методы в целом и, прежде всего, модели становятся важнейшим инструментом совершенствования экономического механизма.

Под экономико-математическими методами подразумева­ют научную дисциплину, предметом изучения которой являются количественные характеристики и закономерности экономических процессов, рассматриваемые в неразрывной связи с их качественными характеристиками. В исследовани­ях применяют методы математической статистики и теории вероятностей, в значительной мере используют аппарат мате­матического программирования и моделирования экономических процессов, сетевого планирования, теории массового обслуживания, игр и т.д. Экономико-математическими мето­дами можно решать широкий круг экономических, учетно-статистических и управленческих задач.

По определению академика В. С. Немчинова, под эконо­мико-математической моделью понимают концентрированное выражение наиболее существенных экономических взаимосвя­зей исследуемых процессов в виде системы математических неравенств и уравнений. Конкретные методы моделирования опираются на математический аппарат производственных функций, программирования и широкий спектр методов ма­тематической имитации закономерностей поведения управляемых систем.
Предметом курса являются количественные характеристики в экономике, изучение их взаимосвязи и зависимости.

Задачи курса – изучение методов построения экономических моделей, т.е. приемов и правил формализации экономической деятельности.

Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям 080102 «Мировая экономика», 080105 «Финансы и кредит», 0801090 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080107 «Налоги и налогообложение».

Пособие предназначено для изучения курса «Экономико-математические методы и модели» студентами по агроэкономическим специальностям.

Главы 2, 4, 6, 7, 10, 19, 20 написаны совместно с Н.Н. Петренко.

Часть I. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ

Лекция 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ

^ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ


  1. Необходимость использования методов

  2. Классификация экономико-математических методов



1. Необходимость использования методов
Любая деятельность – производственная, научная или любая другая – предполагает использование набора инструментов и средств. Это касается изучения академических дисциплин, и в первую очередь связанных с экономической деятельность в целом, отдельных видов экономической деятельности, таких как:

  • организация и управление производством и производственными процессами, использованием трудовых, материальных, финансовых и других видов ресурсов;

  • экономический анализ результатов производства, использования ресурсов;

  • финансирование и кредитование предприятий, отраслей, государственных программ, социальных программ и т.д.

Для экономических дисциплин такими институтами являются совокупность основных теорий (концепций) и методов, способствующих пониманию происходящих экономических процессов и явлений, общению между специалистами, размышлению над существующими проблемами и проведению научных исследований.

Экономике и ее составным частям больше, чем другим дисциплинам приходится иметь дело с различными показателями, сводками показателей, таблицами, графиками, уравнениями и пр. Это связанно с тем, что материальная сторона жизни, изучением которой занимается экономика и отдельные экономические дисциплины, легче и естественнее описывается с помощью чисел.

Но деятельность экономистов всех специальностей не ограничивается работой только с показателями, хотя эта задача и является первоначальной, важнейшей и занимает большой удельный вес. Для экономистов не менее важными является такие задачи, как:

  • попытаться понять, что они наблюдают, что скрывается за совокупностью экономических показателей;

  • дать прогноз (т.е. предсказать) изменений в ближайшем будущем и более отдаленной перспективе;

  • проанализировать последствия предполагаемых изменений, принимаемых решений по определенным экономическим проблемам, использованию ресурсов и т.д.

Все эти задачи требуют активного использования таких методов познания, как модели или теории. Модель или теория – это упрощенное описание реальности, или точное описание абстрактной упрощенной экономики и ее составных частей.

Экономические модели раскрывают характер связей между экономическими переменными. Экономические показатели - это величины, влияющие на решения о том, что, как и для кого следует производить, а также характеризующих результаты этих решений.

Главной задачей изучения экономических дисциплин является установление закономерностей функционирования экономики. Поскольку реальная экономика слишком сложна, то построить понятные ее описания можно только значительно упростив ее, т.е. построив экономические теории и модели.

Отрицательным моментом такого упрощения является то, что все экономические теории и модели, строго говоря, являются ложными, поскольку не учитывают многих сторон реальной экономики.

Вместе с тем перед разработкой моделей или теорий и не должна стоять задача в полной мере реального описания действительности. Полезность модели проявляется в том случае, если она:

  • дает в целом правильные ответы на поставленные перед ее разработкой вопросы;

  • полученные по такой модели прогнозы согласовываются с имеющимися фактами.

Предметом курса являются количественные характеристики в экономике, изучение их взаимосвязи и зависимости.

Задачи курса – изучение методов построения экономических моделей, т.е. приемов и правил формализации экономической деятельности.

Значение изучаемого курса существенно возрастает в современных условиях перехода к рыночным отношениям. Это связано с необходимостью прогнозирования как на ближнюю, так и, особенно, на долгосрочную перспективу конъюнктуры рынка, связанного с ней поведения предприятий и других экономических субъектов. Прогнозные расчеты носят вероятностный, многовариантный характер. Для проведения таких расчетов не достаточно использовать традиционные расчетно-конструктивные методы. Требуются новые инструменты – экономико-математические методы.



  1. ^ Классификация экономико-математических методов


Особенностью решения задач управления экономикой является необходимость учета при их решении множества переменных величин, характеризующих постоянно изменяющиеся производственные условия.

Так как число сочетаний этих величин в течение определенного времени могло быть достаточно большим, то возможно существование значительного числа вариантов решений. Отсюда большая размерность решаемых задач. В этих условиях простой перебор и сравнение всех возможных вариантов решения конкретной задачи нереально из-за большой трудоемкости вычислений. Поэтому требуются специальные методы, позволяющие достаточно быстро и с достаточной степенью обоснованности найти искомое решение. Эти методы получили название экономико-математических методов.

Поскольку целью изучения экономико-математических методов является раскрытие механизма их реализации, определение области наиболее эффективного использования, то в качестве классификационного признака можно принять, например, характер используемого математического аппарата. По этому признаку можно выделить методы классической и прикладной математики (рис.1).

Методы классической математики включают математический анализ и теорию вероятностей. Методы математического анализа в свою очередь могут быть классифицированы на дифференциальное и вариационное исчисления. Эти методы целесообразно использовать при расчете параметров календарно-плановых нормативов: определение размеров партии деталей, длительности производственного цикла, для оперативного регулирования производства и др.

Группа методов прикладной математики обширна по номенклатуре, неоднородна по составу элементарных расчетов, способам их реализации, применяемым приемам и т.д. По общности указанных признаков методы рассматриваемой группы можно классифицировать следующим образом: методы оптимального программирования, математической статистики, комбинаторные методы, теории расписаний, игр, массового обслуживания, управление запасами, метод экспертных оценок.

Экономико-математические методы





1. Методы классической математики

1.1.

Матема-

тический

анализ

2. Методы прикладной математики

1.2.

Теория

вероят-

ности

2.2. Матема-

тическая

статистика

2.1. Оптимальное

программи-

рование

2.1.1. Линейное

2.1.2. Вероятность

2.1.5. Выпуклое

2.2.1. Корреляцион-

ный анализ

Дифференци-

альное

исчисление

2.1.6. Квадратичное

2.2.2. Регрессионный анализ

2.6. Теория массового обслуживания

2.4. Теория игр

2.3. Комбина-

торные

методы

2.2.3. Дисперсионный анализ

2.2.4. Факторный анализ

2.7. Теория управления запасами

2.8. Метод экспертных оценок



2.5. Теория расписания


2.1.3. Целочисленное


1.1.2. Вариационное исчисление


2.1.4. Нелинейное




2.1.7. Динамическое

2.1.8. Параметрическое

2.1.9. Блочное


Рис. 1 – Классификация экономико-математических методов
Методы математической статистики используются для нахождения и раскрытия закономерностей, свойственных большим совокупностям однородных объектов. При этом изучается не каждый элемент совокупности, а определенная выборка. Полученные характеристики такой выборки могут использоваться: 1) для сравнительной оценки элементов различных совокупностей или их характеристик, 2) для установления связей между отдельными величинами, 3) для прогнозирования на этой основе развития системы в будущем. Математическая статистика включает: корреляционный, регрессионный, дисперсионный, факторный анализы и др.

Оптимальное программирование – это комплекс специальных методов, обеспечивающих в условиях множества возможных решений выбор такого, которое является наилучшим (оптимальным) по заданному критерию при определенных ограничивающих условиях. Оптимальное программирование – эффективный инструмент решения задач управления. В их числе: линейное, вероятностное, целочисленное (дискретное) программирование, нелинейное, выпуклое, квадратичное, динамическое, параметрическое, блочное и др.

В математике решаемые на оптимум задачи называются экстремальными. В них требуется отыскать максимум или минимум некоторой целевой функции.

Линейное программирование используется при решении задач в том случае, когда целевая функция и ограничения выражены линейными зависимостями. Эти методы в настоящее время являются наиболее разработанными, относительно простыми и понятными для широкого использования. Существуют эффективные алгоритмы для использования вычислительной техники при их реализации. Многие процессы допускают линейную интерпретацию, а некоторые нелинейные зависимости могут быть сведены к линейным для ограниченного числа ситуаций.

Однако в некоторых случаях применение линейных методов искажает получаемые результаты, что приводит к необходимости использования и других методов.

Если в системе равенств или неравенств содержатся случайные элементы, но зависимости между переменными линейные, то такая задача решается методами вероятностного программирования. Если при нахождении неизвестных переменных необходимо, чтобы одна из них или несколько принимали только целочисленные значения, то в этом случае при решении такой задачи необходимо использовать методы целочисленного программирования.

Методы нелинейного программирования используются тогда, когда целевая функция, или хотя бы одно ограничение, выражены нелинейной зависимостью. В числе методов нелинейного программирования можно выделить квадратичное и выпуклое программирование.

Выпуклое программирование представляет собой совокупность специальных методов решения нелинейных экстремальных задач, у которых выпуклы либо целевая функция, либо ограничительные условия.

Квадратичное программирование – это совокупность методов решения особого класса экстремальных задач, в которых ограничения линейны, а целевая функция является многочленом второй степени.

Методы динамического программирования могут применяться для решения оптимизационных задач, в которых необходимо рассматривать процесс управления или производства в пространстве или во времени, т.е. в развитии. Весь процесс поиска оптимального решения представляется в виде определенной последовательности шагов, для каждого из которых находится оптимальное решение, влияющее на последующие шаги (принцип многошаговости Р.Беллмана).

В моделях реальных экономических систем коэффициенты целевой функции или ограничения могут являться не постоянными величинами, а изменяться в течение определенного периода времени под воздействием различных факторов. В этом случае эффективными будут методы параметрического программирования.

Модели, содержащие большое число показателей, очень сложны в реализации. Поэтому в тех случаях, когда это возможно, их преобразуют в несколько моделей меньшей размерности. Полученные локальные задачи решаются совместно с использованием специальных методов, наиболее известным из которых является метод разложения Данцига-Вульфа. Это методы блочного программирования.

Для решения задач методами математического программирования используются комбинаторные методы, например, ветвей и границ. В случае «трудной» задачи она заменяется на набор задач, представляющих ветвь. Чем больше ветвей, тем большее значение получает целевая функция. Граница предельной ветви достигается в том случае, если значение критерия не улучшается. К этим методам близко подходят эвристические, основные на опыте, интуиции исполнителя.

Когда приходится принимать решения в условиях неопределенноcти, причем такое решение должно обеспечивать наибольший эффект или наименьшие потери, целесообразно пользоваться методами теории игр.

Предметом исследования теории массового обслуживания являются вероятностные модели реальных систем обслуживания, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок. В экономике: заявка – спрос на продукцию определенного вида, обслуживающее устройство – предприятия.

Теория расписаний представляет собой систему методов, позволяющих упорядочить во времени использование системы машин для обработки некоторого множества изделий. При этом должны быть выполнены определенные технологические условия и обеспечено достижение оптимального значения заранее заданного критерия качества расписания.

Леция 2. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ


  1. Общие сведения о линейном программировании

  2. Задача линейного программирования

  3. Постановка задачи линейного программирования


^ 1. Общие сведения о линейном программировании
Особенностью экономических задач является их многовариантность. Задачи обоснования хозяйственной политики связаны с выбором наиболее эффективных вариантов использования имеющихся производственных ресурсов.

Использование расчетно-конструктивных методов, опыта и интуиции специалистов часто не позволяют обосновать наилучшее решение. Поэтому необходимы специальные экономико-математические методы, позволяющие выбрать наилучшие варианты решения экономических задач.

Одним из таких методов и является математическое программирование. Программирование обозначает выбор лучшей программы хозяйственной деятельности, лучшего варианта развития социально-экономического процесса.

Понятие «наилучший» является относительным. Лучший вариант хозяйствования зависит от: цели производства, условий, характера решаемых задач и т.д.

Для использования математических методов цель производства должна быть выражена количественными показателями. Этот показатель называется критерием оптимальности решения экономической задачи, или плана. Он задается математически в виде некоторой целевой функции, или функционала. Решение экономической задачи сводится к нахождению либо максимального, либо минимального значения целевой функции, т.е. экстремального ее значения.

Таким образом, оптимальным вариантом решения экономической задачи, или оптимальным планом, является такой вариант, который обеспечивает достижение экстремального значения критерия оптимальности.

Хозяйственная деятельность связана с использованием ограниченных ресурсов. Оптимальный план позволяет наилучшим способом использовать имеющиеся производственные ресурсы. Поэтому математическое программирование называется наукой о распределении ограниченных ресурсов для достижения поставленной цели.

Определение оптимального варианта с помощью экономико-математических методов предполагает возможность формулировки в виде математических соотношений не только критерия оптимальности, но и условий производства. На практике наиболее широкое распространение получили экономические задачи, в которых условия производства и критерий оптимальности могут быть представлены в виде линейных уравнений и неравенств. Решение таких задач изучает теория линейного программирования.

Линейное программирование представляет собой раздел математического программирования, занимающийся разработкой теории и методов оптимизации экстремальных экономических задач, в которых условия производства и критерий оптимальности выражены линейными соотношениями.

Использование методов линейного программирования в экономике сельского хозяйства имеет ряд преимуществ перед традиционными методами:

  1. если при использовании расчетно-конструктивных методов разрабатывается, как правило, один вариант решения и только в отдельных случаях несколько вариантов, то в линейном программировании принимаются во внимание все реально возможные варианты решений и из них выбирается наилучший, т.е. оптимальный;

  2. схема расчетов решения задачи методами линейного программирования может быть формализована и автоматизирована для использования вычислительной техники, что обеспечивает экономию труда, ускоряет решение задачи и принятия управленческих решений;

  3. использование современной вычислительной техники позволяет решить такие задачи, которые учитывают большое число факторов и условий производства, что значительно повышает качество и точность разрабатываемых вариантов развития социально-экономических процессов.



^ 2. Задача линейного программирования
Линейное программирование является частным разделом математического программирования. Математическое программирование – направление прикладной математики, в котором изучаются задачи условной оптимизации. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении.

Необходимым условием оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оптимальности) является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения.

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать планово-управленческое решение, заданное вектором = (х1, х2,…хn), где хj (j =) – его компоненты, которое наиболее адекватно отражает внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.

Понятие «наиболее адекватно» здесь означает применение некоторого критерия оптимальности, соответствующего экономическому показателю сравнения эффективности вариантов планово-управленческих решений. Традиционные критерии оптимальности: «максимум прибыли» и «минимум затрат».

Оценка внутренних возможностей и внешних условий производственной деятельности заключается в выполнении экономических условий, т.е. выбор X осуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решений D; которую называют областью определения задачи.

Принципу оптимальности в планировании и управлении отвечает решение экстремальной задачи вида:

max (min) f (), (1)

(2)

где f () – математическая запись критерия оптимальности – целевая функция.

Задачу условной оптимизации (1) - (2) обычно записывают в виде:

Найти максимум или минимум функции

f () = f1, х2,…хn) (3)

при ограничениях

( х1, х2,…хn) {<,=,>}b1 (4)

( х1, х2,…хn) {<,=,>}b2

............................................

( х1, х2,…хn) {<,=,>}bm

xj0, j=. (5)

Обозначение {<,=,>} говорит о том, что в конкретном ограничении возможен один из знаков: <,= или >. Более компактная запись:
max (min) f1, х2,…хn), (6)

( х1, х2,…хn) {<,=,>} bi , i=, (7)

xj0, j=. (8)
Задача (6) - (8) называется общей задачей математического программирования, другими словами, математической моделью задачи оптимального планирования, в основе построения которой лежат принципы оптимальности и системности.

Вектор (набор управляющих переменных xj, (j = ) называется допустимым решением, или планом задачи математического программирования, если он удовлетворяет системе ограничений. Допустимый план Х, который позволяет достичь максимум или минимум целевой функции f(x1, х2, ..., хn), называется оптимальным планом (оптимальным вариантом, или просто решением) задачи оптимального программирования.

Выбор оптимального управленческого решения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с позиций системности и оптимальности экономико-математического моделирования и решением задачи оптимального программирования.

Задачи математического программирования классифицируют по следующим признакам.

^ 1. По характеру взаимосвязи между переменными:

а) линейные – все соотношения заданы линейными функциями;

б) нелинейные – наличие нелинейных функций.

2. По характеру изменения переменных:

а) непрерывные, область допустимых значений образуют действительные числа;

б) дискретные – требование целочисленности некоторых переменных.

3. По учету фактора времени:

а) статические,

б) динамические.

4. По наличию информации о переменных:

а) задачи в условиях полной определенности (детерминированные),

б) задачи в условиях неполной информации,

в) задачи в условиях неопределенности.

^ 5. По числу критериев оценки альтернатив:

а) однокритериальные задачи,

б) задачи с использованием многокритериального комплекса.

Наиболее изучены задачи линейного программирования, для которых разработан универсальный метод решения, реализуемый способом последовательного улучшения плана (симплекс-метод), с помощью которого может быть решена любая задача линейного программирования.

^ 3. Постановка задачи линейного программирования
В задаче линейного программирования (ЗЛП) требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции f():
max (min) f() = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (9)

при ограничениях (условиях):

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn {,=,} b1,

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn {,=,} b2, (10)

……………………………………

am1x1 + am2x2 + … + amnxn {,=,} bm,

xj0, j=, (11)

где аij, bi, cj (i = ; j =) – заданные постоянные величины.
Систему ограничений (10) называют функциональными ограничениями ЗЛП, а ограничения (11) – прямыми.

Вектор = (x1, x2, …, хn), удовлетворяющий системе ограничений (10), (11), называется допустимым решением, или планом задачи линейного программирования, т.е. ограничения (10), (11) определяют область допустимых решений, или планов задачи линейного программирования (область определения ЗЛП).

План (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции (9), называется оптимальным планом (оптимальным решением) ЗЛП.

Канонической формой записи задачи линейного программирования

(КЗЛП) называют задачу вида (запись с использованием знаков суммирования):

Найти

max f () = (12)

при ограничениях

, (13)

хj0, bi0, i=, j=. (14)

Векторная форма записи КЗЛП имеет вид:

Найти

max f () =

при ограничениях

1x1 + 2x2 + … + nxn = ,

0,

где = (с1, с2, … сn), = ( х1, х2,…хn),

– скалярное произведение векторов , ;

i и – вектор – столбцы:
1 = , 2=, … , n=, = .
Матричная форма записи КЗЛП:

max

при условиях

А=В, 0

Здесь = (c1, с2,..., сп) – вектор-строка; А = (аij) – матрица размерности (mn), столбцами которой являются вектор-столбцы j,
- вектор – столбец, - вектор – столбец.
Приведение ЗЛП к каноническому виду осуществляется введением в левую часть соответствующего ограничения вида (10) k-й дополнительной переменной xn+k со знаком (-) в случае ограничения типа и знаком (+) в случае ограничения типа .

К математическим задачам линейного программирования приводят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (задача о смесях, рационе).

Задача о смесях. Октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем – не более 0,3%. Для производства такого бензина используется четыре компонента. Данные о ресурсах компонентов, их себестоимости, октановом числе и содержании серы приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Исходные данные для задачи о смесях

Характеристика

Компонент автомобильного бензина

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

Октановое число

68

72

80

90

Содержание серы, %

0,35

0,35

0,3

0,2

Ресурсы, т

700

600

500

300

Себестоимость, ден.ед./т

40

45

60

90
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

В. И. Векленко экономико-математические iconМетодические указания к выполнению тестовых заданий по учебной дисциплине...
Курс «Экономико-математические методы и модели» посвящен современным методам количественного обоснования управленческих решений,...

В. И. Векленко экономико-математические iconМетодические указания по проведению практических занятий и выполнению...
Методические указания предназначены для проведения практических занятий и выполнения домашних заданий по дисциплине «Экономико-математические...

В. И. Векленко экономико-математические iconРабочая программа по курсу «Математические модели в управлении» для...
Целью преподавания курса является обучение студентов основам работы с экономико-математическими моделями в управлении экономическими...

В. И. Векленко экономико-математические iconВопросы к экзамену по курсу экономико-математические методы и прикладные модели
Общая запись оптимизационной эмм (задача оптимального программирования). Основные элементы и понятия

В. И. Векленко экономико-математические iconТемы магистерских диссертаций по кафедре ипфм на 2012/2013 уч год...
Экономико-математические методы оптимизации работы с клиентами предприятия финансовой сферы

В. И. Векленко экономико-математические iconЛабораторная работа выполняется по темам: «Оптимизационные экономико-математические...
Лабораторная работа выполняется и защищается в соответствии с утвержденным расписанием занятий

В. И. Векленко экономико-математические iconКонтрольная работа по предмету Экономико-математические модели и методы
Номером варианта контрольной работы является последняя цифра в шифре зачетной книжки. Пример оформления контрольной работы предложен...

В. И. Векленко экономико-математические iconКонтрольные работы по дисциплине Экономико-математические методы и модели
Студентом выбирается вопросы по номеру в соответствии с последней цифрой зачетной книжки. (Например, если последняя цифра в зачетной...

В. И. Векленко экономико-математические iconМетодические указания и контрольные задания для студентов экономического...
Методические указания написаны в соответствии с программой курса «Математические методы решения задач» и предназначены для самостоятельного...

В. И. Векленко экономико-математические iconКоролевство Великобритания
«Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов