Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ”

^ Уравнение бегущей волны Процесс распространения колебаний в упругой среде, периодический во времени и в пространстве, называется механической волной. Распространение волн не связано с переносом вещества. Частицы среды, в которой распространя- ется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесий. От одних участков среды к другим переносятся только энергия и импульс. Различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикуляр- ных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей упругостью формы, т.е. способностью сопротив- ляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твёрдых телах. Продольные волны связаны с объёмной деформацией среды, поэтому они могут распространяться как в твёрдых телах, так и в жидкостях и в газах. Скорости распространения поперечных и продольных механических волн в твёрдых телах определяются выражениями : , (4.53) , (4.54) где G – модуль сдвига, Е – модуль Юнга. В газообразных средах распространяется только продольная волна , (4.55) где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, μ- молекулярная масса газа. Волна называется синунусоидальной, если соответ- ствующие ей колебания частиц среды являются гармониче- скими. График зависимости смещения частиц среды , участвующих в волновом процессе, от расстояния x этих частиц до источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени представлен на рисунке 4.14. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны  равна такому расстоянию, на которое распространяется определённая фаза волны за период, т.е. . (4.56) Рис.4.14 Зависимость смещения колеблющейся точки от координат и времени устанавливается уравнением волны. В случае плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, уравнение имеет вид , (4.57) где х/υ = τ - время прохождения волной расстояния от источника (х = 0) до частицы с координатой х. Или в стандартной форме , (4.58) где - волновое число. Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается только знаком члена kх. Уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. В общем случае волновое уравнение имеет вид . (4.59) 4.1.9. Стоячие волны Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу. Практически, стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Пусть уравнения бегущей и отражённой волны имеют вид: . Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны , (4.60) Из (4.60) следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с частотой , т.е. с частотой бегущих волн и амплитудой , (4.61) являющейся периодической функцией координаты х. Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны. Значения координат пучностей , (m =1,2,3...). (4.62) Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны обращается в ноль, называются узлами стоячей волны. Координаты узлов определяются соотношением . (4.63) Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно , (4.64) и называется длиной стоячей волны. В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковы- ми фазами (синфазно). Точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Графическое изображение стоячей волны представлено на рисунке 4.15. Рис.4.15 В стоячей волне отсутствует перенос энергии, так как образующие эту волну падающие и отражённые волны перено- сят энергию в равных количествах и в противоположных направлениях. Полная энергия колебаний каждого элемента объёма среды, ограниченного соседним узлом и пучностью, не зависит от времени, она лишь периодически переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи пучностей, в потенциальную - вблизи узлов волны, где деформация среды достигает максимальных значений. ^ 4.2. Электромагнитные колебания и волны 4.2.1. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания Простейший колебательный контур состоит из конденсатора электроёмкостью С и соединённой с ним последовательно катушки индуктивности L (рис.4.16). При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в контуре возникнут электромагнитные колебания. Конденсатор начи- нает разряжаться, в катушке появляется нарастающий ток, создающий магнитное поле. Изменяющееся магнитное поле приводит к возникновению ЭДС самоиндукции, которая сначала замедляет скорость разрядки, а после того как конденсатор разрядился, начинает поддер- живать ток в прежнем направле- нии. В результате происходит перезарядка конденсатора. Затем процесс разрядки начнётся снова, но в обратном направлении и т.д. Дифференциальное уравнение, описывающее собствен- ные колебания в контуре, можно получить на основе закона Ома для неоднородного участка цепи: IR = φ1 – φ2 + ε12, (4.65) где φ1 и φ2 - значения потенциалов на обкладках конденсатора;  - ЭДС самоиндукции, возникающая в контуре. С учётом того, что R=0 , ; и , уравнение (4.65) принимает вид , . (4.66) После замены получим стандартное дифферен- циальное уравнение, описывающее собственные гармони- ческие колебания . (4.67) Собственная частота и период гармонических колебаний удовлетворяют формуле Томсона . (4.68) Заряд конденсатора q, напряжение на обкладках конденсатора U и сила тока в катушке изменяются по законам , (4.69) , (4.70) . (4.71) где - амплитуда напряжения, - амплитуда силы тока. При собственных колебаниях в контуре происходит периодическое преобразование энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки индуктивности и наоборот. Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени . (4.72) ^ 4.2.2. Затухающие колебания и их характеристики Реальный колебательный контур всегда обладает активным сопротивлением R . Вследствие этого часть энергии электромагнитных колебаний превращается в тепло, а амплитуда колебаний постепенно уменьшается. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний на основании(4.65) и с учётом, что , , , принимает вид . (4.73) После замены (4.74) получим стандартное дифференциальное уравнение, описы- вающее затухающие колебания . (4.75) Здесь – коэффициент затухания, ω0 – собственная частота свободных незатухающих колебаний (т.е. при R=0). Решение дифференциального уравнения (4.75) имеет вид , (4.76) г де , (4.77) - частота затухающих колебаний в реальном контуре. График затухающих колебаний представлен на рис.4.17. Амплитуда колебаний в этом случае изменяется по экспо- ненциальному закону , (4.78) а период колебаний определяется выражением . (4.79) С увеличением R, а следовательно, и β, период затухающих колебаний растёт, стремясь к бесконечности при . (4.80) Это означает, что при колебательный разряд переходит в апериодический процесс (рис.4.18). Значение Rкр называется критическим сопротивлением. Важнейшей характеристикой контура является его добротность. При малых значениях логарифмического декремента затухания, добротность контура определяется выражением: . (4.81) ^ 4.2.3. Вынужденные колебания в контуре. Резонанс Для осуществления вынужденных электромагнитных колебаний нужно включить последовательно с элементами контура источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону. U = U0 cos ωв t . (4.82) Тогда формула (4.65) примет вид . (4.83) Произведя преобразования, получим стандартное диффе- ренциальное уравнение вынуж- денных электромагнитных колебаний. . (4.84) В случае установившихся колебаний решение дифферен- циального уравнения имеет q = q0 cos(ωв t + ψ), (4.85) где ψ – сдвиг фаз между зарядом на обкладках конденсатора и переменной ЭДС. Следовательно, в установившемся режиме, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающего напряжения ωв и являются гармоническими, амплитуда и фаза которых определяется выражениями , (4.86) . (4.87) Резонансные кривые для заряда (напряжения на конденсаторе) аналогичны резонансным кривым при механических колебаниях (см. рис.4.13), а резонансная частота определяется по формуле (4.50). Продифференцировав (4.85) по t, найдем силу тока в контуре I = - q0 ωв sin(ωв t + ψ) = I0 cos(ωв t + ψ + π/2), где I0 = q0 ωв – амплитуда тока. Запишем это выражение в виде I = I0 cos(ωt – φ), (4.88) где φ = -(ψ + π/2) – сдвиг фаз между током и приложенным напряжением. Тогда в соответствии с (4.86) и (4.87) , (4.89) . (4.90) Из формулы (4.90) следует, что ток отстаёт по фазе от вынуждающего напряжения в том случае, когда , и опережает, когда . При условии сдвиг фаз равен нулю, а амплитуда тока достигает максимального значения. Разделив выражение (4.85) на емкость, получим напряжение на конденсаторе , (4.91) где . (4.92) Умножив производную функции (4.88) на L, получим напряжение на индуктивности: (4.93) где . (4.94) Сопоставление формул (4.88), (4.91) и (4.93) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2 , а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2 . Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Фазовые соотношения можно представить очень наглядно с помощью векторной диаграммы (рис. 4.20). Резонансная частота для заряда и напряжения на конденса- торе равна . (4.95) Р 2 езонансные кривые для Uс изображены на рис.4.21 . При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой UCm = U0 – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения U0. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше β = R/2L. Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 4.22. Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при . R1 < R2 < R3 R1 R2 R3 Рис. 4.21 Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура . (4.96) При ω→0, I = 0, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может. Резонансные свойства контура характеризует доброт- ность Q, которая показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение, т.е. (4.97) При малых затуханиях ω рез ≈ ω0 и (4.98) Таким образом, добротность обратно пропорциональна активному сопротивлению контура. Добротность контура определяет остроту резонансных кривых. На рис. 4.23 изображена одна из резонансных кривых для силы тока в контуре. Частоты ω1 и ω2 соответствуют току . Рис.4.23 Относительная ширина резонансной кривой равна величине обратной добротности контура, т. е. (4.99) 5 Рис. 4.23 Явление резонанса используют для выделения из сложного напряжения, равного сумме нескольких синусо- идальных напряжений, нужной составляющей. Настроив контур (посредством изменения R и C) на требуемую частоту i , можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз превышающее значение данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляю- щими, будет слабым. Таким образом, осуществляется, например, настройка радиоприёмника на нужную длину волны. ^ 4.2.4. Электромагнитные волны Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла для электромагнитного поля (3.1, 3.4.--3.6.). Если возбуждать с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то возникает последо- вательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся в окружающем пространстве от одной точке к другой. Этот периодический во времени и пространстве процесс и представляет собой электромагнитную волну. Фазовая скорость электромагнитных волн в различных средах определяется формулой , (4.100) где - скорость электромагнитных волн в вакууме. Электромагнитные волны являются поперечными, поскольку векторы и напряжённости электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распростра- нения волны, образуя правовинтовую систему (рис.4.24). При этом векторы и колеблются в одинаковых фазах, а их мгновенные значения в любой точке связаны соотношением . (4.101) Уравнения плоской монохроматической электромагнитной волны имеют вид , (4.102) , (4.103) где ω- частота волны, k = ω/υ = 2π/λ – волновое число, α- начальная фаза колебаний. Рис.4.24 Электромагнитные волны переносят энергию. Объёмная плотность энергии электромагнитной волны равна сумме объёмных плотностей энергии электрических и магнитных полей, т.е. . (4.104) Интенсивность монохроматической электромагнитной волны, равная энергии переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную скорости распро- странению волны, определяется выражением , (4.105) где <ω> - среднее за период значение объёмной плотности энергии. Поскольку <ω> прямо пропорционально квадрату амплитуды напряжённости электрического поля, то и I ~ А2. (4.106) Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электромагнитный диполь, момент которого изменяется с течением времени. Интенсивность излучения диполя в различных направлениях характеризуется полярной диаграммой направленности излучения диполя (рис.4.25). Из этой диаграммы видно, сильнее всего диполь излучает в направлении перпендикулярном его оси. Вдоль своей оси диполь не излучает совсем. Мощность излучения диполя пропорциональна четвёртой степени частоты колебаний. Рис.4.25 В зависимости от частоты (или длины волны λ = с/ν), а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн: радиоволны (9-ти диапазонов), световые волны, рентгеновское и γ – излучение. ^ 4.3. Примеры решения задач по колебаниям и волнам Пример 1. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия x=0, частота колеба- ния 0=4с-1. В некоторый момент времени координата частицы x0 = 25 см и ее скорость 0 = 100 см/с. Найти координату x и скорость  частицы через t = 2,4 с после этого момента.

Похожие:

	Учебное пособие Воронеж 2009 гоувпо «Воронежский государственный... Учебное пособие предназначено для выполнения лабораторных работ. В нем приведены описание измерительных приборов, лабораторные задания...		Учебное пособие разработано в соответствии с требованиями фгос впо... З-55 пособие /Ю. П. Земсков, Ю. С. Ткаченко, Л. Б лихачева, Б. Н. Квашнин. Воронеж гос химико-технол университет. – Воронеж: вгта,...
	Учебное пособие разработано в соответствии с требованиями гос впо... З 55 [Текст] : учебное пособие / Л. Б лихачева, Ю. С. Ткаченко, Воронеж гос технол акад. – Воронеж: вгта, 2011. – 128 с		Учебное пособие рекомендовано к изданию учебно-методическим советом... Отечественная история. Часть I: Учебное пособие / В. В. Галыга, Л. А. Андреева, С. В. Булгаков, А. И. Донцова, Е. А. Нургазизова,...
	Учебное пособие рекомендовано к изданию учебно-методическим советом... Отечественная история. Часть II: Учебное пособие / В. В. Галыга, Л. А. Андреева, С. В. Булгаков, А. И. Донцова, Е. А. Нургазизова,...		Фгбоу впо воронежский государственный архитектурно-строительный университет Научная конференция молодых ученых, посвященная 150- летнему юбилею в. И. Вернадского
	Информационное письмо уважаемые коллеги! Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет» Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет» проводит 18-19 октября 2012 года Всероссийскую студенческую Олимпиаду по управлению...		Информационное письмо уважаемые коллеги! Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет» Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет» приглашает Вас принять участие в работе
	Кафедра «Менеджмент и логистика» Фгбоу впо «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.»		- Конкурс выступают комитет по делам молодежи и туризму Курской области, Совет молодых ученых и специалистов Курской области, фгбоу...