Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ”

^ 1.3. Теорема Гаусса и теорема о циркуляции для магнитного поля. Поле соленоида По аналогии с электростатическим полем, введем такие важнейшие характеристики магнитного поля, как магнитный поток и циркуляция вектора . Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S представляет собой число линий магнитной индукции, пронизывающих данную поверхность, и определяется выраже- нием , (1.20) где , - единичный вектор нормали к площадке dS, - проекция вектора на направление нормали. В СИ магнитный поток измеряется в веберах (Вб): . В силу того, что линии индукции магнитного поля являют- ся замкнутыми, число линий , выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью, всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Следовательно, магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю . (1.21) Данное выражение представляет собой теорему Гаусса для вектора . Перейдем теперь к определению циркуляции вектора , (1.22) где - проекция вектора на направление , L - произволь- ный замкнутый контур. Сначала вычислим циркуляцию вектора по контуру, охватывающему прямолинейный проводник с током (рис 1.6). Рис.1.6 I2,,I4,,I5>0 I1,I3<0 Разобьем контур на элементы dl. В каждой точке контура вектор направлен по касательной к окружности радиуса b с центром на оси проводника и численно равен . (1.23) Произведя замену , , получим . (1.24) При обходе контура угол изменяется от 0 до , поэтому . (1.25) Если ток создается системой произвольных проводников с токами , то в соответствии с принципом суперпозиции, получим . (1.26) Таким образом, циркуляция вектора магнитной индук- ции поля в вакууме вдоль произвольного замкнутого контура равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура правилом правого винта, ток противоположного направления – отрицательным. Тот факт, что циркуляция вектора не равна нулю, означает, что магнитное поле не потенциально. Ему нельзя приписать скалярный потенциал, поскольку он был бы неоднозначным. Такое поле называют вихревым или соленоидальным. Теорема о циркуляции вектора играет в магнито-статике ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. При наличии определенной симметрии в распределении токов теорема о циркуляции оказывается весьма эффектив- ной для расчета индукции магнитного поля. Покажем это на примере расчета магнитного поля соленоида. Соленоид представляет собой цилиндрическую катушку, длина которой значительно больше ее диаметра. Поле внутри соленоида является однородным, а вне соленоида – неоднородным и очень слабым. Чем длиннее соленоид, тем меньше значение магнитной индукции вне соленоида. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще. Найдем магнитную индукцию внутри длинного соленоида, на единицу длины которого приходится n витков проводника, и по которому течет ток I. С этой целью рассмотрим прямоугольный замкнутый контур, одна из сторон которого параллельна оси соленоида и равняется l (рис.1.7). Циркуляцию вектора по данному контору можно предста- вить следующим образом: . Рис.2.7 . Так как поле вне соленоида практически отсутствует и вектор перпендикулярен к участкам 2-3 и 4-1, то все слагаемые, кроме первого равны нулю. Поэтому, . (1.27) С другой стороны, по теореме о циркуляции можно написать , (1.28) г Рис.1.7 В=0 де n – плотность намотки (число витков на единице длины соленоида). Из формул (1.27) и (1.28) следует . (1.29) Полученная формула и определяет магнитное поле соленоида в вакууме. . ^ 1.4. Проводник и контур с током в магнитном поле. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле На движущиеся в проводнике носители тока со стороны магнитного поля действуют магнитные силы. Геометрическая сумма этих сил и обусловливает воздействие магнитного поля на проводник с током. Найдем эту силу. Рассмотрим элемент проводника длиной dl и площадью поперечного сечения S, находящийся в магнитном поле с ин- дукцией . Если концентрация носителей тока в проводнике n, а их средняя скорость упорядоченного движения , то сила действующая на элемент тока dl, определяется следую- щим образом: . (1.30) Учитывая, что , а , получим , (1.31) где dl – вектор, направленный по току. Направление силы можно определить по правилу векторного произведения, либо по правилу левой руки. Данная формула выражает закон Ампера, а силы, действующие на токи в магнитном поле, называют силами Ампера. Интегрируя (1.31) по линии тока, можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной проводник в целом. В частности, для однородного поля и прямолиней- ного проводника длиной l с током I, сила Ампера равна , (1.32) где α - угол между направлением тока и вектора . Выражение (1.32) позволяет также установить физический смысл и единицу измерения силовой характеристики магнитного поля. Если α = π/2 , то , (Тесла) т.е. индукция численно равна силе, действующей на единицу длины проводника, по которому течет единичный ток и который расположен перпендикулярно направлению однородного магнитного поля. Если проводник l, по которому течёт ток, не закреплён, то под действием силы Ампера он будет перемещаться в магнитном поле (рис.1.8). Вычислим работу, совершаемую силой Ампера, при перемеще- нии проводника на расстояние dx. Учитывая, что , получим , или после интегрирования . (1.33) Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на магнитный поток сквозь поверхность, охватываемую проводником при его движении. Найдём работу, совершаемую над замкнутым контуром. Предположим, что контур, перемещаясь, остаётся в одной плоскости (рис.1.9). Разобьём контур на два участка 1-2 и 2-1. Силы приложенные к участку 1-2, образуют с направлением перемещения острые углы, поэтому работа А1>0. где Ф0 и ФК – потоки магнитной индукции, пересекаемые участком 1-2 при его движении. Работа, совершаемая над участком 2-1 отрицательная, так как силы с направлением перемещения участка образуют тупые углы Работа, совершаемая над всем контуром, равна . Разность магнитного потока в конце перемещения ФК и в начале перемещения ФН дает приращение потока ΔФ через замкнутый контур. Таким образом (1.34) Эта формула справедлива при любом движении контура в произвольном магнитном поле. Магнитное поле оказывает ориентирующее действие на замкнутый проводящий контур, по которому идет постоянный ток. Найдем выражение для момента сил, действующих в однородном магнитном поле на плоский прямоугольный контур с током (рис.1.10). Силы и , приложенные к проводникам 1-2 и 3-4, численно равны и направлены в противоположные стороны, поэтому они создают пару сил, вращательный момент которой , где S = ab - площадь контура. Рис.1.10 Учитывая, что IS = Pм , получим , (1.35) или в векторной форме . (1.36) Таким образом, магнитное поле стремится повернуть контур с током так, чтобы его магнитный момент сориентировался в направлении вектора . Рис.2.8 Контур с током в магнитном поле обладает определенным запасом потенциальной энергии, связанной с действием вращательного момента. Так, для того, чтобы угол α между векторами и увеличился на dα, нужно совершить работу против сил поля, равную . (1.37) Работа внешних сил идет на увеличение потенциальной энергии контура . (1.38) Интегрируя (1.38) по углу поворота и полагая константу интегрирования равной нулю, будем иметь . (1.39) Из полученной формулы видно, что минимум потенциаль- ной энергии достигается в положении устойчивого равновесия, когда . 1.5. Магнитное поле в веществе 1.5.1. Намагничивание вещества. Вектор намагниченности. Теорема Гаусса и теорема о циркуляции векторадля магнитного поля в веществе Любое вещество под действием внешнего магнитного поля намагничивается, т. е. создает свое собственное поле. Для объяснения намагничивания Ампер предположил, что в веще- стве циркулируют круговые микротоки. Современные представления о строении вещества позволяют связать гипоте- тические токи Ампера с движением электронов в атомах или молекулах, а следовательно, с существованием молекулярных токов, обладающих магнитными моментами . При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных атомов ориентированы хаотически, поэто- му средний суммарный магнитный момент образца равен нулю. Если же все вещество поместить во внешнее магнитное поле, то молекулярные токи будут располагаться так, что их магнитные моменты будут преимущественно ориентированы в направлении намагничивающего поля. В результате весь образец приобретает отличный от нуля суммарный магнитный момент. Для количественной характеристики степени намагничи- вания вещества вводится вектор намагниченности , определяемый выражением , (1.40) где - физически бесконечно малый объем; - магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование проводится по всем молекулам в объеме . Намагниченность численно равна магнитному моменту единицы объема магнетика, поэтому может быть представ- лена в виде , (1.41) где n – концентрация молекул; - средний магнитный момент одной молекулы. В результате намагничивания вещества в нем появляется собственное магнитное поле , связанное с вектором соотношением . (1.42) Наложение внешнего поля и собственного поля вещества образует результирующее поле . (1.43) Линии вектора и при наличии вещества остаются непрерывными, поэтому для результирующего магнитного поля теорема Гаусса имеет тот же вид, что и для поля в вакууме, т.е. . (1.44) Циркуляция вектора суммарного магнитного поля в магнетике определяется не только макротоками проводимости, но и молекулярными токами, охватываемыми контуром . (1.45) Сумма молекулярных токов может быть выражена через вектор намагничивания . (1.46) С учетом этого, циркуляция вектора (1.43) приводится к виду . (1.47) Введя новую вспомогательную характеристику магнитного поля, называемую напряженностью и равную , (1.48) получим окончательно . (1.49) Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному контуру равна алгебраи- ческой сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром. Уравнение (1.49) называется теоремой о циркуляции вектора или законом полного тока. Из этого уравнения следует, что единицей H является ампер, делённый на метр ([H] = А/м). В однородной изотропной среде векторы и связаны простым соотношением , (1.50) где (хи) – магнитная восприимчивость среды. Подставляя (1.50) в формулу (1.48), получим или , (1.51) где  - магнитная проницаемость среды. Вектор является аналогом электрического смещения . Его введение во многих случаях значительно упрощает расчеты поля в магнетиках, поскольку напряженность поля в веществе совпадает с напряженностью внешнего поля , тогда как индукция результирующего поля равна . (1.52) Магнитная проницаемость , следовательно, показы- вает, во сколько раз магнетик усиливает внешнее поле. В зависимости от величины магнитной проницаемости и знака магнитной восприимчивости все магнетики подразделя- ются на: диамагнетики, у которых  и ; парамагнетики, у которых  и ; 3) ферромагнетики, у которых . 1.5.2. Магнитные моменты электрона и атома. Атом в магнитном поле Для того чтобы более детально разобраться с природой намагничивания и объяснить существование различных видов магнетиков, необходимо обратиться к внутреннему строению вещества и рассмотреть магнитные свойства атомов и особен- ности их поведения в магнитном поле. Согласно представлениям классической физики, электроны в атоме движутся по замкнутым орбитам, образуя систему орбитальных токов. Электрон, движущийся по орбите радиуса r со скоростью (рис.1.11), образует круговой ток . (1.53) Орбитальному току соответ- ствует орбитальный магнит- ный момент электрона . (1.54) Движущийся по орбите электрон обладает также моментом импульса или орбитальным механическим моментом . (1.55) Поскольку направления скорости электрона и орбиталь- ного тока, вызванного его движением, противоположны, то противоположны также и направления векторов и (рис.1.11). Рис.3.1 Отношение орбитального магнитногo и механического моментов получило название гиромагнитного отношения . (1.56) Рис.1.9 Кроме орбитальных моментов и , электрон обладает ещё собственным механическим моментом LS, получив -шим название спина, и связанного с ним собственным магнитным моментом Pms, гиромагнитное отношение которых в два раза больше орбитального . (1.57) Установлено, что для электрона и (1.58) , (1.59) где , - магнетон Бора, представляющий естественную единицу магнитного момента. Результирующий магнитный момент атома или молекулы вещества равен векторной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электрона . (1.60) Измерения магнитных моментов атомов дали для большин- ства из них значение порядка нескольких магнетонов Бора. Рассмотрим теперь влияние магнитного поля на движение электронов в атомах. Пусть орбита электрона ориентирована так, что вектор орбитального магнитного момента состав- ляет с направлением некоторый угол  (рис.1.12). В данном случае на орбиту электрона будет действовать вращательный момент , (1.61) под действием которого векторы и будут совершать прецессию, т. е. конусообразное движение вокруг вектора . Угловая скорость прецессии совпадает по направлению с вектором индукции и определяется выражением . (1.62) Рис.1.12 Из данной формулы следует, что скорость прецессии не зависит ни от угла , ни от радиуса орбиты, ни от скорости электрона и, следовательно, одинакова для всех электронов, входящих в состав атома. Прецессия электронных орбит приводит к появлению дополнительного тока . (1.63) Этот ток создает индуцированный магнитный момент, направленный против внешнего поля . (1.64) Здесь - проекция площади орбиты на плоскость, перпенди- кулярную магнитному полю . Наведение магнитного момента против поля свойственно всем атомам, находящимся в магнитном поле, и называется диамагнитным эффектом. 1.5.3. Диа -, пара - и ферромагнетики К диамагнетикам относятся вещества, магнитные моменты атомов которых в отсутствие внешнего магнитного поля равны нулю. Диамагнетиками являются инертные газы, вода, стекло, мрамор, большинство органи- ческих соединений, многие металлы (висмут, цинк, золото, серебро, медь, ртуть и другие). При внесении такого вещества в магнитное поле в каждом его атоме или молекуле за счет прецессионного движения электронных орбит наводится магнитный момент (1.64), направленный противоположно вектору , что приводит к уменьшению суммарного магнитного поля. Таким образом, для диамагнетиков магнитная восприимчивость имеет отрицательное значение, а магнитная проницаемость . Величина  диамагнетиков не зависит от температуры и напряженности магнитного поля. Процесс намагничивания диамагнетиков характеризуется линейной зависимостью от H (рис.1.13, кр.1). К парамагнетикам относятся вещества, атомы которых в отсутствие внешнего магнитного поля обладают магнитным моментом. Однако, намагниченность парамагнетика равна нулю, так как из - за теплового движения магнитные моменты атомов ориентированы беспорядочно. При внесении парамагнетика в магнитное поле, наряду с возникшей прецессией электронных орбит и появлением индуцированного момента происхо- дит ориентация магнитных моментов атомов по направлению поля. При этом положительный магнитный момент оказывает- ся значительно больше, чем отрицательный индуцированный момент, в результате чего парамагнетик намагничивается по полю. Таким образом, процесс намагничивания парамагне- тиков во многом аналогичен тому, как поляризуется диэлект- рик, состоящий из полярных молекул. Кривая намагничивания парамагнетика (рис 1.13, кр.2) свидетельствует о явлении насыщения, которое связано с ориентационным упорядочением магнитных моментов атомов вещества. Тепловое движение молекул препятствует этому процессу, поэтому в не очень сильных магнитных полях восприимчивость парамагнетика оказывается обратно пропор- циональной температуре , (1.65) где С – константа парамагнетика. Это соотношение носит название закона Кюри. Парамагнетиками являются щелочные и щелочно- - земельные металлы, редкоземельные элементы, алюминий, платина, кислород, окись азота и другие вещества. К ферромагнетикам относят вещества, которые обладают спонтанной (самопроизвольной) намагничено- стью. Типичные представители ферромагнетиков – это железо, кобальт, никель и их сплавы. Характерной особенностью ферромагнетиков является нелинейная зависимость J(H) и B(H). Уже при небольших значениях H намагниченность достигает насыщения Jнас (рис.1.14), тогда как зависимость B(H) продолжает расти с увеличением H по линейному закону (рис.1.15), согласно уравнению B = H + Jнас. Рис.1.13 Рис.1.14 Рис. 1.15 Ввиду нелинейной зависимости B(H) магнитная проницаемость ферромагнетика также является функцией H (рис.1.16). Вначале она быстро растет с увеличением H, достигает максимума, а затем убывает, стремясь к единице в очень сильных намагничивающих полях. Второй отличительной особенностью ферромагнетиков является гистерезис намагничивания. При медленном циклировании магнитного поля получается петля гистере- зиса, внутри которой расположена основная кривая намагни- чивания (рис.1.17). Величина Bост называется остаточной индукцией, а Hк – коэрцитивной силой, представляющей собой напряженность размагничивающего поля, при котором остаточная индукция обращается в ноль. Площадь петли гистерезиса пропорциональна количеству теплоты, выделяю- щейся в единице объема ферромагнетика за цикл перемагни- чивания. Рис.1.16 Рис.1.17 ^ В зависимости от значения коэрцитивной силы различают магнитомягкие и магнитотвердые ферро- магнетики. Первые отличаются малым значением Hк и малыми потерями энергии при перемагничивании. Эти материалы используются для изготовления сердечников трансформаторов. Магнитотвердые материалы, характеризую- щиеся широкой петлей гистерезиса (Hк – велико), используются для изготовления постоянных магнитов. Ответственными за магнитные свойства ферромагнетиков являются нескомпенсированные спиновые магнитные момен- ты электронов, взаимодействие которых приводит к возникно- вению областей спонтанного намагничивания, называемых доменами. Линейные размеры доменов порядка см. В пределах каждого домена ферромагнетик намагничен до насыщения и обладает определенным магнитным моментом. Направления этих моментов различны, так что в отсутствие внешнего поля суммарный момент ферромагнетика может быть равен нулю. При постепенном увеличении напряженности внешнего магнитного поля происходит рост благоприятно ориенти- рованных доменов, т. е. тех доменов, моменты которых составляют с небольшой угол. На начальной стадии намагничивания этот процесс носит плавный и обратимый характер. В дальнейшем, из-за наличия в образцах различных дефектов, мешающих плавному смещению доменных границ, наблюдаются скачкообразные изменения J (эффект Баркгаузена). Наконец, в области близкой к насыщению, наблюдается поворот магнитных доменов в направлении поля. Последние процессы являются необратимыми, что и служит причиной гистерезиса. Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура Tс, при которой области спонтанного намагничи- вания распадаются, и вещество утрачивает ферромагнитные свойства. Эта температура называется точкой Кюри. При температуре выше точки Кюри ферромагнетик становится обычным парамагнетиком, магнитная восприим- чивость которого подчиняется закону Кюри-Вейса . (1.66) При охлаждении ферромагнетика ниже точки Кюри его магнитные свойства восстанавливаются. ^ 1.6. Примеры решения задач по электромагнетизму Пример 1. По контуру, изображённому на рисунке, идёт ток силой I = 10 А. Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус дуги ,

Похожие:

	Учебное пособие Воронеж 2009 гоувпо «Воронежский государственный... Учебное пособие предназначено для выполнения лабораторных работ. В нем приведены описание измерительных приборов, лабораторные задания...		Учебное пособие разработано в соответствии с требованиями фгос впо... З-55 пособие /Ю. П. Земсков, Ю. С. Ткаченко, Л. Б лихачева, Б. Н. Квашнин. Воронеж гос химико-технол университет. – Воронеж: вгта,...
	Учебное пособие разработано в соответствии с требованиями гос впо... З 55 [Текст] : учебное пособие / Л. Б лихачева, Ю. С. Ткаченко, Воронеж гос технол акад. – Воронеж: вгта, 2011. – 128 с		Учебное пособие рекомендовано к изданию учебно-методическим советом... Отечественная история. Часть I: Учебное пособие / В. В. Галыга, Л. А. Андреева, С. В. Булгаков, А. И. Донцова, Е. А. Нургазизова,...
	Учебное пособие рекомендовано к изданию учебно-методическим советом... Отечественная история. Часть II: Учебное пособие / В. В. Галыга, Л. А. Андреева, С. В. Булгаков, А. И. Донцова, Е. А. Нургазизова,...		Фгбоу впо воронежский государственный архитектурно-строительный университет Научная конференция молодых ученых, посвященная 150- летнему юбилею в. И. Вернадского
	Информационное письмо уважаемые коллеги! Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет» Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет» проводит 18-19 октября 2012 года Всероссийскую студенческую Олимпиаду по управлению...		Информационное письмо уважаемые коллеги! Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет» Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет» приглашает Вас принять участие в работе
	Кафедра «Менеджмент и логистика» Фгбоу впо «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.»		- Конкурс выступают комитет по делам молодежи и туризму Курской области, Совет молодых ученых и специалистов Курской области, фгбоу...