Учебная программа, методические Указания и контрольные задания для студентов безотрывной формы обучения минск 200
Скачать 1.49 Mb.
|
^ – равнодействующая сил F2 и F3. Так как силы F и F4 направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство можно заменить скалярным:  .Выразив F через F2 и F3 и учитывая, что  , получим .Применив закон Кулона, и имея в виду, что  , найдём ,откуда  . Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что  .С учётом этого из формулы получим  .Произведя вычисления, находим  .Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым. Ответ:  . Задача 3. На тонком стержне длиной  находится равномерно распределённый электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии  от ближайшего конца находится точечный заряд  , который взаимодействует со стержнем с силой  . Определить линейную плотность заряда на стержне.Решение. Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q зависит от линейной плотности заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить . При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим в стержне малый участок dr с зарядом  (рисунок 3.4). Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона  . И  нтегрируя это выражение в пределах от a до l+a, получаем  ,откуда  .Произведём вычисления:  .Ответ:  . Задача 4. Два точечных электрических заряда  и  находятся в воздухе на расстоянии  друг от друга. Определить напряжённость E и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке A, удалённой от заряда Q1 на расстояние  и от заряда ^ 2 на расстояние  .Решение. Результирующее электрическое поле двух зарядов в точке можно определить исходя из принципа суперпозиции полей, согласно которому поле каждого заряда не зависит от присутствия других зарядов. Поэтому напряжённость электрического поля E в точке A равна векторной, или геометрической сумме напряжённостей E1 и E2 электрических полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:  (рисунок 3.5). Величины напряжённостей электрического поля зарядов Q1 и Q2 в воздухе ( = 1) в точке A равны ,  .Так как заряд Q1 положителен, то вектор ^ 1 направлен вдоль силовой линии поля от заряда, тогда как вектор E2 направлен вдоль силовой линии поля к отрицательному заряду Q2. Величину вектора E можно найти по теореме косинусов:  ,где – угол между векторами E1 и E2. Из теоремы косинусов для треугольника Q1AQ2 следует:  ,откуда  Следовательно, величина суммарной напряжённости поля равна  В соответствии с принципом суперпозиции потенциал результирующего поля, создаваемого двумя зарядами Q1 и Q2, равен алгебраической сумме потенциалов: = 1 + 2. Потенциалы зарядов Q1 и Q2 в точке A равны   так что результирующий потенциал равен  Ответ:  ;  .Задача 5. Точечный заряд  находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиуса  , равномерно заряженным с поверхностной плотностью  . Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра  .Решение. Значение силы F, действующей на точечный заряд Q, находящийся в электрическом поле, определяется по формуле  , где E – напряжённость поля. Напряжённость поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра можно найти, используя теорему Гаусса. Для этого окружим цилиндр коаксиальной цилиндрической поверхностью радиусом r и высотой h и замкнём её двумя основаниями S1 и S2 (рисунок 3.6). После этого рассчитаем поток вектора напряжённости электрического поля. Он может быть представлен как сумма потоков через два основания S1 и S2 и через боковую поверхность Sбок. По теореме Гаусса имеем  , где  – заряд, сосредоточенный на боковой поверхности  части цилиндра, находящейся внутри замкнутой поверхности.В силу симметрии задачи напряжённость поля E во всех точках боковой поверхности Sбок имеет одинаковую величину и направлена перпендикулярно оси цилиндра в сторону от неё. Иначе говоря, напряжённость поля E всегда параллельна нормали к элементу площади боковой поверхности. С другой стороны, она перпендикулярна нормалям к элементам поверхностей оснований S1 и S2, как это показано на рисунке 3.6. Следовательно, потоки вектора E через основания S1 и S2 равны нулю. Поток же через боковую поверхность равен  . Боковая поверхность части цилиндра, находящейся внутри замкнутой поверхности, равна  . Подставляя формулы и в , получаем выражение для величины напряжённости электрического поля вне цилиндра на расстоянии  от оси цилиндра: . Наконец, подставив в , получим силу  .Произведём вычисления:  .Ответ:  .Задача 6. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности, равномерно распределён заряд с линейной плотностью  . Определить напряжённость E и потенциал электрического поля, создаваемого таким распределённым зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити составляет одну треть длины окружности и равна  .Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Y была бы симметрично расположена относительно концов дуги (рисунок 3.7). На нити выделим элемент длины dl. Заряд  , находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.Определим напряжённость электрического поля в начале координат. Для этого найдём сначала напряжённость dE поля, создаваемого зарядом dQ:  ,где r – радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, в которой напряжённость поля вычисляется. Выразим вектор dE через проекции dEx и dEy на оси координат:  ,где i и j – единичные векторы направлений (орты). Напряжённость E найдём посредством интегрирования:  .Интегрирование ведётся вдоль дуги длиной l. В силу симметрии  .Тогда  , где  .Так как  ,  , то .П  одставим это выражение dEy в и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Y, пределы интегрирования возьмём от 0 до /3, а результат удвоим:  .Выразив радиус R через длину l нити (  ), получим . Из этой формулы видно, что напряжённость поля по направлению совпадает с осью Y. Найдём потенциал электрического поля в начале координат. Сначала запишем потенциал, создаваемый точечным зарядом dQ в этой точке:  .Заменим r на R и проведём интегрирование:  .Так как , то . Произведём вычисления по формулам и :  , .Ответ:  ;  .Задача 7. На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд  . Площадь каждой пластины конден-сатора равна  . Определить силу ^ , с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле напряжённости E, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на этот заряд действует сила . Так как поле однородно, то можно считать, что оно создаётся плоской бесконечной пластиной. Напряжённость такого поля определяется по формуле  , где – поверхностная плотность заряда пластины. Формула примет вид  .Произведём вычисления:  .Ответ:  .Задача 8. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом  , равномерно заряженным с линейной плотностью  . Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, находящимися на расстоянии  и  от поверхности цилиндра в средней его части.Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряжённостью поля и изменением потенциала:  . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде , или  .Интегрируя это выражение, найдём разность потенциалов между двумя точками, отстоящими на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:  . Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряжённости поля можно воспользоваться формулой напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:  .Подставив выражение E в , получим  ,или  . Произведём вычисления, учитывая, что величины r1 и r2, входящие в формулу в виде отношения, можно выразить в сантиметрах (  ,  ): .Ответ:  .Задача 9. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью  , чтобы скорость его возросла в  раза.Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу ^ сил электрического поля, затрачиваемую на перемещение электрона. Эта работа определяется произведением заряда e электрона на разность потенциалов U:  . С другой стороны, работа сил электростатического поля равна изменению кинетической энергии электрона:  , где T1 и T2 – кинетические энергии электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m – масса электрона; v1 и v2 – начальная и конечная скорости электрона. Приравняв правые части равенств и , получим  ,где  .Отсюда искомая разность потенциалов равна  .Произведём вычисления:  .Ответ:  .Задача 10. Конденсатор ёмкостью  был заряжен до разности потенциалов  . После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором ёмкостью  . Какая энергия ^ израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?Решение. Энергия, израсходованная на образование искры  , где ^ 1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2 – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора или батареи конденсаторов ёмкостью C определяется по формуле  . Выразив в формуле энергии W1 и W2 по формуле и приняв во внимание, что общая ёмкость параллельно соединённых конденсаторов равна сумме ёмкостей отдельных конденсаторов, получим  , где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов; Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:  . Подставив выражение U2 в , найдём  .Произведём вычисления:  .Ответ:  .Задача 11. Потенциометр с сопротивлением  подключён к батарее, э.д.с. которой  и внутреннее сопротивление  . Определить: а) показание вольтметра с сопротивлением  , соединённого с одной из клемм потенциометра подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; б) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.Решение. а) Показание вольтметра, подключённого к точкам A и B (рисунок 3.8), определим по формуле  , где ^ 1 – сопротивление параллельно соединённых вольтметра и половины потенциометра; I1 – суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвлённой части цепи). С  илу тока I1 найдём по закону Ома для полной цепи: , где Re – сопротивление внешней цепи, равное сумме двух сопротивлений:  . Сопротивление R1 найдём по формуле параллельного соединения проводников:  , откуда . Подставив в выражение Re из , найдём  . В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. Поэтому удобно вычисления величин провести раздельно:  ; ; .б) Разность потенциалов между точками A и B при отключённом вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления потенциометра:  , где I2 – сила тока в цепи при отключённом вольтметре, которую определим по формуле  .Подставив выражение I2 в , найдём  .Произведём вычисления:  .Ответ: а)  ; б)  .Задача 12. Сила тока в проводнике с сопротивлением  нарастает в течение времени  по линейному закону от  до  (рисунок 3.9). Определить: теплоту Q1, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q2 – за вторую, а также найти отношение Q2/Q1.Р  ешение. Закон Джоуля-Ленца в виде  справедлив для постоянного тока ( ). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде . Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случае  , где k – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:  .С учётом формула примет вид  . Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени t, выражение надо проинтегрировать в пределах от t1 до t2:  .Произведём вычисления:  . .Следовательно,  , т.е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую.Ответ:  ;  ;  .Задача 13. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трёх сопротивлений и гальванометра (рисунок 3.10). В этой цепи  ,  ,  , э.д.с. первого элемента  . Гальванометр регистрирует силу тока  , идущего в направлении, указанном стрелкой. Определить э.д.с. Е2 второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.Указание - Для расчёта разветвлённых цепей применяются законы Кирхгофа. 1. Перед составлением уравнений следует произвольно выбрать: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров. 2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа токи, входящие в узел, считаются положительными, а выходящие из узла - отрицательными. Число этих уравнений должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи. 3. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует учитывать, что а) падение напряжения (т.е. произведение IR) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока на данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура, и со знаком минус – в противном случае; б) э.д.с. входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока, в противном случае э.д.с. входит в уравнение со знаком минус. Ч  исло независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбрать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течёт в направлении, противоположном произвольно выбранному. Решение. Выберем направления токов, как они показаны на рисунке 3.10, и условимся обходить контуры по часовой стрелке. В цепи два узла – A и F. По первому закону Кирхгофа для узла F имеем:  . По второму закону Кирхгофа для контура ABCDFA имеем  , или  . Соответственно, для контура AFGHA имеем  . После подстановки числовых значений в формулы (1), (2), (3) получим систему уравнений  или  ,  ,  . Умножая уравнение (4) на 25 и складывая с (5), получим  , откуда  . Из (6) получаем .Ответ:  .Задача 14. Пространство между пластинами плоского конденсатора имеет объём  и заполнено водородом, который частично ионизирован. Площадь пластин конденсатора  . При каком напряжении U сила тока, протекающего через конденсатор, достигнет значения  , если концентрация ионов в газе  ?Решение. Напряжение U на пластинах конденсатора связано с напряжённостью E электрического поля и расстоянием между пластинами соотношением  . Напряжённость поля может быть найдена из выражения для плотности тока  ,где Q – заряд иона; n  – концентрация ионов;b+, b– – подвижности положительных и отрицательных ионов. Отсюда  .Так как объём пространства, заключённого между пластинами, равен Sd, то  .Подставив выражение E в формулу , получим  . Произведём вычисления, учитывая, что подвижности ионов  ,  (таблица В.10 приложения В). Ответ:  .Задача 15. По длинному прямому тонкому проводу течёт ток силой  . Определить магнитную индукцию |
Похожие:
 | Программа, методические указания и контрольные задания для студентов безотрывной формы обучения специальности | | Статистика. Учебная программа, методические указания и задания к контрольной работе |
| Воловик, О. В./ Экология Республики Коми [Текст]: метод указания по выполнению контрольных работ для студентов безотрывной формы... | | Производственные технологии : программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальностей 1-25 01 07 – Экономика... |
| Немецкий язык : методические указания и контрольные задания для студентов 2 курса железнодорожных специальностей заочной формы обучения... | | Статистика: методические указания и контрольные задания для студентов специальностей 1-26 02 02 «Менеджмент» и 1-26 02 03 «Маркетинг»... |
| Рассмотрены и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом университета | | Методические указания и контрольные задания по дисциплине Стандартизация норм точности для студентов специальности: 1- 38. 02. 01... |
| Математика: программа и контрольные задания / В. Б. Грахов, М. Минькова, В. Б. Соловьянов. Екатеринбург: гоу впо угту-упи, 2005.... | | Статистика: методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ для студентов специальностей 1-25 01 08 «Бухгалтерский... |