Учебная программа, методические Указания и контрольные задания для студентов безотрывной формы обучения минск 200
Скачать 1.49 Mb.
|
g и m2g и силы реакции N2 (рисунок 1.1)), не равна нулю. Поэтому применить закон сохранения импульса к системе «ящик-тележка» нельзя. Но так как проекция суммы указанных сил на направление оси X, совпадающей с направлением рельсов, равна нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать постоянной, т.е.  , где p1x и p2x – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; p1x и p2x – те же величины после падения ящика. Выразим в равенстве импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что  (тележка до взаимодействия с ящиком покоилась), а также то, что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью u: ,или  ,где v1 – скорость ящика перед падением на тележку;  – проекция этой скорости на ось X.Отсюда  . Скорость v1 определим из закона сохранения энергии:  ,о  ткуда  .Подставив выражение v1 в формулу , получим  .Наконец, подставляя сюда численные значения, найдём  .Ответ:  .Задача 4. На спокойной воде пруда перпендикулярно берегу и носом к нему стоит лодка массы M и длины L. На корме стоит человек массы m. На какое расстояние s удалится лодка от берега, если человек перейдёт с кормы на нос лодки? Силами трения и сопротивления пренебречь. Решение. Согласно следствию из закона сохранения импульса внутренние силы системы тел не могут изменить положение центра масс системы. Применяя это следствие к системе «человек-лодка», можно считать, что при перемещении человека по лодке центр масс системы не изменит своего положения, т.е. останется на прежнем расстоянии от берега. Пусть центр масс системы «человек-лодка» находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку C1 лодки (рисунок 1.2), а после перемещения лодки – через другую её точку C2. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А это последнее легко определить по перемещению центра масс O лодки. Как видно из рисунка 3.2, в начальный момент точка O находится на расстоянии a1 слева от вертикали, а после перехода человека – на расстоянии a2 справа от неё. Следовательно, искомое перемещение лодки равно  . Для определения a1 и a2 воспользуемся тем, что относительно центра масс системы моменты сил тяжести лодки и человека должны быть равны. Для точки C1 имеем  ,откуда  .Для точки C2 получаем  ,откуда  .Подставив полученные выражения для a1 и a2 в , найдём  .Ответ:  .Задача 5. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массы  поднялась на высоту  . Определить жёсткость k пружины пистолета, если она была сжата на  . Массой пружины пренебречь.Решение. Система «пуля-Земля» (вместе с пистолетом) является замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы – силы упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике, согласно которому полная механическая энергия E1 системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии E2 системы в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.  , или  , где T1, T2, U1, U2 – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях. Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство примет вид  . Если потенциальную энергию в поле сил тяготения Земли на её поверхности принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е.  , а в конечном состоянии – потенциальной энергии пули на высоте h, т.е.  .Подставив выражения для U1 и U2 в формулу , найдём  . Подставляя в формулу значения величин и произведя вычисления, получаем  .Ответ:  .Задача 6. Шар массы m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью  , столкнулся с неподвижным шаром массы m2. Шары абсолютно упругие, удар прямой центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал другому?Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением  , где ^ 1 – кинетическая энергия первого шара до удара; T2 – кинетическая энергия второго шара после удара; u2 – скорость второго шара после удара. Как видно из формулы , для определения надо найти u2. При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются законы сохранения импульса и механической энергии. Пользуясь этими законами, найдём  ,  . Решим совместно уравнения и :  . Подставляя это выражение в формулу и сократив на v1 и m1, получим  .Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменять местами. Ответ:  .З  адача 7. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу  (рисунок 1.3), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами  и  . Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.Решение. Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют две силы: сила тяжести m1g и сила упругости (натяжения нити) T1. Спроецируем эти силы на ось X, которую направим вертикально вниз, и напишем уравнение движения (второй закон Ньютона):  . Уравнение движения для второго груза:  . Под действием двух моментов сил  и  относительно оси Z, перпендикулярной плоскости чертежа и являющейся осью вращения блока, последний приобретает угловое ускорение . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения , где  ; – момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси вращения Z.Согласно третьему закону Ньютона  ,  . Воспользовавшись этим, подставим в уравнение вместо  ,  выражения T1 и T2, получив их предварительно из уравнений и : . После сокращения на R и перегруппировки членов найдём  . Отношение масс в правой части формулы есть величина безразмерная. Поэтому массы m1, m2 и m можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. Ускорение g следует выразить в единицах системы СИ. После подстановки получим  .Ответ:  .Задача 8. Маховик в виде сплошного диска радиуса  и массы  раскручен до частоты  и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через время  . Найти момент ^ сил трения.Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением вращательного движения в виде  , где dLz – изменение момента импульса маховика, вра-щающегося относительно оси Z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени dt; Mz – момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик, относительно той же оси. Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (  ), поэтому интегрирование уравнения приводит к выражению . При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси изменение момента импульса равно  , где Jz – момент инерции маховика относительно оси Z; – изменение угловой скорости маховика. Приравнивая правые части равенств и , получим  , откуда . Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле  . Изменение угловой скорости  выразим через конечную n2 и начальную n1 частоты вращения, пользуясь соотношением  : . Подставив в формулу выражения и , получим  . Подставив в числовые значения величин и учитывая, что  , произведём вычисления: .Знак «–» показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие. Ответ:  .Задача 9. Платформа в виде сплошного диска радиуса  и массы  вращается по инерции около вертикальной оси с частотой  . В центре платформы стоит человек, имеющий массу  . Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдёт на край платформы?Решение. Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения Z, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю. При этом условии момент импульса Lz системы «платформа-человек» останется постоянным:  , где Jz – момент инерции платформы с человеком относительно оси Z; – угловая скорость платформы. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому  ,где J1, J2 – моменты инерции платформы и человека. С учётом этого равенства условие примет вид  , здесь значения моментов инерции J1, J2 и угловой скорости относятся к начальному состоянию системы, а J1, J2 и – к конечному состоянию. Момент инерции платформы относительно оси Z при переходе человека не изменяется:  . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J2 в начальном положении (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент инерции человека равен  .Подставим в формулу выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком ( ) и конечной угловой скорости  , где v – скорость человека относительно пола: .После простых преобразований находим скорость  .Произведя вычисления, получаем  .^  .Задача 10. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости v1, сообщённой ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли  ? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.Решение. Минимальную скорость ракеты можно найти, зная её минимальную кинетическую энергию ^ 1. Для определения T1 воспользуемся законом сохранения механической энергии. Этот закон выполняется для замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы. Систему «ракета-Земля» можно считать замкнутой. Единственная сила, действующая на систему, – гравитационная, – относится к разряду консервативных. В качестве системы отсчёта выберем инерциальную систему отсчёта, так как только в такой системе справедливы законы динамики и, в частности, законы сохранения. Известно, что система отсчёта, связанная с центром масс замкнутой системы тел, является инерциальной. В данном случае центр масс системы «ракета-Земля» практически совпадает с центром Земли, так как масса Земли M много больше массы ракеты m. Следовательно, систему отсчёта, связанную с центром Земли, можно считать инерциальной. Согласно закону сохранения механической энергии , где T1, T2, U1, U2 – кинетические и потенциальные энергии системы «ракета-Земля» в начальном (на поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях. В выбранной системе отсчёта кинетическая энергия Земли равна нулю. Поэтому T1 есть просто начальная кинетическая энергия ракеты:  .Потенциальная энергия системы в начальном состоянии  .По мере удаления ракеты от поверхности Земли её потенциальная энергия возрастает, а кинетическая – убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия T2 станет равной нулю, а потенциальная энергия достигнет максимального значения:  .Подставляя выражения T1, T2, U1, U2 в , получаем  ,откуда  . Заметив, что  (g – ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде ,что совпадает с выражением для первой космической скорости. Произведя вычисления, получим  .Ответ:  .Задача 11. Определить релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией  .Решение. Кинетическая энергия T частицы представляет собой разность между полной энергией  и энергией покоя  : , где релятивистская масса m и масса покоя m0 связаны соотношением  , где  .Импульс p частицы равен произведению массы m на скорость:  . С учётом этого из соотношения получаем ,или  . Из соотношения очевидно, что  . Подставляя в , наконец, получаем искомую связь между импульсом и кинетической энергией частицы  . Масса покоя электрона равна  , что соответствует энергии  . Подставляем эти значения в формулу  ^  .Раздел 2 Колебания и волны Тема 2.1 Колебательные процессы. Гармонические колебания Колебательные системы. Типы колебательных процессов – свободные, вынужденные, параметрические и автоколебания. Уравнение свободных колебаний без трения: малые колебания математического, пружинного, физического маятников. Гармонические колебания. Амплитуда, период, частота и фаза колебаний. Гармонический осциллятор. Энергия гармонического осциллятора. Тема 2.2 Затухающие колебания Превращение энергии при колебательном движении. Затухающие колебания. Причины затухания колебаний. Уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность. Диссипация энергии при затухающих колебаниях. Лабораторная работа 9. Определение ускорения свободного падения с помощью физического маятника. Тема 2.3 Вынужденные колебания. Резонанс Собственная частота колебаний колебательной системы. Вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Векторная диаграмма. Резонанс. Резонансная кривая. Параметрические колебания и параметрический резонанс. Тема 2.4 Волновые процессы Понятие волны. Типы волн. Продольные и поперечные волны. Гармоническая плоская и сферическая волны. Уравнение плоской волны. Одномерное уравнение. Характеристики волновых процессов – амплитуда, фазовая скорость, длина волны, волновое число. Энергия упругой волны. Поток и плотность потока энергии волны. Вектор Умова-Пойнтинга. Тема 2.5 Эффект Допплера для звуковых и электромагнитных волн Эффект Допплера для звуковых волн. Продольный и поперечный эффекты Допплера для электромагнитных волн. «Красное смещение» и расширяющаяся Вселенная. ^ В теме 2.1 рассматриваются понятия, связанные с описанием колебательного движения материальной точки и твёрдого тела около положения равновесия. Простейшим случаем свободных колебаний являются гармонические колебания, для описания которых вводятся амплитуда, период, частота и фаза колебаний. Тема 2.2 посвящена описанию колебательных процессов с точки зрения сохранения и превращения энергии. Изучаются затухающие колебания, характеризуемые коэффициентом затухания и логарифмическим декрементом затухания. Для характеристики качества колебательной системы вводится понятие добротности. В теме 2.3 описывается воздействие внешних сил на колебательную систему, которое приводит к вынужденным колебаниям. Важным случаем вынужденных колебаний является совпадение частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебаний системы, приводящее к резонансу. Рассматриваются также параметрические колебания, которые система совершает при одновременном периодическом изменении какого-либо параметра системы, и связанное с ними понятие параметрического резонанса. В теме 2.4 даются общие понятия о волновых процессах, вводится понятие волны, рассматриваются различные типы волн, среди которых особое значение имеют гармонические волны, характеризуемые амплитудой, фазовой скоростью, длиной волны, волновым числом. Изучается распространение волн в упругой среде и устанавливается связь фазовой скорости распространения волны с упругими свойствами среды. В теме 2.5 рассматривается эффект Допплера изменения частоты звуковых волн в случае движения источника волн, а также продольный и поперечный эффект Допплера для электромагнитных волн. ^ Отклонение x колебательной системы от положения равновесия при малых колебаниях удовлетворяет уравнению свободных гармонических колебаний  ,решением которого является гармоническая функция  ,где ^ – амплитуда колебаний; 0– циклическая частота колебаний; 0 – начальная фаза. Скорость v и ускорение a материальной точки, совершающей гармонические колебания (гармонического осциллятора):  , .Период колебаний пружинного маятника массы m с жёсткостью k, равен  .Период колебаний математического маятника длины ^ , на который действует ускорение a, равен  .Период колебаний физического маятника, на который действует ускорение a, равен  ,где ^ – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса маятника и перпендикулярной плоскости колебаний; l – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника. Приведённая длина физического маятника:  .Кинетическая энергия гармонического осциллятора:  .Потенциальная энергия гармонического осциллятора:  .Полная энергия гармонического осциллятора:  .Средние значения кинетической и потенциальной энергий гармонического осциллятора:  .Результатом сложения гармонических колебаний, происходящих с одинаковой частотой в одном направлении, является также гармоническое колебание с амплитудой  и начальной фазой  ,где A1, A2, 1, 2 – амплитуды и начальные фазы складывающихся колебаний. Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях  ,  имеет вид: а) прямой  , если разность фаз  ;б) прямой  , если разность фаз  ;в) эллипса  , если разность фаз  ;г) окружности  , если разность фаз и амплитуды равны: ;Уравнение затухающих колебаний имеет вид  ,решением которого является функция  ,где  – амплитуда затухающих колебаний; – циклическая частота затухающих колебаний;0 – начальная фаза; А0 – начальная амплитуда колебаний (в момент  ); – коэффициент затухания; 0 – циклическая частота свободных колебаний без трения. Время релаксации системы, совершающей затухающие колебания:  .Логарифмический декремент затухания:  ,где  – период затухающих колебаний;Ne – число колебаний за время , в течение которого амплитуда уменьшается в e раз. Добротность затухающей колебательной системы:  .Уравнение вынужденных колебаний  ,решением, которого является функция  ,где  – амплитуда вынужденных колебаний; – частота вынуждающей силы;  – смещение по фазе от вынуждающей силы.0 – частота свободных колебаний без трения; Резонансная частота  .Резонансная амплитуда  .Волновое уравнение  ,где  – отклонение точек среды от положения равновесия;v – фазовая скорость распространения волны (колебаний среды). Любая функция вида  является решением волнового уравнения и представляет суперпозицию двух волн, распространяющихся в направлении оси X (u1) и в противоположном направлении (u2). Плоская гармоническая бегущая волна:  ,где u(x,t) – смещение точки среды, характеризуемой радиус-вектором x в момент времени t; A0 – амплитуда волны;  – циклическая частота волны; |
Похожие:
 | Программа, методические указания и контрольные задания для студентов безотрывной формы обучения специальности | | Статистика. Учебная программа, методические указания и задания к контрольной работе |
| Воловик, О. В./ Экология Республики Коми [Текст]: метод указания по выполнению контрольных работ для студентов безотрывной формы... | | Производственные технологии : программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальностей 1-25 01 07 – Экономика... |
| Немецкий язык : методические указания и контрольные задания для студентов 2 курса железнодорожных специальностей заочной формы обучения... | | Статистика: методические указания и контрольные задания для студентов специальностей 1-26 02 02 «Менеджмент» и 1-26 02 03 «Маркетинг»... |
| Рассмотрены и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом университета | | Методические указания и контрольные задания по дисциплине Стандартизация норм точности для студентов специальности: 1- 38. 02. 01... |
| Математика: программа и контрольные задания / В. Б. Грахов, М. Минькова, В. Б. Соловьянов. Екатеринбург: гоу впо угту-упи, 2005.... | | Статистика: методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ для студентов специальностей 1-25 01 08 «Бухгалтерский... |