Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета




НазваниеУчебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета
страница9/15
Дата публикации17.08.2013
Размер1.71 Mb.
ТипУчебное пособие
zadocs.ru > Физика > Учебное пособие
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   15
^

1.4.2. Погрешность определения погрешности


Если мы определяем среднюю квадратичную ошибку Sn для очень большого числа измерений n, то получаем величину, сколь угодно мало отличающуюся от свонго предельного значения, - . Однако, если n невелико, то средняя квадратичная ошибка Sn отягчена случайной погрешностью, тем меньшей, чем больше n. Так же, как для результатов измерения физической величины, существует закон распределения, дающий возможность установить доверительную вероятность того, что определнная нами из измерений погрешность будет отличаться от в некоторое заданное нами число раз.

Для определения доверительного интервала, внутри которого находится , можно воспользоваться приближенной формулой

, (41) .

где - средняя квадратичная ошибка величины Sn, вычисленной для n измерений.

На самом деле выражение (41) дает хорошие результаты для , для меньших значений n оно используется в случае проведения грубых оценок величины .

Из (41) следует, что при n = 50 == =0,101, т.е. определяется с точностью около 10%.

При n = 25 == 0,143, точность определения около 15%.

При n = 10 == 0,24, точность определения ~ 24%.

При n = 5 == 0,35, точность определения ~ 35%.

Наглядно видно, что в условиях реального эксперимента, когда число измерений, как правило, находится в пределах , а чаще – ближе к 5 ожидать погрешность определения погрешности выше чем 24 – 35% не приходится, поэтому правила учета составляющих погрешности (п.п. 1.3.2.3) и округления погрешности и результатов измерения (п.п. 1.3.2.4) приведенные выше справедливо отражают положение дел ф физическом эксперименте.

В случае минимизации случайной составляющей погрешности измерения путем увеличения числа измерений для принятия решения необходимо учитывать величину общей погрешности и погрешность определения случайной погрешности.
^

1.4.3. Необходимое число измерений


Для уменьшения случайной ошибки или случайной составляющей суммарной ошибки () измерения физической величины существует две возможности:

 улучшение точности методики измерения, т.е. уменьшение величины ошибки , получаемой в процессе эксперимента;

 увеличение числа измерений для определения среднего значения физической величины, т.е. определение средней квадратичной ошибки среднего арифметического (14).

Положим, что все методические возможности минимизации случайной ошибки исчерпаны, а систематическая ошибка измерений, определяемая классом точности прибора или другими аналогичными обстоятельствами равна Х.

Понятно, что случайную ошибку целесообразно уменьшать до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться систематической ошибкой. Это происходит тогда, когда доверительный интервал , определенный с выбранной степенью надежности , существенно меньше величины систематической ошибки X, т.е.

Х  X. (42) /

В этом случае доверительная вероятность и величина случайной ошибки (доверительный интервал) Х выбираются так, что соотношение (42) выполняется уверенно. Строго оценить разницу Х и Х весьма трудно, т.к. необходимо учитывать погрешность определения погрешности (в простейшем случае иметь в виду выражение (41)). Определять общую ошибку с точностью более 10% в большинстве случаев не имеет смысла. Это означает, что достаточно, если (на практике, когда число измерений n = 5-10, достаточно если или даже ).

Существуют таблицы, связывающие доверительный интервал, выраженный в долях средней квадратичной ошибки

, (43) .

доверительную вероятность и число измерений физической величины n (см. таблицу 5).

Рассмотрим первый случай – ошибка измерения физической величины отягчена случайной погрешностью.

Пример: Измерен диаметр шарика. Средняя квадратичная ошибка единичного измерения (доверительный интервал) и равна Sn = 3,0 мкм. Сколько измерений необходимо провести, чтобы получить ошибку не более 1,0 мкм с надежностью 0,95?

Из условия задачи . В тпблице 5 в колонке для  = 0,95 находим, что для  = 0,3 число измерений n = 46.

Для того, чтобы  = 0,68 (нормальная ошибка) достаточно провести 10 измерений (n между столбцами с  = 0,65 и  = 0,7.

Для того чтобы ошибка измерения была в два раза больше, т.е. не превышала 2,0 мкм (для  = 0,95) необходимо сделать ~16 измерений ( = 0,67).

Если ошибка измерения физической величины содержит обе составляющие – систематическую Х и случайную Х.

В первую очередь необходимо определить способ представления суммарной погрешности:

, (44) .

. (45) .

Пример: Диаметр шарика измерен с помощью микрометра, обеспечивающего точность измерения Х = 1 мкм. Средняя квадратичная погрешность отдельного измерения Sn = 2,3 мкм.

Сколько измерений необходимо провести, чтобы общая ошибка не превышала 1,5 мкм с надежностью 0,95?

1.1. Воспользуемся соотношением (44). Если общая погрешность измерения диаметра шара   1,5 мкм, а ΔХ = 1 мкм то величина Х не должна превышать 0,5 мкм.


Таблиц 5

Необходимое число измерений для получения случайной ошибки с доверительной вероятностью



0,999

17

50

74

130

280

1100

4300

110000

0,99

11

31

46

78

170

700

2700

66000

0,95

7

18

27

46

100

390

1500

38000

0,9

5

13

19

32

70

270

1100

27000

0,85

5

11

16

27

58

192

820

23000

0,8

4

9

13

22

46

151

700

19000

0,75

4

8

11

17

38

130

500

14500

0,7

3

6

8

13

29

110

470

11000

0,65

3

6

7

11

24

94

394

9500

0,6

2

5

6

9

20

78

278

7500

0,5

2

3

4

6

13

47

180

4500



1,0

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,05

0,01


Из условия задачи получаем . По таблице 5 в колонке = 0,95 для  = 0,3 находим = 46 и для = 0,2 соответственно n = 100. Если предположить, что между  = 0,3 и 0,2 зависимость n() линейна, то для  = 0,22 n  80, т.е. для того, чтобы ошибка измерений не превышала 1,5% необходимо сделать около 80 измерений.

1.2. Рассмотрим случай, когда систематическая и случайная ошибка примерно равны по величине. Положим  Х = 1 мкм, Sn = 2,3 мкм,  = 0,44. Из таблици 5 видно, что при  = 0,95 n  22-23 если предположить, что между  = 0,4 и 0,5 число измерений меняется линейно.

В обоих случаях число измерений получилось хотя и большое, но вполне выполнимое.

Так как таблицы не всегда содержат интересующие нас значения иногда удобнее пользоваться графическими зависимостями n() для определенных значений доверительной вероятности (см. рис. 5 и 6).

2. Воспользуемся соотношением (45). Условие задачи то же, что и в случае 1. Из (45) следует или мкм.

Из условия задачи . Из таблици 5 видно, что при  = 0,95 и  = 0,5 n = 18.

Мы получили результат близкий к случаю 1.2. Отсюда можно сделать вывод, о важности выбора способа суммирования составляющих частей общей погрешности измерения физической величины, а также оценки погрешности определения погрешности.

Р
ассмотрим задачу, где в качестве основныхс параметров используются относительная ошибка и коэффициент вариации w измерения физической величины, для чего воспользуемся соотношенем

, (46) .

которое не противоречит (43), так как



Пример: коэффициент вариации w для некоторого измерения составляет 1%. Относительнаяая ошибка измерения  = 0,1 % .

Сколько измерений необходимо проделать, чтобы случайная ошибка практически не играла роли?

Так как ошибки выражены в одних и тех же единицах, то можно представить в виде отношения (46)

Для того, чтобы случайной ошибкой можно было пренебречь необходимо, чтобы она как минимум в два раза была меньше систематической ошибки, т.е.




Из таблицы 5 находим для доверительной вероятности = 0,95 и = 0,05 находим n = 1500.

Очевидно, что на практике такое число измерений выполнить весьма трудно.

Из примеров видно, что увеличением числа измерений можно устранить влияние случайной ошибки только в том случае, если средняя квадратичная погрешность не более, чем в несколько раз превосходит систематическую ошибку (реально это возможно если   ). При больших значениях для существенного уменьшения роли случайной ошибки нужны уже сотни или тысячи измерений.

В таких случаях для уменьшения погрешности получения результата необходимо радикально менять методику измерений с тем, чтобы уменьшить величину случайной ошибки.

Приложение 1.1.

^ ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Y – измеряемая физическая величина;

Х – измеренное значение физической величины;

Хи – истинное значение физической величины;

Хд – действительное значение измеренной величины;

Хср или – среднее значение измеренной физической величины;

Хi – результат отдельного измерения физической величины;

 - абсолютная погрешность измерения физической величины;

Х – абсолютная погрешность отдельного измерения физической величины;

 - относительная погрешность измерения физической величины;

(на практике ) - коэффициент вариации;

- средняя квадратичная или стандартная погрешность;

 - истинное значение средней квадратичной погрешности;

- дисперсия измерений;

- средняя квадратичная погрешность среднего арифметического из n измерений;

- средняя квадратичная ошибка среднего арифметического;

- средняя арифметическая ошибка;

 - истинное значение средней арифметической ошибки;

, на практике .
Приложение 1.2.

^ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

  1. В чём заключается задача физических измерений?

  2. Какие виды измерений Вы знаете? Дать определение, охарактеризовать и привести примеры.

  3. Какие методы измерений Вы знаете? Дать определение, охарактеризовать и привести примеры.

  4. По каким признакам классифицируют погрешности измерений? Привести примеры.

  5. Дать определение абсолютной и относительной погрешности измерения?

  6. Дать определение и охарактеризовать абсолютную погрешность измерения и ее систематическую и случайную составляющие?

  7. Дать определение и охарактеризовать промахи как особый вид погрешностей измерения. Их проявление и способы устранения. Привести примеры.

  8. Как оценить систематическую погрешность измерения? Описать Ваши действия.

  9. Дать определение среднего арифметического значения измеряемой физической величины?

  10. Дать определения средней квадратичной ошибки и ее истинного значения.

  11. Дать определение стандартной ошибки или стандарта измерения.

  12. Дать определение средней арифметической ошибки и ее истинного значения.

  13. Как оценить величину случайной погрешности? Указать связь ее со средней квадратичной ошибкой?

  14. Чему равна вероятность обнаружения истинного значение измеряемой величины в интервале от Хср -  до Хср + ?

  15. Если в качестве оценки для случайной погрешности выбрать величину 2 или 3, то с какой вероятностью истинное значение будет попадать в определённые этими оценками интервалы?

  16. Как суммировать погрешности и когда это нужно делать?

  17. Как округлить абсолютную погрешность и среднее значение результата измерения?

  18. Какие способы существуют для оценки погрешностей при косвенных измерениях?

  19. Описать свои действия при определении погрешности косвенных измерений, если случайная ее составляющая пренебрежимо мала.

  20. Описать свои действия при определении погрешности косвенных измерений, если ее определяет случайная составляющая.

  21. Как записывается конечный результат измерений и какие величины необходимо указать в случае п.п. 16 и 17?

22. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () погрешности определения длины окружности , если известны значения R = (100,002,55) мм и = 3,140,005.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила округления погрешностей измерения физических величин.

23. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения параметра квадратичности петли гистерезиса МТМ если Вk = (9,000,23) кГс, а Нk = (8,000,25) кЭ.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила округления погрешностей измерения физических величин.

24. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения теоретического предела максимального энергетического произведения =, если остаточная индукция постоянного магнита Вr = (11,000,35) кГс.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,95.

Результат записать, используя правила округления погрешностей измерения физических величин.

25. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную ошибки () определения намагниченности = 4I = 4 если удельная намагниченность исследуемого образца  = (120,03,5),  = (7,80,2), = 3,140,005.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила сложения и округления погрешностей измерения физических величин.

26. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения индукции исследуемого образца В = 4I + H если 4I = (12,50,3) кГс, а Н = (50,1) кЭ.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила сложения и округления погрешностей измерения физических величин.

27. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения амплитудной магнитной проницаемости если В = (12,000,35)103 Гс и Н = (8,02,0) Э.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила сложения и округления погрешностей измерения физических величин.

28. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения максимальной амплитудной проницаемости , где угол - угол между осью поля (Х) и касательной к кривой намагничивания в области перехода ее области насыщения, если = (89,40,5).

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила округления погрешностей измерения физических величин.

29. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения начальной амплитудной проницаемости , где угол - угол между осью поля (Х) и касательной к начальному участку кривой намагничивания (при ), если = (5,500,25).

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила округления погрешностей измерения физических величин.

30. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения площади окружности , если Rокр = (12,000,35) м, а  =  3,140,005.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила сложения и округления погрешностей измерения физических величин.

31. Два тела движутся навстречу друг другу со скоростями V1 = (90,05,5)  и V2 = (150,012,5) . Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () погрешности определения относительной скорости тел Vотн= V1 + V2.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила сложения и округления погрешностей измерения физических величин.

32. Два тела движутся в одном направлении со скоростями V1 = (100,07,0)  и V2 = (160,010,5) . Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () погрешности определения относительной скорости тел Vотн= V1 V2.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила сложения округления погрешностей измерения физических величин.

33. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения объема куба , если а = (150,001,25) см.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила округления погрешностей измерения физических величин.

34. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения плотности тела (где m – масса тела, а V – его объем), если m = (120,521,25) г, V = (2,500,25) см3.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,95.

Результат записать, используя правила сложения и округления погрешностей измерения физических величин.

35. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения объема цилиндра , если D = (150,05,5)мм, h = (250,04,5)мм,  = (3,140,005).

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила округления погрешностей измерения физических величин.

36. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения скорости перемещения тела , если S = (120,52,5) км и t = (1,550,25) часа.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила сложения и округления погрешностей измерения физических величин.

37. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () ошибки определения объема шара , если R = (12,250,35) см.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила округления погрешностей измерения физических величин.

38. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () определения объема куба , если а = (150,51,5) см, = (150,01,5) см, = (150,00,9) см.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила округления погрешностей измерения физических величин.

39. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () погрешность определения ускорения тела , если известны значения S = (110,01,5) м и = (10,50,5) сек.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила округления погрешностей измерения физических величин.

40. Рассчитать абсолютную ( или S) и относительную () погрешность определения максимального энергетического произведения (ВН)max=, если известны значения Br = (11,550,28) кГс и НсВ = (11,000,28) кЭ.

Рассмотреть и сравнить два случая: ошибка измерения определяется систематическими погрешностями, ошибка измерения определяется случайными погрешностями, причем доверительная вероятность в этом случае не хуже 0,68.

Результат записать, используя правила округления погрешностей измерения физических величин.

41. Рассчитать абсолютную и относительную ошибки определения потерь холостого хода в ярме трансформатора (где Е1 - ЭДС в первичной обмотке трансформатора, I0 - ток холостого хода трансформатора), если Е1 = (120±1) В, I0 = (1,0±0,05) А, а j0 = (10±1)°.

Иметь в виду, что ошибка измерения независимых переменных определяется систематическими погрешностями.

Приложение 1.3.

Лабораторная работа №1

^ Определение линейных размеров, площади поперечного сечения и объема тел правильной формы

Цель работы: определение линейных размеров, площади поперечного сечения и объема тел правильной формы с заданной точностью.

Используемые приборы и оборудование: тела правильной формы в форме прямоугольного параллелепипеда и прямого цилиндра (2 шт.), штангенциркуль*.

^ ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание №1.

1. Несколько раз измерить линейные размеры прямоугольного параллелепипеда (не менее 7-10 раз), результаты измерений занести в таблицу, составленную с учетом формы тела.

Таблица 6.

Линейные размеры прямоугольного параллелепипеда

№ п/п

х,

[мм]

х, [мм]

х,

[%]

У,

[мм]

у, [мм]

у,

[%]

z,

[мм]

z, [мм]

z,

[%]

1

2

3

...




















































2. Вычислить средние погрешности и сравнить их с погрешностью измерительного прибора . Убедиться, что  (достаточно, чтобы было меньше в три раза).

Результаты расчетов представить в виде:







3. Рассчитать объемы исследуемых образцов, используя средние линейные размеры. Используя погрешности измерительных приборов определить суммарные абсолютную и относительную погрешности и доверительную вероятность Р.

Окончательный результат записать в виде

, , Р = 0,68.

4. Провести измерение линейных размеров исследуемого образца микрометром1. Запись результатов измерений и их обработку вести в соответствии с п.п. 1-3.

Задание №2.

Согласно п.п. 1-4 Задания №1 провести измерения линейных размеров и расчеты для прямоугольного цилиндра. Результаты измерения записывать в Таблицу 7. Окончательные результаты представить в стандартном виде.

Таблица 7.

Линейные размеры прямоугольного цилиндра

№ п/п

D,

[мм]

D, [мм]

D,

[%]

h,

[мм]

h, [мм]

h,

[%]



1

2

3

...



















3,142





















Систематическая погрешность определения =0,0005.

Для параметров прямоугольного цилиндра:



Расчетные формулы для обработки данных косвенных измерений

Прямоугольный параллелепипед:

.

Окончательный результат записать в виде



Прямоугольный цилиндр:



Окончательный результат записать в виде



1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   15

Похожие:

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие (электронная версия) Вологда 2001 Рецензенты: Козьяков...
Козьяков А. Ф. профессор Московского Государственного технического университета им. Н. Э. Баумана

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета...
...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Москва, 2008 удк 621. 395. 34 Ббк 32. 881 Баскаков...
...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconIх классов по русскому языку тверь 2012
Рекомендовано к печати кафедрой русского языка Тверского государственного университета (протокол №1 от 6 сентября 2012 г.)

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебно-методическое пособие Рекомендовано учебно-методическим советом...
Мигранов Н. Г., проф., д-р физ мат наук кафедра «Общая и теоретическая физика» Башкирского государственного педагогического университета...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие написано в соответствии с действующей программой...
Рецензент: профессор кафедры физики имени А. М. Фабриканта Московского энергетического института (технического университета) В. А....

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Москва Издательство Российского университета дружбы народов удк 811. 161. 1 Ббк
Методика преподавания русского языка как неродного (нового): Учебное пособие для преподавателей и студентов. М.: Издательство Российского...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие красноярск 2006 удк ббк д рецензенты
Охватывает все стороны нашего бытия, харак

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие для аспирантов гуманитарного профиля Орел 2007 удк...
Пахарь Л. И. Философия и история науки: Учебное пособие для аспирантов гуманитарного профиля. ­­– Орел: Издательство огу, 2007. –...

Учебное пособие Тверь, 2003 удк 621. 318 001. 41 Рецензенты: кафедра физики Тверского государственного технического университета iconУчебное пособие Иваново 1992 удк 621. 7
В пособии дается систематизированное представление о технологии производства продукции на предприятиях металлургического и машиностроительного...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов