Учебная программа, методические Указания и контрольные задания для студентов безотрывной формы обучения минск 200
Скачать 1.49 Mb.
|
k – волновой вектор; 0 – начальная фаза волны. Сферическая гармоническая волна:  ,где  – волновое число; – длина волны. Длина волны , фазовая скорость распространения волны v и частота волны связаны соотношением  .Связь разности фаз колебаний с расстоянием x между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний:  .Групповая скорость:  .Ширина волнового пакета x связана с интервалом k волновых чисел волн, содержащихся в волновом пакете и распространяющихся в направлении X, соотношением  .Скорость продольных волн в упругой среде:  ,где E – модуль продольной упругости (модуль Юнга) среды; – плотность среды. Скорость поперечных волн в упругой среде:  ,где G – модуль сдвига среды. Скорость звуковых волн в газообразной среде:  ,где – показатель адиабаты; p – давление газа; – плотность газа. Частота звуковой волны, воспринимаемая движущимся наблюдателем (эффект Допплера):  ,где 0 – частота звуковой волны, воспринимаемая покоящимся относительно источника наблюдателем; v – скорость звуковой волны в неподвижной среде; uн – скорость движения наблюдателя относительно среды; uи – скорость движения источника волн относительно среды;  – единичный вектор, направленный от источника к наблюдателю;k – волновой вектор;  – угол между векторами uн и k; – угол между векторами uи и k.Частота электромагнитной волны, воспринимаемая наблюдателем, движущимся вдоль направления распространения волны со скоростью v (продольный оптический эффект Допплера):  ,где 0 – частота электромагнитной волны, воспринимаемая покоящимся относительно источника наблюдателем; c – скорость электромагнитных волн (света). Частота электромагнитной волны, воспринимаемая наблюдателем, движущимся перпендикулярно направлению распространения волны со скоростью v (поперечный эффект Допплера):  .^ Задача 1. Точка совершает гармонические колебания с частотой  . В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение  . Написать уравнение колебаний точки и начертить график.Решение. Уравнение колебаний точки можно записать в виде  , где ^ – амплитуда колебаний; – циклическая частота; t – время; 0 – начальная фаза колебаний. По определению амплитуда колебаний  . Циклическая частота связана с частотой n соотношением  . В момент времени  формула принимает вид ,откуда начальная фаза равна  , где  .Изменение фазы на 2 не изменяет состояния колебательного движения. Поэтому можно принять  . С учётом равенств - уравнение колебаний примет вид  ,где  , , .График соответствующего гармонического колебания приведен на рисунке 2.1.  Задача 2. Частица массы  совершает гармонические колебания с периодом  . Полная энергия колеблющейся частицы  . Определить амплитуду ^ колебаний и наибольшее значение силы Fmax, действующей на частицу.Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы  .Отсюда амплитуда равна  . Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на неё, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением  ,где k – коэффициент квазиупругой силы; x – смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении xmax, равном амплитуде  . Коэффициент k выразим через период колебаний:  . Подставив выражения и в и произведя упрощения, получим  .Произведём вычисления  ; .Ответ:  ;  .Задача 3. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями  где  ;  ;  ;  ;  . Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления нужно зафиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени . Преобразовав оба уравнения к канонической форме  , увидим, что оба складывающихся гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту ,а начальные фазы первого и второго колебаний равны  ,  .Произведём вычисления:  ; ;  .Изобразим векторы  и  (рисунок 2.2). Для этого сложим отрезки длиной и под углами  и  к оси OX. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой и амплитудой  , равной геометрической сумме амплитуд  и  :  . Согласно теореме косинусов .Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рисунок 2.2).  Произведём вычисления:  ; .Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде ,где  ;  ;  .Задача 4. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых  ,  , где А1 = 1 см; А2 = 2 см; 1 = с-1; 2 = / 2с-1. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки. Решение. Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1) и (2). Заметив, что  , применим формулу для косинуса половинного угла .Используя это соотношение и отбросив размерности x и y, можно написать  ,  ,откуда  . Это уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью OX. Как показывают уравнения и , амплитуда колебаний точки по оси OX равна 1, а по оси OY – 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от –1 до +1, а ординаты – от –2 до +2. Для построения траектории найдём по уравнению значения y, соответствующие ряду значений x, удовлетворяющих условию  :
Н  ачертив координатные оси и выбрав единицу длины – сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой получим траекторию результирующего колебания точки. Она представляет собой часть параболы, заключённой внутри прямоугольника амплитуд ABCD (рисунок 2.3).Из уравнений и находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси  , а по вертикальной оси  . Следовательно, когда точка совершит одно полное колебание по оси OX, она совершит только половину полного колебания по оси OY. В начальный момент имеем:  (точка находится в положении A). При  имеем  (точка находится в вершине параболы). При  получим  (точка находится в положении D). После этого она будет двигаться в обратном направлении. Задача 5. Тело массы  совершает затухающие колебания с циклической частотой . При этом за время  тело теряет 0,9 своей полной механической энергии. Найти: а) коэффициент затухания; б) коэффициент сопротивления среды; в) добротность колебательной системы.Решение. Начальную фазу колебаний можно положить равной нулю, . Тогда уравнение затухающих колебаний имеет решение , где коэффициент затухания связан с коэффициентом сопротивления среды r соотношением  , а частота затухающих колебаний связана с частотой свободных колебаний 0 в отсутствие затуханий соотношением  , где k – коэффициент упругости затухающей системы. Полная механическая энергия системы определяется как сумма кинетической и потенциальной энергии  . Дифференцируя соотношение по времени, найдём скорость затухающих колебаний  . Подставляя и в и используя соотношение , найдём зависимость полной энергии от времени  По условию задачи  , где . Следовательно, из получаем Подставляя сюда численные значения для и t, заметим, что  . Поэтому  . Аналогично  . Следовательно, из получаем уравнение для определения : Сокращая на  , находим коэффициент затухания . Подставляя в , найдём коэффициент сопротивления среды:  .Добротность вычислим по формуле  .Полученные значения для коэффициента затухания и добротности свидетельствуют о том, что силы сопротивления среды, действующие в системе, малы, и система может достаточно долго колебаться, хотя за первую минуту колебаний она теряет 90% своей энергии. Ответ: а)  ;б)  ; в)  .Задача 6. Определить амплитуду вынужденных колебаний груза массы  на пружине с коэффициентом жёсткости  , если на груз действует вертикальная вынуждающая гармоническая сила с амплитудой  и частотой, в 2 раза большей собственной частоты груза на пружине. Коэффициент затухания  .Решение. Амплитуду вынужденных колебаний груза следует вычислять по формуле  , где собственная частота груза на пружине определяется коэффициентом жёсткости и массой груза по формуле  . По условию задачи частота вынуждающей силы в 2 раза большей собственной частоты груза, т.е.  . Подставляя и в , находим  Наконец, подставляя сюда численные значения из условия задачи, получаем  .Ответ:  .Задача 7. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью  . Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях  и  от источника волн, колеблются с разностью фаз  . Найти: а) длину волны ; б) написать уравнение волны; в) смещение указанных точек в момент  , если амплитуда  .Решение. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны , колеблются с разностью фаз, равной  .Решая это равенство относительно , получаем  . Подставив числовые значения величин, входящих в выражение , и выполнив арифметические действия, получим  .Для того чтобы написать уравнение плоской волны, надо ещё найти циклическую частоту . Так как , где  – период колебаний, то  .Зная амплитуду A колебаний, циклическую частоту и скорость распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:  , где ,  , .Чтобы найти смещение y указанных точек, достаточно в уравнение подставить значения t и x:  ; Ответ: а)  ; б)  ; в)  ,  .^ Тема 3.1 Электростатическое поле в вакууме Закон Кулона. Напряжённость электрического поля. Работа кулоновских сил. Потенциал и его связь с напряжённостью электрического поля. Теорема о циркуляции вектора E. Электрическое поле системы зарядов. Принцип суперпозиции полей. Непрерывные распределения зарядов. Объёмная, поверхностная и линейная плотности зарядов. Эквипотенциальные поверхности. Электрический диполь и электрический дипольный момент. Силы, действующие на диполь в электрическом поле. Энергия диполя. Поток вектора E напряжённости электрического поля. Теорема Гаусса и её применение к расчёту полей. Тема 3.2 Электрическое поле в веществе. Диэлектрики Строение диэлектриков. Связанные и сторонние заряды. Электрическое поле внутри диэлектрика, помещённого во внешнее электрическое поле. Поляризация диэлектрика. Векторы поляризации P и индукции D (электрического смещения) электрического поля. Диэлектрическая восприимчивость и проницаемость. Теорема Гаусса для вектора D. Условия на границе раздела двух диэлектриков для составляющих векторов E и D. Тема 3.3 Свойства проводников. Электроёмкость. Энергия электрического поля Электрическое поле внутри проводника и у его поверхности. Свойство проводников накапливать электрический заряд. Электроёмкость уединённого проводника и взаимная ёмкость двух проводников. Конденсаторы. Потенциальная энергия системы зарядов. Энергия уединённого проводника и конденсатора. Энергия и плотность энергии электрического поля. Тема 3.4 Электрический ток. Законы Ома и Джоуля-Ленца Сила и плотность тока. Электродвижущая сила. Сопротивление и проводимость проводника. Закон Ома для однородного и неоднородного участков цепи. Правила Кирхгофа для разветвлённых цепей. Электронная теория проводимости. Закон Ома в дифференциальной форме. Зависимость сопротивления от температуры. Мощность тепловых потерь. Закон Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах. Тема 3.5 Магнитное поле тока в вакууме Магнитное поле тока. Магнитный диполь. Вектор магнитной индукции B. Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции полей. Магнитное поле прямого бесконечного проводника с током и кругового тока. Взаимодействие токов. Закон Ампера. Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции B. Теорема о циркуляции вектора B. Закон полного тока. Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Сила Лоренца. Контур с током в магнитном поле. Прецессия Лармора. Тема 3.6 Магнитное поле в веществе. Магнетики Строение магнетиков. Парамагнетики, диамагнетики и ферромагнетики. Молекулярные токи. Магнитное поле внутри магнетика, помещённого во внешнее магнитное поле. Вектор намагниченности. Циркуляция намагниченности. Вектор H напряжённости магнитного поля и теорема о циркуляции вектора H. Магнитная восприимчивость и проницаемость. Применение теоремы о циркуляции вектора H к расчёту полей. Магнитное поле соленоида. Условия на границе раздела двух магнетиков для векторов B и H. Свойства ферромагнетиков. Кривая намагничивания. Остаточная намагниченность. Магнитный гистерезис. Тема 3.7 Закон электромагнитной индукции Фарадея. Энергия магнитного поля Опыты Фарадея. Правило Ленца. Закон электромагнитной индукции. Полный магнитный поток (потокосцепление). Токи Фуко. Явление самоиндукции. Индуктивность. Э.д.с. самоиндукции. Индуктивность соленоида. Токи при замыкании и размыкании цепи. Взаимная индуктивность. Энергия контура с током. Энергия и плотность энергии магнитного поля. Тема 3.8 Уравнения Максвелла для электромагнитного поля. Электромагнитные волны Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности. Поляризационный ток и ток смещения. Вихревое электрическое поле. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса. Электромагнитные волны. Энергия и импульс электромагнитного поля. Вектор Умова-Пойнтинга. Излучение электромагнитных волн электрическим диполем, рамкой с током. Колебательный контур. ^ В теме 3.1 изучаются электростатические явления, связанные со свойством заряженных тел взаимодействовать друг с другом. Вводится понятие напряжённости электрического поля как его силовой характеристики. Вычисляется работа кулоновских сил и вводится энергетическая характеристика электрического поля – потенциал. Так как электростатическое поле является консервативным, то работа этих сил по любому замкнутому контуру оказывается равной нулю, что составляет содержание теоремы о циркуляции вектора E. Определяется связь потенциала с напряжённостью поля и вводится понятие эквипотенциальной поверхности. Следует обратить внимание на то, что закон Кулона справедлив только для точечных зарядов. Электрическое поле как дискретной, так и непрерывной системы зарядов может быть вычислено на основании принципа суперпозиции полей. Рассматривается простейшая система зарядов – электрический диполь, характеризуемый электрическим дипольным моментом. Вычисляется поле электрического диполя на больших расстояниях. Отмечается, что на больших расстояниях электрически заряженная система зарядов может рассматриваться как точечный заряд, а электронейтральная система зарядов – как электрический диполь. Рассматривается поведение диполя в электрическом поле, в котором он обладает потенциальной энергией. Вводится понятие потока вектора через поверхность и доказывается теорема Гаусса для напряжённости электрического поля, позволяющая вычислить электрические поля в случаях, когда распределение зарядов обладает определённой симметрией. Тема 3.2 изучает явление поляризации, происходящее внутри диэлектрика, помещённого во внешнее электрическое поле. Следует помнить, что в диэлектрике практически все заряды являются связанными, а свободные заряды практически отсутствуют. Поляризация диэлектрика характеризуется вектором поляризации P, поток которого через замкнутую поверхность внутри диэлектрика определяется только связанными зарядами внутри этой поверхности. Благодаря этому вводится вектор индукции D (электрического смещения) электрического поля, который определяет «истинное» поле внутри диэлектрика. Формулируется теорема Гаусса для вектора D и вводятся понятия диэлектрической восприимчивости и проницаемости. Рассматриваются условия на границе раздела двух диэлектриков для составляющих векторов E и D. В теме 3.3 рассматриваются свойства проводников, характеризующихся большим количеством свободных зарядов. Показывается, что электрическое поле внутри проводника и у его поверхности должно быть равно нулю, что означает постоянство потенциала во всём объёме проводника. Свойство проводников накапливать электрический заряд даёт возможность ввести понятие электроёмкости уединённого проводника. Определяется также взаимная ёмкость двух проводников, зависящая от их взаимной конфигурации. Рассматриваются некоторые типы конденсаторов (плоский, сферический) и рассчитывается их ёмкость, а также ёмкость их последовательного и параллельного соединений. Проводник или систему проводников можно рассматривать как систему зарядов, обладающую потенциальной энергией. Вычисляется электрическая энергия плоского конденсатора, представляющая энергию однородного поля, сосредоточенного в объёме между обкладками конденсатора. Вводится понятие плотности энергии электрического поля. В теме 3.4 изучается упорядоченное движение носителей зарядов в проводниках, представляющее электрический ток, характеризуемый силой и плотностью тока. Вводятся понятия электродвижущей силы и напряжения, сопротивления и проводимости проводника. Устанавливается закон Ома для однородного и неоднородного участков цепи. Для расчёта разветвлённых цепей применяются правила Кирхгофа. Для неоднородных проводников следует применять закон Ома в дифференциальной форме, основанный на электронной теории проводимости. Рассматривается зависимость сопротивления проводников от температуры и свойство некоторых проводников обладать сверхпроводящими свойствами. Следует представлять, что заряды в проводниках в своём движении сталкиваются с узлами кристаллической решётки и передают им свою энергию, что приводит к выделению тепла, описываемому законом Джоуля-Ленца, который записывается как в интегральной, так и в дифференциальной формах. Тема 3.5 рассматривает поле, возникающее в результате движения зарядов и проявляющееся как магнитное поле тока, которое можно зарегистрировать по взаимодействию с магнитным диполем. Вектор магнитной индукции B вводится как силовая характеристика магнитного поля, численно равная силе, действующей на точечный магнитный диполь, обладающий единичным магнитным дипольным моментом. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет рассчитать магнитную индукцию поля, создаваемого элементом тока. Так же, как и для электрического поля, для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции. Вычисляется магнитное поле прямого бесконечного проводника с током и кругового тока. Изучается взаимодействие токов, описываемое законом Ампера. Рассматриваются теоремы Гаусса и теорема о циркуляции для вектора магнитной индукции B, выражающая закон полного тока. Используя закон Био-Савара-Лапласа, выводится выражение для магнитного поля равномерно движущегося заряда. Рассматривается сила Лоренца, действующая на заряд, движущийся в суперпозиции электрического и магнитного полей. Описывается поведение контура с током, помещённого в магнитное поле, который обладает потенциальной энергией. Действие на контур сил со стороны магнитного поля приводит к прецессии Лармора дипольного магнитного момента вокруг оси, параллельной направлению магнитного поля, проходящей через центр диполя. Тема 3.6 изучает строение магнетиков и характерные особенности парамагнетиков, диамагнетиков и ферромагнетиков. Следует знать, что любое вещество является магнетиком, поскольку оно содержит различного рода молекулярные токи, представляющие магнитные диполи. Помещение вещества во внешнее магнитное поле приводит к выстраиванию молекулярных диполей и к прецессии Лармора, что приводит к намагниченности вещества и обуславливает его парамагнитные и диамагнитные свойства. Для характеристики намагниченности вводится вектор намагниченности и вычисляется его циркуляция, определяемая только теми замкнутыми молекулярными токами, которые нанизаны на контур. Благодаря этому вводится вектор напряжённости H магнитного поля, который определяет «истинное» поле внутри магнетика. Формулируется теорема о циркуляции вектора H и вводятся понятия магнитной восприимчивости и проницаемости. Теорема о циркуляции вектора H применяется к расчёту магнитного поля соленоида. Рассматриваются условия на границе раздела двух магнетиков для векторов B и H. Описываются свойства ферромагнетиков, объясняемые нескомпенсированностью спиновых магнитных моментов электронов в атомах, благодаря чему ферромагнетики обладают остаточной намагниченностью после выключения магнитного поля. Это приводит к зависимости намагниченности и поля внутри магнетика от внешнего поля, выражающейся в явлении магнитного гистерезиса. Тема 3.7 посвящена изучению явления электромагнитной индукции, описываемого законом Фарадея и правилом Ленца и объясняемого изменением полного магнитного потока (потокосцепления) через замкнутый контур. Особое внимание следует обратить на электронный характер электромагнитной индукции и на обоснование закона Фарадея из закона сохранения энергии. Следствием закона Фарадея является самоиндукция, т.е. возникновение в контуре э.д.с. при изменении магнитного потока через этот контур. Вводится понятие индуктивности контура и взаимной индуктивности двух контуров. Вычисляется индуктивность контура и соленоида. Рассматриваются токи в цепи при её замыкании и размыкании. Вычисляется энергия контура с током, с помощью которой определяется магнитная энергия соленоида, представляющая энергию однородного поля, сосредоточенного в объёме соленоида. Вводится понятие плотности энергии магнитного поля. В этом разделе следует обратить внимание на аналогию между электрическими векторами E и D и магнитными векторами B и H. Тема 3.8 посвящена описанию электромагнитного поля посредством уравнений Максвелла. Рассматривается закон сохранения заряда и выражающее его уравнение непрерывности. Вычисляется поляризационный ток и вводится понятие тока смещения, возникающего при изменении электрического поля. Уравнения Максвелла, выражающие закон электромагнитной индукции и закон полного тока, записываются в интегральной форме. Использование теорем Стокса и Остроградского-Гаусса позволяет записать эти уравнения в дифференциальной форме. Рассматриваются электромагнитные волны, распространяющиеся в пространстве, в котором отсутствуют распределения зарядов и токов. Вводятся основные характеристики электромагнитного поля: скорость, волновой вектор, плотность энергии и плотность импульса, представляемая вектором Умова-Пойнтинга. Рассматриваются простейшие устройства, способные излучать электромагнитные волны: электрический диполь Герца, рамка с током, колебательный контур. ^ Закон Кулона  определяет силу F взаимодействия точечных зарядов q и Q; где 0 – электрическая постоянная; – относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой заряды взаимодействуют;  – расстояние между зарядами; |
Похожие:
 | Программа, методические указания и контрольные задания для студентов безотрывной формы обучения специальности | | Статистика. Учебная программа, методические указания и задания к контрольной работе |
| Воловик, О. В./ Экология Республики Коми [Текст]: метод указания по выполнению контрольных работ для студентов безотрывной формы... | | Производственные технологии : программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальностей 1-25 01 07 – Экономика... |
| Немецкий язык : методические указания и контрольные задания для студентов 2 курса железнодорожных специальностей заочной формы обучения... | | Статистика: методические указания и контрольные задания для студентов специальностей 1-26 02 02 «Менеджмент» и 1-26 02 03 «Маркетинг»... |
| Рассмотрены и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом университета | | Методические указания и контрольные задания по дисциплине Стандартизация норм точности для студентов специальности: 1- 38. 02. 01... |
| Математика: программа и контрольные задания / В. Б. Грахов, М. Минькова, В. Б. Соловьянов. Екатеринбург: гоу впо угту-упи, 2005.... | | Статистика: методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ для студентов специальностей 1-25 01 08 «Бухгалтерский... |