Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета




НазваниеУчебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета
страница6/15
Дата публикации17.08.2013
Размер1.71 Mb.
ТипУчебное пособие
zadocs.ru > Физика > Учебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
^

1.3.2.2. Оценка величины случайной погрешности


Если промахи отсутствуют и систематические ошибки устранены (сведены до минимума), то точность измерений определяется только погрешностью измерительных приборов и случайными ошибками.

Как правило, в решении поставленной задачи можно выделить сводится два случая:

  1. случайные ошибки меньше погрешности измерительных приборов;

  2. случайные ошибки больше погрешности измерительных приборов.

Случай 1. Если в результате измерения физической величины в одинаковых условиях получен ряд значений одинаковых в пределах точности, обеспечиваемой измерительными приборами, то ошибка измерения определяется погрешностью измерительных приборов. Измерение физической величины при этом проводится только один раз (для исключения промаха рекомендуется проводить два измерения) а результат записывается в виде

, (9) .

где Хi - результат измерения, а Х - абсолютная погрешность из

мерительного прибора, Х – относительная погрешность измерения величины Х.

Запись результата измерения Х = Хi Х означает только то, что истинное значение измеряемой физической величины лежит, где то в интервале от Х - Х до Х + Х.

Случай 2. Если результат измерения физической величины определяют случайные ошибки, то оценка погрешности измерения физической величины разделяется на два этапа:

  • оценку истинного значения измеряемой величины Хи;

  • и определение случайной погрешности измерения этой величины сл.
Оценка истинного значения измеряемой величины

Пусть в процессе измерения физической величины в одинаковых условиях получен ряд значений Х1, Х2, Х3, ..., Х n, различие которых превышает величину погрешности измерительных приборов.

Как показано в математической теории погрешностей, для большинства измерений наилучшей оценкой истинного Хи (или правильнее действительного Хд) значения измеряемой величины, является среднее арифметическое Хср ряда значений искомой величины, полученных путем повторных измерений этой величины (в данной работе для обозначения среднего арифметического значения используется индекс “ср”, например Хср или черта над величиной, например )*.

(10) .

где n - количество проведенных измерений величины Х.

Пример: Найти среднее арифметическое для шести измерений линейного размера х = 2,327; 2,335; 2,315; 2,320; 2,314 и 2,321 мм. При вычислениях использовать выражения (10) и (10а).

1. Воспользуемся выражением (10)

=

= мм.

2. Воспользуемся выражением (10а), для Х0 выберем значение 2,325 мм.

=

= мм.

Хорошо видно, что мм, что подтверждает правомочность использования любой их представленных формул.

Оценка случайной погрешности измерения физической величины

При записи величины случайной ошибки необходимо указывать два числа:

  • величину самой ошибки или так называемый доверительный интервал Х;

  • величину доверительной вероятности или коэффициента надежности .

Доверительным интервалом (Х) называется интервал значений от до .

Доверительной вероятностью или коэффициентом надежности ()* называется вероятность того, что результат измерения физической величины отличается от истинного ее значения на величину не более чем Х.

Чем большим выбирается доверительный интервал, т.е. чем больше задаваемая величина Х, тем вероятнее, что результаты измерения физической величины не выйдут за его пределы.

Задав одну из этих величин, т.е. Х или , можно используя методы теории случайных ошибок найти другую.

Указание только величины ошибки (доверительного интервала) без указания соответствеющей ей доверительной вероятности лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные. Доверительная вероятность определяет степень надежности полученного результата.

Удобнее всего случайную ошибку определять, используя понятие стандартной или средней квадратичной ошибки Sn, доверительная вероятность которой соответствует 0,68. Доверительная вероятность удвоенной среднеквадратичной ошибки 2Sn равна 0,95, утроенной 3Sn – 0,997*.

Средней квадратичной ошибкой единичного измерения Sn называется величина

, (11)
где n - число измерений, Хi - значение измеряемой величины при i ом измерении, - среднее значение измеряемой величины**.

Пример: Найти среднеюю квадратичную ошибку единичного измерения для шести значений линейного размера х = 2,327; 2,335; 2,315; 2,320; 2,314 и 2,321 мм, полученных в результате независимых повторных измерений. При вычислениях использовать выражения (11) и (11а).

1. Воспользуемся выражением (11), среднее арифметическое значение для хi при n = 6

мм.

=

= мм.

2. Воспользуемся выражением (11а), для Х0 выберем значение 2,325 мм.

Определим вначале =

0,000366,

затем

==

=.

Окончательный результат находим из соотношения

0,007899  0,0079 мм.

Видно, что в пределах точности вычисления мм, поэтому выбор выражения для вычисления средней квадратичной ошибки единичного измерения (11) или (11а) зависит от удобства проведения математических операций.

Если число измерений очень велико, то величина Sn стремиться к некоторому постоянному пределу

. (12) .

Строго говоря, именно величина и называется средней квадратичной ошибкой, а ее квадрат - дисперсией измерения.

Средней квадратичной ошибкой среднего арифметического ряда измерений называется величина*

. (13) .

Если известна или , то для любого заданного доверительного интервала, используя формулу Гаусса [4] можно вычислить доверительную вероятность .

Отношение величины средней квадратичной ошибки к среднему значению измеряемой величины выраженное в процентах носит название коэффициента вариации w**

(точнее ) (15) .

Пусть Х и - истинное и среднее значение измеряемой величины Хi, Х – ошибка ее измерения и - вероятность того, что результат измерения отличается от истинного (действительного ) значения на величину, не большую чем Х. Это принято записывать как



или

.

На практике, как правило, число измерений невелико (например, 10-20), вследствие этого значения и , полученные из экспериментальных данных являются весьма приближенными. Известны только величины или средней квадратичной ошибки Sn (11) или средней квадратичной ошибки среднего арифметического Хi ряда измерений n (13).

Для получения наиболее достоверных значений границ доверительного интервала Х при малом числе измерений n, используется так называемый коэффициент Стьюдента* tn, устанавливающий связь между числом измерений n и величиной доверительной вероятности .

, (16) .

где Sn – средняя квадратичная ошибка, - средняя квадратичная погрешность среднего арифметического ряда из n измерений, откуда

. (17) .

В таблице 2 приведены значения коэффициентов Стьюдента, рассчитанных по числу измерений n и величине доверительной вероятности , в которой значение коэффициента находится на пересечении строки, соответствующей известному n и столбца, соответствующего искомой [4].

Пример:  Измерить длину некоторого цилиндра с помощью микрометра, обеспечивающего точность измерения линейного размера 0,005 мм.

В роцессе измерений получены семь значений Хi в мм: 7,420; 7,415; 7,430; 7,420; 7,445; 7,410 и 7,425.

Используя соотношение (10) находим среднее арифметическое значение




Таблица 2

^ Коэффициенты Стьюдента tn



0,999

636,6

31,6

12,9

8,6

6,9

6,0

5,4

5,0

4,8

4,6

4,5

4,3

4,2

4,1

4,0

4,0

4,0

3,9

3,9

0,99

63,7

9,9

5,8

4,6

4,0

3,7

3,5 3,4

3,3

3,2

3,1

3,1

3,0

3,0

2,9

2,9

2,9

2,9

2,9

0,98

31,8

7,0

4,5

3,7

3,4

3,1

3,0 2,9

2,8

2,8

2,7

2,7

2,7

2,6

2,6

2,6

2,6

2,6

2,5

0,95

12,7

4,3

3,2

2,8

2,6

2,4

2,4 2,3

2,3

2,2

2,2

2,2

2,2

2,1

2,1

2,1

2,1

2,1

2,1

0,9

6,3

2,9

2,4

2,1

2,0

1,9

1,9

1,9

1,8

1,8

1,8

1,8

1,8

1,8

1,8

1,7

1,7

1,7

1,7

0,8

3,1

1,9

1,6

1,5

1,5

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

0,7

2,0

1,3

1,3

1,2

1,2

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

1,1

0,6

1,38

1,06

0,98

0,94

0,92

0,90

0,90

0,90

0,88

0,88

0,87

0,87

0,87

0,87

0,87

0,86

0,86

0,86

0,86

0,5

1,00

0,82

0,77

0,74

0,73

0,72

0,71

0,71

0,70

0,70

0,70

0,70

0,69

0,69

0,69

0,69

0,69

0,69

0,69

0,4

0,73

0,62

0,58

0,57

0,56

0,55

0,55

0,54

0,54

0,54

0,54

0,54

0,54

0,54

0,54

0,54

0,53

0,53

0,53

0,3

0,51

0,45

0,42

0,41

0,41

0,40

0,40

0,40

0,40

0,40

0,40

0,40

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,39

0,2

0,33

0,29

0,28

0,27

0,27

0,27

0,16

0,16

0,16

0,16

0,16

0,16

0,16

0,16

0,16

0,16

0,16

0,16

0,16

0,1

0,16

0,14

0,14

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

0,13

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20


мм.

По формуле (11) находим

мм.

Если случайная ошибка измерения линейного размера равна средней квадратичной ошибке мм, то доверительный интервал равен мм, а .

Вероятность того, что среднее арифметическое попадает в этот интервал, определяется следующим образом. По формуле (16) находим значение коэффициента Стьюдента

.
В таблице 2 [4] в шестой строке (для n = 7) t,7 1,3 находится между столбцами с доверительной вероятностью 1 = 0,7 (t7 = 1,2) и 2 = 0,8 (t7 = 1,5). Если предположить, что между значениями и значения меняются линейно, то для доверительная вероятность будет равна ~0,73*. Это значение превышает предполагаемое значение 7 = 0,68. Из выражения (16) видно, что это не зависит от величины средней квадратичной ошибки, так как отношение будет оставаться неизменным. Изменить величину коэффициента Стьюдента может только изменение количества измерений n. Для шести измерений величина его будет равна 1,22, для пяти – 1,12. В таблице 2 в четвертой строке (для = 5) t,5 = 1,12 находится между столбцами с 1 = 0,6 (t5 = 0,94) и 2 = 0,7 (t5 = 1,2). Используя предположение, высказанное выше можно оценить 5 ~ 0,64.

Если случайная ошибка измерения линейного размера (доверительный интервал) равена удвоенной средней квадратичной ошибке мм, то мм, , а доверительная вероятность – соответственно 2 ~ 0,92.

Если случайная ошибка измерения линейного размера (доверительный интервал) равен утроенной средней квадратичной ошибке мм, то мм, , а доверительная вероятность – соответственно ~ 0,97.

Полученные результаты подтверждают утверждения, приведенные выше.

Окончательный результат можно записать как мм, для ~ 0,64;

мм, для ~ 0,92;

мм, для ~ 0,97.

Коэффициент вариации

.

Последняя запись означает, что действительное значение X лежит между значениями 7,408 и 7,442 мм с доверительной вероятностью 0,97, т.е. результаты около 97% всех измерений лежат внутри указанного интервала и только 3% всех измерений не войдут в него.
^

1.3.2.3. Учет систематической и случайной ошибок


Выгоднее всего процесс измерения физической величины строить так, чтобы погрешность результата целиком определялась систематической ошибкой, которая обычно задается погрешностью измерительного прибора. Однако это не всегда можно сделать и на практике могут существовать три случая:

  • ошибка измерения определяется систематическими ошибками;

  • ошибка измерения определяется случайными ошибками;

  • систематическая и случайная ошибки близки друг к другу и в одинаковой степени влияют на результат измерений.

1. Если ошибки отдельных измерений определяются погрешностями измерительных приборов, то можно дать только оценку максимальной ошибки. Теория случайных ошибок здесь не применима.

Предположим что измеряемая величина , а погрешность ее определения - Y. Учитывая вышесказанное можно записать

Y = 1+2+...+n , (18) .

т.е. ошибка суммы всегда равна сумме модулей ошибок определения отдельных слагаемых.

^ 2. Если ошибки отдельных измерений определяются случайными ошибками необходимо использовать закон сложения случайных ошибок. Если измеряемая величина Y является суммой (или разностью) двух величин Х1 и Х2, а - дисперсии этих величин, то или

. (19) .

^ Средняя квадратичная ошибка суммы (или разности) двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых, из чего следует, что для нахождения суммарной ошибки необходимо складывать не сами ошибки, а их квадраты.

Из закона сложения ошибок следует два основополагающих вывода:

1) Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения.

Предположим, что , тогда ошибка суммы () будет равна

,

откуда

.

Иначе говоря, общая ошибка возрастает на 10%, если одна из двух составляющих общей ошибки в два раза меньше другой. Это означает, что для увеличения точности измерения величины Y нам необходимо стремиться к уменьшению большей ошибки, уменьшение меньшей ошибки позволит улучшить точность измерения величины Y не более чем на 10%.

2) Средняя квадратичная погрешность среднего арифметического равна средней квадратичной погрешности отдельного результата, деленной на корень квадратный из числа измерений.

Пусть Х1, Х2, Х3, …, Хn – результаты отдельных измерений, причем каждое из них характеризуется одной и той же дисперсией S2. Пусть величина Y равна среднему арифметическому этих величин, т.е.

.

Дисперсия этой величины в соответствии с (19) определяется как

.

Так как Y – среднее арифметическое из всех величин Хi, то можно записать

. (20) .

Выражение (20) иллюстрирует закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Из него следует, если мы хотим повысить точность измерений в 2 раза, необходимо провести не одно, а четыре наблюдения, чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число наблюдений в 9 раз, увеличение числа наблюдений в 100 раз приведет к десятикратному увеличению точности измерений.

3. Если известны систематическая Х и случайная SX составляющие абсолютной погрешности измерения физической величины (- дисперсия измерений), то в качестве верхней границы суммарной ошибки можно принять

. (21) .

Действительно, мы можем утверждать с доверительной вероятностью более 0,95, что результаты измерения не будут отличаться от действительного (истинного) значения на величину .

Не имея строгого решения, вопрос о правилах сложения систематической и случайной ошибок решается разными путями. Иногда рекомендуется вообще отказаться от нахождения суммарной ошибки и в качестве меры погрешности измерений указывать две ошибки – систематическую и случайную.

Однако если этого сделать нельзя, можно воспользоваться следующим правилом:

  • считаем, что систематическая ошибка, как и случайная, распределена по нормальному значению;

  • если мы хотим суммарной ошибке приписать доверительную вероятность  = 0,997 мы должны принять, что Х соответствует утроенному значению среднеквадратичной ошибки, а суммарная ошибка находится из соотношения

. (22) .

  • если мы хотим суммарной ошибке приписать доверительную вероятность  = 0,95 мы должны принять, что Х соответствует удвоенному значению среднеквадратичной ошибки, а суммарная ошибка находится из соотношения

. (23) .

  • если мы хотим суммарной ошибке приписать доверительную вероятность  = 0,68 мы должны принять, что Х соответствует значению среднеквадратичной ошибки, а суммарная ошибка находится из соотношения

. (24) .

Сложение погрешностей можно интерпретировать и графически (рис. 4). Общая погрешность равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются Х и SX.

Как и в предыдущем случае при определении целесообразности сложения погрешностей необходимо анализировать соотношение их величин. Это связано с тем, что уже при разнице погрешностей в два раза суммарная погрешность лишь на 10% больше большей погрешности. То есть если бы меньшей погрешности вообще не было, то в нашем примере это мало бы повлияло на общую суммарную погрешность. Учитывая то, что в реальном случае, когда число измерений не превышает 5 – 10 измерений погрешность измерения физической величины определяется с точностью ~20 – 30% и редко достигает 10% (для n ~ 50) можно считать, что общая ошибка определяется большей погрешностью, а меньшей погрешностью можно вообще пренебречь (подробнее см. в п.п. 1.5).

На основании вышесказанного для условий реального эксперимента (число измерений n = 5 – 10) можно сформулировать следующие правила проведения измерителных операций при определении физической величины:

Правило 1: Если систематическая погрешность в два и более раз больше, чем случайная , то случайной погрешностью можно пренебречь, т.е. считать, что . Так как Х не уменьшается при увеличении количества измерений n достаточно проведение трех - четырех измерений для того, чтобы убедиться, что показания прибора повторяются без случайных отклонений и промахи отсутствуют.

Правило 2: Систематической погрешностью можно пренебречь (т.е. считать, что ) если случайная погрешность, более чем в 2 раза, превышает систематическую (). Для уменьшения случайной погрешности SX необходимо проводить максимально возможное число измерений.

Правило 3: Если обе составляющие общей абсолютной погрешности соизмеримы, то следует их суммировать, пользуясь формулами (22-24) или графически (расчетную формулу необходимо выбирать сообразно с необходимой величиной доверительной вероятности полученного результата, а число измерений необходимо по возможности увеличивать для уменьшения величины случайной погрешности SХ).

На рис. 5 приведена обобщенная схема действий при выборе методики определения погрешности при измерении физических величин.
^

1.3.2.4. Правила округления погрешности и результата измерения


Рассчитывая значения систематической, случайной и суммарной погрешностей, особенно при использовании электронного калькулятора, получают значение с большим числом знаков. Однако исходные данные для этих расчетов всегда указываются с одной или двумя значащими цифрами. Действительно, класс точ-ности прибора на его шкале указывается не более чем с двумя значащими цифрами, а среднее квадратичное отклонение не имеет смысла записывать с более чем двумя значащими цифрами, так как точность этой оценки при 5 - 10 измерениях не выше 24 - 35%.

Поэтому в окончательном значении расчетной погрешности должны быть оставлены только первые одна - две значащие цифры.




При этом необходимо учитывать следующее. Если полученное число начинается с цифры 1 или 2, то отбрасывание вто-рого знака приводит к очень большой ошибке (до 30 - 50%), это недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, то есть указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой точности.

Основываясь на этом можно сформулировать правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения.

Правило 1: Округления производится лишь в окончательном ответе, все предварительные вычисления необходимо проводить с точностью на порядок высшей, чем измерительные операции, т.е. с одним-двумя лишними знаками.

Правило 2: Если абсолютная погрешность начинается с 1 или 2, например, 136; 2489; 0,01567; 0,00202; 0,1450, то оставляем две значащие цифры 140; 2500; 0,016; 0,0020; 0,15.

Правило 3: Если абсолютная погрешность начинается с 3 и более, например, 32; 456; 99; 0,98; 0,0791, то оставляем одну значащую цифру 30; 500; 100; 1; 0,08.

Правило 4: Среднее значение измеренной величины округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

Правило 5: Относительную погрешность, выраженную в процентах, достаточно записать двумя значащими цифрами*.

Пример:  На вольтметре класса точности 2,5 с пределом измерений 300 В были произведены несколько повторных измерений одного и того же напряжения. При этом оказалось, что все замеры дали одинаковый результат 267,5 В.

Отсутствие различий между результатами измерений говорит о том, что случайная погрешность пренебрежимо мала, поэтому суммарная погрешность совпадает с систематической (случай 1 рис. 5).

Сначала найдем абсолютную, а затем относительную погрешности. Абсолютная погрешность градуировки прибора равна:



Окончательное значение абсолютной погрешности округляется до одной значащей цифры, так как первая значащая цифра абсолютной погрешности больше трех.

Относительная погрешность:



В значении относительной погрешности должны быть сохранены два значащих разряда 2,8 %.

Окончательный результат записываем:

  • UХ = (2688) В при Х = 2,8%.

При дальнейшей обработке измерительной информации проводится округление среднего значения искомой величины в соответствии с результатами округления абсолютной погрешности.

^ Абсолютная погрешность выражена целыми числами

 Абсолютная погрешность измерения длины равна  = 136 мм, используя Правило 2, округляем ее значение до двух значащих цифр = 140 мм.

В этом случае среднее значение измеряемой величины необходимо также округлить до десятков, например, если аср = 27894 мм то после округления имеем а'ср = 27890 мм.

Результат записывается как а = (27890140) мм.

 Если абсолютная погрешность измерения длины равна  = 456 мм, то, используя Правило 3, округляем ее до одной значащей цифры = 500 мм.

Среднее значение измеряемой величины необходимо округлить также до сотен, например, если lср = 7896897 мм то после округления имеем l'ср = 7896900 мм.

Результат записывается как l = (7896900500) мм.
Целая часть числа абсолютной погрешности равна нулю

 Если абсолютная погрешность измерения линейного размера

равна  = 0,01567 мм, пользуясь Правилом 2 ее нужно округлить до двух значащих цифр – до = 0,016 мм.

Отсюда среднее значение измеряемой величины также необходимо округлить до числа, содержащего столько же знаков после запятой, сколько их в абсолютной погрешности, например, если bср = 1,0769 мм, то после округления имеем b'ср = 1,077 мм.

Результат записываем как b = (1,0770,016) мм.

 Если абсолютная погрешность округлена до двух значащих цифр ( = 0,00202 => = 0,0020), то среднее значение округляем до числа, содержащего столько же знаков после запятой, сколько их в абсолютной погрешности, например, имеем сср=0,07837 мм округляем => с'ср=0,0784 мм.

Результат записываем как с=(0,0784 ± 0,0020) мм.

Другие примеры округления абсолютной погрешности

 Если абсолютная погрешность округлена до сотен ( = 456 мм => = 500 мм), то среднее значение округляем также до сотен. Например, Sср = 98753 мм округляем => S'ср = 98700 мм.

Результат записываем как S = (98700 ± 500) мм.

 Если абсолютная погрешность округлена до десятков ( = 32 мм =>= 30 мм), то среднее значение hcp=789 мм округляем => hcp=790 мм.

Результат записываем как h=(790 ± 30) мм.

 Если fcp=76439 мм, а f =99 мм. Округляем абсолютную погрешность и получаем  f' =100 мм, затем округляем среднее значение измеряемой величины -  fcp=76440 мм.

Окончательный результат записываем f =(76440 ± 100) мм.

 Если dcp=2,7849 мм, а d =0,98 мм. Округляем абсолютную погрешность d' =1,0 мм, а затем среднее значение измеряемой величины dcp=2,8 мм.

Окончательный результат записываем как d =(2,8 ± 1,0) мм.

 Если kcp=0,7439 мм, а k=0,0791 мм. Округляем абсолютную погрешность k' =0,08 мм, затем среднее значение измеряемой величины kcp=0,74 мм.

Окончательный результат записываем k =(0,74 ± 0,08) мм.

Примечание: для относительной погрешности, выраженной в процентах, достаточно записать результат с двумя значащими цифрами.

Пример: =13,6%  округляем до =14%,

=0,0287 %  округляем до =0,029 %.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15

Похожие:

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие (электронная версия) Вологда 2001 Рецензенты: Козьяков...
Козьяков А. Ф. профессор Московского Государственного технического университета им. Н. Э. Баумана

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета...
...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Москва, 2008 удк 621. 395. 34 Ббк 32. 881 Баскаков...
...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconIх классов по русскому языку тверь 2012
Рекомендовано к печати кафедрой русского языка Тверского государственного университета (протокол №1 от 6 сентября 2012 г.)

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебно-методическое пособие Рекомендовано учебно-методическим советом...
Мигранов Н. Г., проф., д-р физ мат наук кафедра «Общая и теоретическая физика» Башкирского государственного педагогического университета...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие написано в соответствии с действующей программой...
Рецензент: профессор кафедры физики имени А. М. Фабриканта Московского энергетического института (технического университета) В. А....

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Москва Издательство Российского университета дружбы народов удк 811. 161. 1 Ббк
Методика преподавания русского языка как неродного (нового): Учебное пособие для преподавателей и студентов. М.: Издательство Российского...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие красноярск 2006 удк ббк д рецензенты
Охватывает все стороны нашего бытия, харак

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие для аспирантов гуманитарного профиля Орел 2007 удк...
Пахарь Л. И. Философия и история науки: Учебное пособие для аспирантов гуманитарного профиля. ­­– Орел: Издательство огу, 2007. –...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Иваново 1992 удк 621. 7
В пособии дается систематизированное представление о технологии производства продукции на предприятиях металлургического и машиностроительного...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов