Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета




НазваниеУчебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета
страница7/15
Дата публикации17.08.2013
Размер1.71 Mb.
ТипУчебное пособие
zadocs.ru > Физика > Учебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   15
^

1.3.3. Ошибки прямых измерений


Необходимость применения того или иного способа определения погрешности измерения физической величины (систематической Х, случайной или суммарной  ) определяется по результатам нескольких измерений, проведенных идентичным образом. Дальнейшие действия проводятся согласно способам, описанным в п.п. 1.3.2.
^

1.3.4. Ошибки косвенных измерений


При оценке ошибки косвенных измерений необходимо рассматривать два случая:

  1. Погрешность интересующей нас величины Y определяется погрешностью одной измеряемой величины;

  2. Погрешность интересующей нас величины Y определяется погрешностями всех измеряемых величин.

1) Пусть величина ^ Y определяется соотношением

, (25) .

где Х – измеряемое значение, А и В – постоянные величины, значение которых не отягчено влияющей погрешностью.

Пусть Х – ошибка определения величины Х, а Y – ошибка определения величины Y, тогда имея в виду (25) можно записать

, (26) .

вычтя (25) из (26), получаем

. (27) .

Отсюда следует, если , а ошибки измерения малы по сравнению с измеряемой величиной, то с достаточной точностью можно записать

(28) .

Относительная ошибка в этом случае может быть найдена из соотношения

. (29) .

Выражения (28) и (29) справедливы как в случае систематических, так и случайных ошибок.

2) Пусть физическая величина , является функцией независимых величин Х1, Х2, ..., Хn, значения которых определяются путем прямых измерений.

При определении ошибки определения функции по известным значениям ошибок независимых переменных также можно выделить две задачи:
^

1.3.4.1. Ошибку измерения определяют погрешности измерительных приборов


Если ошибки отдельных измерений 1;2; ...;n определяются погрешностями измерительных приборов, то можно дать только оценку максимальной ошибки. Теория случайных ошибок здесь не применима.

^ Ошибка суммы

Пусть измеряемая величина является суммой независимых величин (= 1, 2, …, n), тогда, имея в виду сказанное в п. 1.3.2.3, можно записать

(30) .

обозначив погрешность определения величины Y через Y, получаем

,

откуда

. (31) .

Относительная ошибка суммы равна

. (32) .

Ошибка разности

Измеряемая величина является разностью независимых величин (i = 1 и 2), тогда



Сумма ошибок здесь берется по той же причине, что и в предыдущем случае. Поэтому

, (33) .

Относительная ошибка разности находится аналогично относительной ошибки суммы

. (34) .

Ошибка произведения

Пусть произведение измеренных величин имеет два сомножителя

, (35) .

или



Считая, что ошибки значительно меньше измеряемых величин последним членом в скобках можно пренебречь* и окончательно выражение для Y записать в виде

. (36) .

Относительная ошибка произведения может быть найдена из

. (37) .

Ошибки произведения с числом сомножителей больше двух, ошибки частного, степени, корня и более сложных функций могут быть получены аналогичным путем.

Удобнее всего для определения ошибки физической величины, описываемой практически любой функцией пользоваться следующей формулой

, (38) .

где - частная производная функции f по переменной Xi.

В таблице 3 приведены формулы для вычисления ошибки измерения величины описываемой наиболее часто встречающимися функциями.
^

1.3.4.2. Ошибку измерения определяют случайные ошибки


Теория ошибок дает для определения средней квадратичной ошибки SY величины Y следующую формулу

, (39) .

Таблица 3

Систематические ошибки

№ п\п

Функция

Абсолютная ошибка

Относительная ошибка

1

2

3

4

1







2







3







4







5







6







7








8







9







10







где - средняя квадратичная ошибка ряда измерений для Xi. Выражения для часто встречающихся функций приведены в таблице 4. Среднее значение получается подстановкой в средних арифметических. Доверительный интервал и доверительная вероятность определяютcя по так же, как и в случае прямых измерений.

Таблица 4

Случайные ошибки

№ п\п

Функция

Абсолютная ошибка

Относительная ошибка

1

2

3

4

1







2







3







4







5







6







7







8







9







10








Если сравнить таблицы 3 и 4 строки 5 – 10), то видно, что выражения для расчета систематических и случайных погрешностей, в которые входит только одна измеряемая величина (величина отягченная погрешностью) имеют одинаковый вид. Отсюда следует, что выражения (27 – 29) – частный случай определения погрешностей определения косвенных величин.

Пример:  Для определения объема параллелепипеда сделано по n = 10 измерений каждой из его сторон a, b и с, в результате которых получены следующие средние значения и средние квадратичные ошибки (в мм):

= 4,31; = 0,11

= 8,07; = 0,13

= 5,33; = 0,09 .

Определить абсолютную и относительную ошибки определения объема параллелепипеда для доверительной вероятности  = 08.

1. Удобнее сразу воспользоваться формулой для относительной погрешности для V = abc

=

==

=

^ V = 185 мм3.

Для n = 10 и доверительной вероятности  = 0,8 определим доверительный интервал V. По таблице 2 для = 10 определим коэффициент Стьюдента (t0,8;10 = 1,4).

Имея в виду и соотношение (17) находим

.

Отсюда V = 1850,016=2,97~3 мм3.

2. Можно поступить иначе. Определить среднюю квадратичную погрешность для функции

==

=мм3.

Используя и выражение (17) находим Х

мм3.

Окончательный ответ для  = 0,8 записываем

V = 1853 мм3 .

В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений (см. п. 1.1.2.), которые дают практически одинаковый результат.

Способ 1: Сначала находится абсолютная , а затем относительная погрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.

Если то согласно (38) общая формула для расчета абсолютной погрешности физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:

(40)

где - частные производные функции f(X1,X2,…,Xn) по аргументу Хj; - общая погрешность прямых измерений величины Хj.

Для нахождения относительной погрешности нужно, прежде всего, найти среднее значение величины . Для этого в уравнение измерения (2) надо подставить средние арифметические значения величин Xj. То есть среднее значение величины Y равно:

, откуда .

Пример:  Найти погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n=10 .

Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:



Пусть при Р = 0,68; при Р = 0,68.

Тогда, подставляя в формулу (29) средние значения, найдём:





Погрешность V в данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.

Средний объем равен:



Относительная погрешность V равна:

или V = 19%.

Окончательный результат после округления (согласно п. 1.3.2.4) записывается в виде:

V = (479) мм3, V = 19%, Р = 0,68.

Способ 2: Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями. Его чаще используют, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов.

В начале находят относительную погрешность , и только затем абсолютную .

Пример оставим прежним.



Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах в предыдущем случае.

Порядок действий при расчете погрешности косвенных измерений следующий:

1) Прологарифмируем уравнение измерения (логарифм берём натуральный):

,

затем находим дифференциалы от левой и правой частей, считая независимыми переменными,



2) Заменяем дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на “плюс”:



3) Казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность , чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат:

.

Теперь можно вычислить относительную погрешность, извлекая корень квадратный из обеих частей уравнения:

,

или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:

.

Причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:

.

Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой погрешности косвенных измерений, полученной с использованием способа 1:

.

Зная относительную погрешность, находим абсолютную:



Окончательный результат после округления (согласно п. 1.3.2.4) записываем в следующей форме:

.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   15

Похожие:

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие (электронная версия) Вологда 2001 Рецензенты: Козьяков...
Козьяков А. Ф. профессор Московского Государственного технического университета им. Н. Э. Баумана

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета...
...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Москва, 2008 удк 621. 395. 34 Ббк 32. 881 Баскаков...
...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconIх классов по русскому языку тверь 2012
Рекомендовано к печати кафедрой русского языка Тверского государственного университета (протокол №1 от 6 сентября 2012 г.)

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебно-методическое пособие Рекомендовано учебно-методическим советом...
Мигранов Н. Г., проф., д-р физ мат наук кафедра «Общая и теоретическая физика» Башкирского государственного педагогического университета...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие написано в соответствии с действующей программой...
Рецензент: профессор кафедры физики имени А. М. Фабриканта Московского энергетического института (технического университета) В. А....

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Москва Издательство Российского университета дружбы народов удк 811. 161. 1 Ббк
Методика преподавания русского языка как неродного (нового): Учебное пособие для преподавателей и студентов. М.: Издательство Российского...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие красноярск 2006 удк ббк д рецензенты
Охватывает все стороны нашего бытия, харак

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие для аспирантов гуманитарного профиля Орел 2007 удк...
Пахарь Л. И. Философия и история науки: Учебное пособие для аспирантов гуманитарного профиля. ­­– Орел: Издательство огу, 2007. –...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Иваново 1992 удк 621. 7
В пособии дается систематизированное представление о технологии производства продукции на предприятиях металлургического и машиностроительного...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов