Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ”




НазваниеУчебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ”
страница7/24
Дата публикации12.08.2013
Размер2.17 Mb.
ТипУчебное пособие
zadocs.ru > Физика > Учебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   24
^

Уравнение бегущей волны



Процесс распространения колебаний в упругой среде, периодический во времени и в пространстве, называется механической волной. Распространение волн не связано с переносом вещества. Частицы среды, в которой распространя- ется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесий. От одних участков среды к другим переносятся только энергия и импульс.

Различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикуляр- ных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей упругостью формы, т.е. способностью сопротив- ляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твёрдых телах. Продольные волны связаны с объёмной деформацией среды, поэтому они могут распространяться как в твёрдых телах, так и в жидкостях и в газах. Скорости распространения поперечных и продольных механических волн в твёрдых телах определяются выражениями :

, (4.53)

, (4.54)

где G – модуль сдвига, Е – модуль Юнга.

В газообразных средах распространяется только продольная волна

, (4.55)

где Rуниверсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, μ- молекулярная масса газа.

Волна называется синунусоидальной, если соответ- ствующие ей колебания частиц среды являются гармониче- скими. График зависимости смещения частиц среды , участвующих в волновом процессе, от расстояния x этих частиц до источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени представлен на рисунке 4.14. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны  равна такому расстоянию, на которое распространяется определённая фаза волны за период, т.е.

. (4.56)

Рис.4.14

Зависимость смещения колеблющейся точки от координат и времени устанавливается уравнением волны.

В случае плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, уравнение имеет вид

, (4.57)

где х/υ = τ - время прохождения волной расстояния от источника (х = 0) до частицы с координатой х.

Или в стандартной форме

, (4.58)

где - волновое число.

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается только знаком члена .

Уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. В общем случае волновое уравнение имеет вид

. (4.59)
4.1.9. Стоячие волны
Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу. Практически, стоячие волны возникают при отражении волн от преград.

Пусть уравнения бегущей и отражённой волны имеют вид:

.

Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны

, (4.60)

Из (4.60) следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с частотой , т.е. с частотой бегущих волн и амплитудой

, (4.61)

являющейся периодической функцией координаты х.

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны.

Значения координат пучностей

, (m =1,2,3...). (4.62)

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны обращается в ноль, называются узлами стоячей волны. Координаты узлов определяются соотношением

. (4.63)

Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно

, (4.64)

и называется длиной стоячей волны.


В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковы- ми фазами (синфазно). Точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Графическое изображение стоячей волны представлено на рисунке 4.15.

Рис.4.15

В стоячей волне отсутствует перенос энергии, так как образующие эту волну падающие и отражённые волны перено- сят энергию в равных количествах и в противоположных направлениях. Полная энергия колебаний каждого элемента объёма среды, ограниченного соседним узлом и пучностью, не зависит от времени, она лишь периодически переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи пучностей, в потенциальную - вблизи узлов волны, где деформация среды достигает максимальных значений.
^ 4.2. Электромагнитные колебания и волны
4.2.1. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания

Простейший колебательный контур состоит из конденсатора электроёмкостью С и соединённой с ним последовательно катушки индуктивности L (рис.4.16). При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в контуре возникнут электромагнитные колебания. Конденсатор начи-

нает разряжаться, в катушке появляется нарастающий ток, создающий магнитное поле. Изменяющееся магнитное поле приводит к возникновению ЭДС самоиндукции, которая сначала замедляет скорость разрядки, а после того как конденсатор разрядился, начинает поддер- живать ток в прежнем направле- нии. В результате происходит перезарядка конденсатора. Затем процесс разрядки начнётся снова, но в обратном направлении и т.д.

Дифференциальное уравнение, описывающее собствен- ные колебания в контуре, можно получить на основе закона Ома для неоднородного участка цепи:

IR = φ1φ2 + ε12, (4.65)

где φ1 и φ2 - значения потенциалов на обкладках конденсатора; - ЭДС самоиндукции, возникающая в контуре.

С учётом того, что R=0 , ; и

, уравнение (4.65) принимает вид

, . (4.66)

После замены получим стандартное дифферен- циальное уравнение, описывающее собственные гармони- ческие колебания

. (4.67)

Собственная частота и период гармонических колебаний удовлетворяют формуле Томсона

. (4.68)

Заряд конденсатора q, напряжение на обкладках конденсатора U и сила тока в катушке изменяются по законам

, (4.69)

, (4.70)

. (4.71)

где - амплитуда напряжения, - амплитуда силы тока.

При собственных колебаниях в контуре происходит периодическое преобразование энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки индуктивности и наоборот. Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени

. (4.72)


^ 4.2.2. Затухающие колебания и их характеристики
Реальный колебательный контур всегда обладает активным сопротивлением R . Вследствие этого часть энергии электромагнитных колебаний превращается в тепло, а амплитуда колебаний постепенно уменьшается.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний на основании(4.65) и с учётом, что , , , принимает вид

. (4.73)

После замены

(4.74)

получим стандартное дифференциальное уравнение, описы- вающее затухающие колебания

. (4.75)

Здесь – коэффициент затухания, ω0 – собственная частота свободных незатухающих колебаний (т.е. при R=0).

Решение дифференциального уравнения (4.75) имеет вид

, (4.76)

г


де , (4.77)

- частота затухающих колебаний в реальном контуре.

График затухающих колебаний представлен на рис.4.17. Амплитуда колебаний в этом случае изменяется по экспо- ненциальному закону

, (4.78)

а период колебаний определяется выражением

. (4.79)



С увеличением R, а следовательно, и β, период затухающих колебаний растёт, стремясь к бесконечности при

. (4.80)

Это означает, что при колебательный разряд переходит в апериодический процесс (рис.4.18). Значение Rкр называется критическим сопротивлением.

Важнейшей характеристикой контура является его добротность. При малых значениях логарифмического декремента затухания, добротность контура определяется выражением:

. (4.81)

^ 4.2.3. Вынужденные колебания в контуре. Резонанс
Для осуществления вынужденных электромагнитных колебаний нужно включить последовательно с элементами контура источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону.

U = U0 cos ωв t . (4.82)

Тогда формула (4.65) примет вид

. (4.83)

Произведя преобразования, получим стандартное диффе- ренциальное уравнение вынуж- денных электромагнитных колебаний.

. (4.84)

В случае установившихся колебаний решение дифферен- циального уравнения имеет

q = q0 cos(ωв t + ψ), (4.85)

где ψ сдвиг фаз между зарядом на обкладках конденсатора и переменной ЭДС.

Следовательно, в установившемся режиме, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающего напряжения ωв и являются гармоническими, амплитуда и фаза которых определяется выражениями

, (4.86)

. (4.87)
Резонансные кривые для заряда (напряжения на конденсаторе) аналогичны резонансным кривым при механических колебаниях (см. рис.4.13), а резонансная частота определяется по формуле (4.50).

Продифференцировав (4.85) по t, найдем силу тока в контуре

I = - q0 ωв sin(ωв t + ψ) = I0 cos(ωв t + ψ + π/2),

где I0 = q0 ωв – амплитуда тока.

Запишем это выражение в виде

I = I0 cos(ωtφ), (4.88)

где φ = -(ψ + π/2) – сдвиг фаз между током и приложенным напряжением.

Тогда в соответствии с (4.86) и (4.87)

, (4.89)

. (4.90)

Из формулы (4.90) следует, что ток отстаёт по фазе от вынуждающего напряжения в том случае, когда , и опережает, когда . При условии сдвиг фаз равен нулю, а амплитуда тока достигает максимального значения.

Разделив выражение (4.85) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

, (4.91)

где

. (4.92)

Умножив производную функции (4.88) на L, получим напряжение на индуктивности:

(4.93)

где . (4.94)

Сопоставление формул (4.88), (4.91) и (4.93) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2 , а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2 .

Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Фазовые соотношения можно представить очень наглядно с помощью векторной диаграммы (рис. 4.20).



Резонансная частота для заряда и напряжения на конденса- торе равна

. (4.95)

Р
2
езонансные кривые для Uс изображены на рис.4.21 . При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой UCm = U0 – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения U0. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше β = R/2L.

Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 4.22. Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при .


R1 < R2 < R3
R1

R2

R3


Рис. 4.21



Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура

. (4.96)

При ω→0, I = 0, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

Резонансные свойства контура характеризует доброт- ность Q, которая показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение, т.е.

(4.97)

При малых затуханиях ω резω0 и

(4.98)

Таким образом, добротность обратно пропорциональна активному сопротивлению контура.

Добротность контура определяет остроту резонансных кривых. На рис. 4.23 изображена одна из резонансных кривых для силы тока в контуре. Частоты ω1 и ω2 соответствуют току .




Рис.4.23


Относительная ширина резонансной кривой равна величине обратной добротности контура, т. е.

(4.99)
5

Рис. 4.23


Явление резонанса используют для выделения из сложного напряжения, равного сумме нескольких синусо- идальных напряжений, нужной составляющей. Настроив контур (посредством изменения R и C) на требуемую частоту i , можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз превышающее значение данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляю- щими, будет слабым. Таким образом, осуществляется, например, настройка радиоприёмника на нужную длину волны.
^ 4.2.4. Электромагнитные волны
Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла для электромагнитного поля (3.1, 3.4.--3.6.). Если возбуждать с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то возникает последо- вательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся в окружающем пространстве от одной точке к другой. Этот периодический во времени и пространстве процесс и представляет собой электромагнитную волну.

Фазовая скорость электромагнитных волн в различных средах определяется формулой

, (4.100)

где - скорость электромагнитных волн в вакууме.

Электромагнитные волны являются поперечными, поскольку векторы и напряжённости электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распростра- нения волны, образуя правовинтовую систему (рис.4.24). При этом векторы и колеблются в одинаковых фазах, а их мгновенные значения в любой точке связаны соотношением

. (4.101)

Уравнения плоской монохроматической электромагнитной волны имеют вид

, (4.102)

, (4.103)

где ω- частота волны, k = ω/υ = 2π/λ – волновое число, α-

начальная фаза колебаний.



Рис.4.24

Электромагнитные волны переносят энергию. Объёмная плотность энергии электромагнитной волны равна сумме объёмных плотностей энергии электрических и магнитных полей, т.е.

. (4.104)

Интенсивность монохроматической электромагнитной волны, равная энергии переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную скорости распро- странению волны, определяется выражением

, (4.105)

где <ω> - среднее за период значение объёмной плотности энергии.

Поскольку <ω> прямо пропорционально квадрату амплитуды напряжённости электрического поля, то и

I ~ А2. (4.106)

Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электромагнитный диполь, момент которого изменяется с течением времени. Интенсивность излучения диполя в различных направлениях характеризуется полярной диаграммой направленности излучения диполя (рис.4.25).

Из этой диаграммы видно, сильнее всего диполь излучает в направлении перпендикулярном его оси. Вдоль своей оси диполь не излучает совсем. Мощность излучения диполя пропорциональна четвёртой степени частоты колебаний.


Рис.4.25

В зависимости от частоты (или длины волны λ = с/ν), а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн: радиоволны (9-ти диапазонов), световые волны, рентгеновское и γ – излучение.

^ 4.3. Примеры решения задач по колебаниям и волнам

Пример 1. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия x=0, частота колеба- ния 0=-1. В некоторый момент времени координата частицы x0 = 25 см и ее скорость 0 = 100 см/с. Найти координату x и скорость  частицы через t = 2,4 с после этого момента.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   24

Похожие:

Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ” iconУчебное пособие Воронеж 2009 гоувпо «Воронежский государственный...
Учебное пособие предназначено для выполнения лабораторных работ. В нем приведены описание измерительных приборов, лабораторные задания...

Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ” iconУчебное пособие разработано в соответствии с требованиями фгос впо...
З-55 пособие /Ю. П. Земсков, Ю. С. Ткаченко, Л. Б лихачева, Б. Н. Квашнин. Воронеж гос химико-технол университет. – Воронеж: вгта,...

Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ” iconУчебное пособие разработано в соответствии с требованиями гос впо...
З 55 [Текст] : учебное пособие / Л. Б лихачева, Ю. С. Ткаченко, Воронеж гос технол акад. – Воронеж: вгта, 2011. – 128 с

Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ” iconУчебное пособие рекомендовано к изданию учебно-методическим советом...
Отечественная история. Часть I: Учебное пособие / В. В. Галыга, Л. А. Андреева, С. В. Булгаков, А. И. Донцова, Е. А. Нургазизова,...

Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ” iconУчебное пособие рекомендовано к изданию учебно-методическим советом...
Отечественная история. Часть II: Учебное пособие / В. В. Галыга, Л. А. Андреева, С. В. Булгаков, А. И. Донцова, Е. А. Нургазизова,...

Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ” iconФгбоу впо воронежский государственный архитектурно-строительный университет
Научная конференция молодых ученых, посвященная 150- летнему юбилею в. И. Вернадского

Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ” iconИнформационное письмо уважаемые коллеги! Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет»
Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет» проводит 18-19 октября 2012 года Всероссийскую студенческую Олимпиаду по управлению...

Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ” iconИнформационное письмо уважаемые коллеги! Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет»
Фгбоу впо «Ульяновский государственный университет» приглашает Вас принять участие в работе

Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ” iconКафедра «Менеджмент и логистика»
Фгбоу впо «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.»

Учебное пособие Воронеж 2011 фгбоу впо ”Воронежский государственный технический университет ” icon-
Конкурс выступают комитет по делам молодежи и туризму Курской области, Совет молодых ученых и специалистов Курской области, фгбоу...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов