Курс лекций по ядерной физике




НазваниеКурс лекций по ядерной физике
страница4/41
Дата публикации18.08.2013
Размер4.3 Mb.
ТипЛекция
zadocs.ru > Физика > Лекция
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   41

^ 2.6. Капельная модель ядра. Формула Вайцзеккера. Описание свойств атомного ядра на основе законов взаимодействия между нуклонами является центральной проблемой теоретической ядерной физики. Однако представления о структуре ядер значительно беднее, чем представления об атомной и молекулярной структуре. Последние понятны настолько глубоко и полно, что дают возможность рассчитывать практически любую характеристику объекта, построенного из ядер и электронов. В то же время, хотя сегодня знания об атомном ядре нельзя назвать ничтожными, они все же еще недостаточны для построения законченной картины.

В первую очередь, это связано с тем, что количественная теория сильного взаимодействия до сих пор не создана, и вид ядерных сил приходится подбирать путем подгонки к экспериментальным данным. В атомной физике «богатые» атомные спектры дают возможность это сделать до конца, и если бы о виде электромагнитного взаимодействия ничего не было известно, его можно было бы установить из спектров. Однако существует лишь одна связанная система из двух нуклонов – дейтрон, имеющий единственный энергетический уровень. Этого, разумеется, недостаточно для построения теории ядра.

Дополнить информацию можно путем экспериментов по рассеянию нуклонов друг на друге. Но даже по всей совокупности экспериментальных данных точный вид взаимодействия может быть установлен лишь тогда, когда силы, действующие между частицами, не зависят от их скоростей, т.е. являются потенциальными. Для нуклонов это не так.1

Наконец, взаимодействие между двумя нуклонами изменяется, когда они находятся в поле других нуклонов. О роли тройных и вообще множественных сил в ядре мало что известно. Современная теория предсказывает их существование, но не дает возможность рассчитать интенсивность.

Эти и другие трудности можно обойти, используя модельные представления. В моделях ядра заранее задаются или угадываются некоторые его свойства. При этом часто используются аналогии с другими физическими объектами, на первый взгляд, не имеющими ничего общего с ядром. Так, свойство насыщения ядерных сил, следующее из их короткодействия, притяжения на больших и отталкивания на малых расстояниях, делает ядро похожим на каплю жидкости. Силы, связывающие молекулы жидкости, тоже насыщаются, а энергия испарения капли линейно увеличивается с увеличением ее массы. На этом основании был создан способ описания свойств ядра в модели жидкой капли (К. Вайцзеккер, 1935 г.).

В рамках капельной модели Вайцзеккера получается полуэмпирическая формула для энергии связи ядра как функции его протонно-нейтронного состава. В эту формулу входят следующие слагаемые.

1) ^ Объемная энергия. Энергия связи ядра тем больше, чем больше в нем нуклонов, или, другими словами, объем ядра V, так как V = (4/3)πR3 ~ A. Поэтому в первом приближении энергия связи ядра равна

, (2.19)

где α > 0 – константа. Если этим ограничиться, то мы имеем дело с бесконечной ядерной материей (поверхностные эффекты несущественны), лишенной заряда (пренебрегаем кулоновским отталкиванием протонов).

2) ^ Поверхностная энергия. Нуклоны на поверхности ядра связаны менее сильно, чем внутри, так как взаимодействуют с меньшим числом своих соседей. Если в бесконечной ядерной материи провести сферическую поверхность, ограничивающую ядро, и отбросить нуклоны вне ее, то оставшиеся у поверхности нуклоны ядра потеряют примерно половину своих связей. Число потерянных связей пропорционально площади поверхности, равной S = 4πR2 ~ A2/3. Тогда в (2.19) следует добавить слагаемое, пропорциональное A2/3, со знаком «минус»

, (2.20)

где β > 0 – константа. На поверхностный нуклон действует результирующая сила, направленная внутрь ядра. Поэтому поверхностные нуклоны стремятся сжать ядро, создавая, как в капле жидкости, поверхностное натяжение.

3) ^ Кулоновская энергия. Эту энергию можно оценить, если рассматривать заряд, однородно распределенный по объему сферы. Тогда энергия отталкивания протонов, уменьшающая W, дается классической электростатической формулой

(2.21)

(знак примерного равенства соответствует Z >>1). В итоге

. (2.22)

4) Энергия симметрии. Ограничиваясь выражением (2.22), нельзя получить правильный ход линии стабильности. Энергия связи является мерой устойчивости ядра, а, согласно (2.22), максимум W достигается при Z = 0, т.е. самые стабильные ядра должны состоять из одних лишь нейтронов. Чтобы получить правильный результат, необходимо учесть, что в легких стабильных ядрах Z = N, и ввести в формулу для энергии связи слагаемое, уменьшающее W при нарушении протонно-нейтронной симметрии. Хорошее согласие с экспериментом достигается, если положить

. (2.23)

5) Энергия спаривания. С помощью формулы (2.23) можно описать энергию связи ядер (за исключением самых легких, c A < 20) с точностью до 1%. Однако в экспериментальных результатах имеются «пульсации» на уровне 1-2 МэВ. Так, энергия отделения нейтрона для некоторых изотопов периодически возрастает, когда число N становится четным, и уменьшается при нечетных N. Следовательно, каждый из нуклонов ядра наиболее сильно связан с остальными, если объединен в пару с другим таким же, а оставшийся одиночный нуклон связан слабее. С точки зрения эффекта спаривания все ядра разбиваются на три группы.

Четно-четные ядра (c четными Z и N). Все нуклоны спарены, добавка к W положительна.

Нечетно-нечетные ядра (c нечетными Z и N). Не спарено по одному нуклону каждого типа, добавка к W отрицательна.

Ядра с нечетным A. Один из нуклонов не спарен, добавка к W равна нулю (условленная точка отсчета).

Четно-нечетные ядра являются наиболее устойчивыми, а нечетно-нечетные, напротив, самыми неустойчивыми: стабильных ядер в этой группе всего четыре: 2H, 6Li, 10B, 14N. Приведем распределение числа стабильных и долгоживущих ядер в зависимости от значений Z и N (табл. 2.2).
С учетом спаривания нуклонов одного типа наилучшее воспроизведение экспериментальных величин энергии связи дает следующая формула:

, (2.24)

где α = 15,75 МэВ, β = 17,8 МэВ, γ = 0,71 МэВ, ε = 23,7 МэВ, δ = 0 для ядер с нечетным А, 34 МэВ для четно-четных и –34 МэВ для нечетно-нечетных ядер.

Таблица 2.2

Распространенность ядер в зависимости от значений Z и N


Z

N

А

Число стабильных и долгоживущих ядер

четное

четное

четное

167

нечетное

четное

нечетное

53

четное

нечетное

нечетное

57

нечетное

нечетное

четное

8

Всего: 285


Формула (2.24) носит название формулы Вайцзеккера. Отметим, что четвертое и пятое слагаемые в (2.24) уже не связаны с представлением о ядре как о капле несжимаемой заряженной жидкости. Их появление – результат эмпирически установленных закономерностей, находящих свое объяснение в другой модели – модели ядерных оболочек (см. Лекцию 3).

Формула Вайцзеккера дает правильное представление об энергии связи: для ^ А > 40 расхождение с результатами измерений W не превышает 0,1%. Таким образом, модель позволяет предсказать энергетические условия радиоактивного распада того или другого вида. В частности, с ее помощью можно достаточно точно определить положение линии стабильности на протонно-нейтронной диаграмме. Для этого достаточно, зафиксировав массовое число A, найти изобар с наибольшей энергией связи. Дифференцируя (2.24) по Z и приравнивая к нулю производную, после подстановки параметров получаем, что

. (2.25)

Условие (2.25) определяет в рамках модели Вайцзеккера соотношение между числом протонов и нейтронов для ядер, устойчивых относительно β-распада (дорожка стабильности). Ядра, содержащие избыток протонов, нестабильны относительно β+-распада

,

а ядра с избытком нейтронов – относительно β-распада1

.

Лекция 3. Оболочечная модель ядра
^ 3.1. Основные положения квантовой механики.1 На малых расстояниях классическая механика перестает быть справедливой за счет проявления квантовых закономерностей. Квантовые свойства проявляются тем резче, чем меньше массы частиц и расстояния между ними. Поэтому мир атомных ядер и элементарных частиц является существенно квантовым.

Одним из основных свойств квантового мира является неразрывная связь между частицами и волнами: частице любого сорта соответствует волна, называемая волной де Бройля. Наоборот, каждой волне соответствует частица или группа частиц. Физическими величинами, характеризующими волну, являются ее частота ω и длина волны .2 Чтобы указать не только длину, но направление распространения волны, вводят волновой вектор k, ориентированный вдоль направления распространения и по абсолютной величине равный .

Физическими величинами, характеризующими частицу, являются ее энергия и импульс. В квантовой теории энергия и импульс связаны с частотой и волновым вектором следующими соотношениями:

, (3.1)

. (3.2)

Эти соотношения выражают дуализм волн и частиц в квантовом мире, совершенно необъяснимый с позиций классической физики. Действительно, частица локализована в точке, а волна, наоборот, занимает все доступное ей пространство. Для понимания этого парадокса приходится смириться с тем, что в микромире фраза «частица с импульсом p находится в точке r» просто не имеет смысла. Иными словами, в квантовой механике не существует понятия траектории частицы. Это обстоятельство составляет содержание принципа неопределенности – одного из основных постулатов квантовой механики, сформулированного В. Гейзенбергом. Координата и скорость частицы являются в квантовой механике величинами, которые не могут быть одновременно точно измерены. Невозможно определить точно и энергию частицы в строго определенный момент времени.

Степень неточности измерения координаты Δx и проекции импульса Δpx определяется известным соотношением неопределенностей Гейзенберга:

. (3.3)

Аналогично соотношение для неопределенностей времени Δt и энергии ΔE:

. (3.4)

Из соотношения неопределенностей (3.3) вытекает связь между малыми расстояниями и большими энергиями: чем меньшие расстояния надо исследовать, тем больше должен быть импульс, а, следовательно, и энергия частиц, с помощью которых проводится исследование. Поэтому физика сверхмалых расстояний – это физика сверхвысоких энергий. Подобно тому, как в микроскопе можно наблюдать расстояния, не меньшие длины волны света, так и пучком частиц можно «прощупывать» детали структуры на расстояниях, не меньше длины волны де Бройля этих частиц.

В классической механике состояние частицы в определенный момент времени полностью описывается заданием шести чисел: трех координат x, y и z и трех соответствующих проекций импульса px, py и pz. Вместо этого в квантовой теории состояние частицы полностью описывается заданием функции трех переменных ψ(x, y, z) во всем пространстве, т.е. трехмерным континуумом чисел. Функция ψ(x, y, z) ≡ ψ(r) называется волновой функцией.

В классической механике уравнения движения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. С их помощью по заданным значениям координат и скоростей (или импульсов) в начальный момент времени можно определить эти же величины в любой другой момент времени t. В квантовой механике уравнение движения должно, очевидно, сводиться к описанию временной эволюции волновой функции ψ(r). Это волновое уравнение называется уравнением Шредингера и имеет вид

, (3.5)

где Δ – дифференциальный оператор Лапласа

. (3.6)

Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния: состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры (в частности, энергия Е) не меняются с течением времени. Для них уравнение Шредингера (3.5) преобразуется к следующему виду:

. (3.7)

Уравнение (3.7) носит название стационарного уравнения Шредингера. Решения этого уравнения существуют, вообще говоря, не при любых значениях Е, а только при некоторых. Они называются собственными значениями энергии. Соответствующие им функции ψ называются собственными функциями. Собственные значения энергии могут быть дискретными, а могут непрерывно заполнять конечный или бесконечный интервал (в первом случае говорят, что энергетический спектр системы дискретный, а во втором – непрерывный). Пример решения стационарного уравнения Шредингера для простейшего случая движения частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме приведен в ПРИЛОЖЕНИИ Б.

В тех случаях, когда потенциальную энергию можно представить в виде суммы, каждое слагаемое в которой зависит только от одной координаты, стационарное уравнение Шредингера можно разбить на несколько уравнений, по числу слагаемых в сумме. Например, если для двумерного движения справедливо

,

то решать пару уравнений

,



можно независимо. Собственная функция ψ в этом случае будет произведением

,

а собственное значение энергии суммой

.

Этот принцип решения при возможности разделения переменных остается справедливым для любого числа независимых координат, а также их комбинаций.

Практически важна в квантовой механике задача о стационарном движении частицы в потенциальном поле ^ U(r), зависящем только от длины радиус-вектора r и не зависящем от углов θ и φ (т.н. центральное поле). В этом случае разделение переменных в (3.7) позволяет найти универсальные собственные функции ψ(θ, φ), которые определяются лишь значениями момента импульса частицы

(3.8)

и проекции вектора L на выбранную ось Lz. При этом

(3.9)

. (3.10)

Числа l и ml называются орбитальным и магнитным квантовыми числами. Так как момент импульса изолированной системы, подобно энергии и импульсу, является интегралом движения, т.е. сохраняющейся величиной, практическое значение имеет также правило суммирования моментов отдельных подсистем:

. (3.11)

Инвариантность (неизменность) свойств квантовомеханической системы при операции инверсии (когда каждый радиус-вектор r меняется на –r) приводит к еще одному квантовому числу – четности (P). Система является четной (P = +1) или нечетной (P = –1) в зависимости от того, сохранится или изменится знак волновой функции системы при смене знаков всех пространственных координат. Четность изолированной системы, как и энергия, импульс и момент импульса, сохраняется.1

Правила нахождения четности при возникновении новой системы просты. Если две четные или две нечетные частицы образуют систему, то она будет четной. Если одна из частиц находится в четном, а другая в нечетном состоянии, система будет нечетной. Таким образом, величина Р мультипликативна.

При движении частицы в центральном поле ее волновые функции с четным орбитальным числом l четны, с нечетным – нечетны. В результате

, (3.12)

где π1 и π2 – т.н. внутренние четности частиц. Внутренние четности имеют смысл лишь будучи определенными относительно какой-либо частицы. Для протона принята πp = +1. Четности всех других частиц определяют относительно протона на основании закона сохранения четности. Так, внутренняя четность электрона πe = +1, нейтрона πn = +1, а фотона πγ = –1.

Согласно релятивистской квантовой теории частица обладает собственным моментом импульса Sспином (последний никак не связан с ее орбитальным движением). Величина спина

(3.13)

характеризуется числом s, принимающим, в отличие от орбитального квантового числа, не только целые (0, 1, 2…), но и полуцелые (1/2, 3/2, 5/2 …) значения. Часто именно это число s и называют спином частицы.

Частицы с целым спином называют бозонами, с полуцелым – фермионами. Электрон, протон и нейтрон (s = ½) принадлежат к группе фермионов. Фотон (s = 1) является бозоном. Все фермионы подчиняются принципу Паули, согласно которому в любом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона данного вида. Для бозонов подобного ограничения не существует.

Волновая функция системы одинаковых фермионов антисимметрична по отношению к перестановке координат любых двух частиц (т.е. меняет свой знак при такой операции). Волновая функция системы одинаковых бозонов симметрична относительно такой перестановки.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   41

Похожие:

Курс лекций по ядерной физике iconМетодические указания к выполнению контрольной работы №5 по физике...
...

Курс лекций по ядерной физике iconКурс лекций по социологии
Курс лекций по социологии / Р. А. Лаптев; Курский институт социального образования (филиал) ргсу. – Курск, 2011. – с

Курс лекций по ядерной физике iconКурс лекций
Общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины” государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования...

Курс лекций по ядерной физике iconКурс лекций
Курс лекций по социологии представляют собой краткое изложение её основ. Причём интеллектологический аспект рассматриваемых социальных...

Курс лекций по ядерной физике iconФинансы организации курс лекций
Финансы организации. Курс лекций. – Пермь: Экономический колледж при пгу 2009. – 92 с

Курс лекций по ядерной физике iconКурс лекций по общему языкознанию с
Курс лекций по общему языкознанию. Научное пособие. К.: Освита Украины, 2006. 312 с

Курс лекций по ядерной физике iconКраткий курс лекций Часть 1 2012 Рекомендовано к изданию в качестве...
Компьютерные информационные технологии. Краткий курс лекций: Ж. М. Анисимова, Л. И. Крошинская, Л. C. Черепица. – Минск: «бип – Институт...

Курс лекций по ядерной физике iconКурс лекций мариуполь 2009 Министерство образования и науки Украины...
...

Курс лекций по ядерной физике iconКурс лекций Под редакцией доктора юридических наук, профессора, заслуженного...
История отечественного государства и права. Ч. II: курс лекций / Н. В. Михайлова, С. С. Жевлакович, Д. В. Колыхалов и др.; под ред....

Курс лекций по ядерной физике iconКраткий курс лекций по грамматике английского языка Утверждено Редакционно-издательским советом
Краткий курс лекций по грамматике английского языка: Учеб. Пособие. Магнитогорск: мгту им. Г. И. Носова, 2001. — 71 с

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов