Решение проблемы




Скачать 333.12 Kb.
НазваниеРешение проблемы
страница1/2
Дата публикации13.12.2013
Размер333.12 Kb.
ТипРешение
zadocs.ru > География > Решение
  1   2

1

Проблемные ситуации и их классификация

Тип проблемных ситуаций

Формулировка проблемы

Метод решения проблемы

Решение проблемы

1 явная

+

+

+

2 явная

+

+

-

3 явная

+

-

+

4 явная

+

-

-

5 неявная

-

+

+

6 неявная

-

+

-

7 неявная

-

-

+

8 неявная

-

-

-




2

Способы решений проблемных ситуаций

Решение – выбор альтернативы

Организационное решение выполняет руководитель по долгу службы

Запрограммированное или незапрограммированное (в новых ситуациях)

Компромиссы: решения имеют отрицательные последствия, поэтому нужно это оценивать.

Интуитивные решения – на основе ощущений ЛПР

Решения, основанные на суждениях – на основе опыта ЛПР

Рациональное суждение – то же, но не зависит от предыдущего опыта

3

Этапы принятия рационального решения

- диагностика проблемы, определение цели и получение представления о результате

- формулировка исходных данных и выявление критериев оценки результата

- выявление альтернатив

- выбор математической модели и способа решения

- оценка яльтернатив

- реализация

- анализ результата

4

Общая задача линейного программирования (целевая функция, ограничения, план задачи, допустимое множество, оптимальное решение)

План – совокупность неизвестных величин, действуя на которые систему можно совершенствовать

Целевая функция позволяет выбрать наилучшее решение из множества возможных (он доставляет цф экстремальное значение)

Система ограничений (причина – ограничение ресурсов, удовлетворение потребностей, условия производственных и технологических процессов) задает допустимое множество

Допустимый план входит в область ограничений

Допустимый план, которые доставляет целевой функции экстремум, называется оптимальным

5

Задача о смесях (о диете, о рационе)

Aij питательного вещества I в корме J

Xj корма J

Cj цена корма J

Bi минимальная потребность в J питательном веществе

C1X1+C2X2+…  min

A11X1+A12X2+A13X3+… >= B1

A21X1+A22X2+A23X3+… >= B2

6

Задача о наилучшем использовании ресурсов

Xj выпускают J типа продукции

Aij единиц I ресурса требуется на производство J типа продукции

Cj прибыль от единицы J продукта

Bi объем имеющегося ресурса

Z=CjXj  max

A11X1+A12X2+A13X3+…<=B1

7

Задача о распределения персонала (о назначения)

n работ

m специалистов

Xij=1 если i человек выполняет j работу

Сij - эффективность выполнения i человеком j работы

sum(xij*cij)--> max

sum по i(xij)=1

sum по j(xij)=1

то есть 1 человек не выполняет 2 работы и 1 работу не выполняет 2 человека

8

Транспортная задача открытого и закрытого типа

Ai пункт отправления, i=1,…,m; Bj – пункт назначения, j=1,…,n; ai - объем продукта в пункте отправления; bj - потребность в пункте назначения; Cij - затраты на перевозку единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения. . Если равенство – закрытый тип. Cоставить такой план перевозок, чтобы
общая стоимость перевозок была минимальной.




B1

B2



Bn

A1

X11, C11

X12, C12



X1n, C1n

A2

X21, C21

X22, C22



X2n, C2n











Am

Xm1, Cm1

Xm2 Cm2



Xmn, Cmn






9

Задача о движении автобусов

Цель: определение минимального количества автобусов для удовлетворения потребностей пассажирских перевозок. Будем считать, что каждые 4 часа количество автобусов постоянно.

Смены:

  1. 8.00 - 16.00

  2. 16.00 – 24.00

  3. 0.00 – 8.00

Решение:


1. .x1+ x6 > = 4 x1>=0

x1+x2>=8 x2>=0

x1+x3>=10 x3>=0

x3+x4>=7 x4>=0

x4+x5.=12 x5>=0

x5+x6>=4 x6>=0

2.=> x1=x3+x5=0 x2=10, x4=12, x6=4

10

Математическая модель задачи линейного программирования

При построении модели реальное явление неизбежно упрощается, схематизируется, и эта схема описывается с помощью того или иного математического аппарата. Чем удачнее будет подобрана математическая модель, чем лучше она будет отражать характерные черты явления, тем успешнее будет исследование и полезнее — вытекающие из него рекомендации.

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель выбирается, исходя из вида операции, ее целевой направленности, с учетом задачи исследования. Необходимо также в каждом конкретном случае соразмерять точность и подробность модели: а) с той точностью, с которой нам нужно знать решение, и б) с той информацией, которой мы располагаем или можем приобрести. Если исходные данные, нужные для расчетов, известны неточно, то, очевидно, нет смысла входить в тонкости, строить очень подробную модель и тратить время на тонкую и точную оптимизацию решения.

Математическая модель должна отражать важнейшие черты явления, все существенные факторы, от которых в основном зависит успех операции. Вместе с тем, модель должна быть по возможности простой.

Надо делать несколько математических моделей.

11

Формы записи задачи линейного программирования

Общая:

Max(min) Z=sum(CjXj)

Sum(AijXj)<=Bj (i=1,m1)

Sum(AijXj)=Bj (i=m1+1,m2)

Sum(AijXj)=Bj (i=m2+1,m)

Xj>=0

Матричная

A=[a11 a12] X=[x1] A0=[b1]

[a21 a22] [x2] [b2]

Векторная

A1=[a11] A2=[a12] C=[c11]

[a21] [a22] [c21]

Z=CX

A1x1+A2x2+…=A0

12

Линейное векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Ранг.

Совокупность из всевозможных упорядоченных систем из n действительных чисел после введения в нее операций сложения и умножения на действительное число называется n-мерным векторным пространством

Если один вектор системы является линейной комбинацией остальных, то векторы линейно зависимы. Ранг – максимальное число ЛНЗ векторов системы.

13

Понятие базиса системы. Базисное и опорное решение системы.

Базисом n-мерного векторного пространства является любая совокупность n ЛНЗ векторов. В двумерном пространстве -2 неколлинеарных вектора, в трехмерном – три некомпланарных.

Базисное решение – когда небазисные переменные =0. Невырожденное – ни одна б.п. <>0. Опорное – все б.п. >0.

14

Отыскание исходного опорного базиса

Базисное решении опорно, если все базисные X неотрицательны

  1. Метод Гаусса

  2. Из всех строк с отрицательной правой частью выбираем ту, у которой |b| максимальный

  3. Из всех строк с отрицательной правой частью вычитаем эту

  4. Умножаем эту на (-1)

  5. Выбираем разрешающий столбец, в котором в этой строке >0 число

  6. Рассматриваем b1/a1, b2/a2, …

  7. Выбираем минимальное из этих чисел (например третье)

  8. Делаем преобразование однократного замещения (1 в третьей строке, в остальных 0 в рассматриваемом столбце)

  9. 5-8 повторяем, пока

А) не найдено исходное опорное решение

Б) система несовместна на множестве неотрицательных чисел

15

Переход от одного опорного решения к другому

  1. Берем любой столбец, в котором есть >0 число

  2. Рассматриваем b1/a1, b2/a2, …

  3. Выбираем минимальное из этих чисел (например третье)

  4. Делаем преобразование однократного замещения (1 в 3-й строке, в остальных 0 в рассм-м столбце)

16

Каноническая форма задачи линейного программирования

Минимизация целевой функции

Система ограничений в виде строгих равенств

Все переменные неотрицательны

В системе ограничений исходный базис

Все свободные члены системы ограничений неотрицательны

17

Приведение задачи линейного программирования к канонической форме


19

Свойства решений задачи линейного программирования (без док)

множество допустимых решений ЗЛП является выпуклым множеством

оптимум целевой функции ЗЛП, если он существует, достигается хотя бы в одной из вершин допустимого множества

20

Доказать, что множество допустимых решений ЗЛП является выпуклым множеством

Надо доказать, что если Х1 и Х2 – планы ЗЛП, то их выпуклая линейная комбинация Х=k1X1+k2X2, k1+k2=1, k1>=0, k2>=0, - также план задачи

Так как Х1 и Х2 – планы задачи, то выполняются соотношения АХ1=А0, Х1>=0, АХ2=А0, Х2>=0

Перемножая A(k1X1+k2X2)=k1AX1+k2AX2=k1A0+k2A0=(k1+k2)A0=A0 получаем, что Х удовлетворяет системе

21

Доказать, что оптимум целевой функции ЗЛП, если он существует, достигается хотя бы в одной из вершин допустимого множества

К – конечное множество угловых точек Х1, Х2, Х3, Х4

Х0 – оптимальный план.

Тогда Z(X0)<=Z(X) для всех X из K

Предположим, что X0 не является угловой точкой

Тогда ее можно представить как выпуклую линейную комбинацию угловых точек

ki>0, sum(ki)=1

Так как Z(X) линейная, то

Z(X0)=Z(k1X1+k2X2+k3X3+k4X4)=k1Z(X1)+k2Z(X2)+k3Z(X3)+k4Z(X4)

Обозначим наименьшее из Z(Xk) через m

Тогда Z(X0)>=m, так как сумма k =1

Так как Z(X0) – оптимальный план, то Z(X0)<=m (функция на min)

Значит Z(X0)=m=Z(Xk), значит Хk – угловая точка

22

Условие существования оптимального решения задачи линейного программирования

ОДЗ должна быть не пуста и целевая функция должна быть ограничена на ОДЗ


23

Метод прямого перебора решения ЗЛП

Подставляем в целевую функцию все базисные решения, выбираем мин. (макс.) из результатов

(Находим знач-я цел. ф-ции в кажд. вершине многогр-ка решений и выбираем мин. (макс)

24

Основная идея симплекс-метода решения ЗЛП и ее теоретическое обоснование

Имеем исходный базис

Выразим базисные переменные x1…xm из системы ограничений

Сгруппируем множители при свободных переменных xm+1…xn

Delta0 = c1b1+…+cmbm

DeltaJ = c1a1j+…+cmamj

Тогда задача принимает вид

ЦФ Z=delta0-deltam+1xm+1-deltam+2xm+2-…

Сист. ограничений x1+a11x1+a12x2+…=b1 x2+a21x2+a22x2+…=b2 ….

Delta0бА0; deltajбАj-cj







10

15

7

13

10

30

1

0

0

18

15

32

0

1

0

20

7

35

0

0

1

21




10*30+…

10*1+15*0+…-10

10*0+15*1+…-15

10*0+15*0+…-7

10*18+15*20+…-13

Если ЦФ исследуется на мин и все z-оценки неположительны, то план оптимальный

25

Теорема о возможности улучшения опорного решения задачи ЛП

Если опорный план не вырожден, ЦФ ограничена на ОДЗ, задача на мин, среди z-оценок есть положит., но в соотв. столбце системы огр-й есть хотя бы одно положит. число то значение целевой функции можно улучшить

26

Условие применимости симплекс-метода и теорема о неограниченности целевой функции на ОДЗ

Если z-оценка положительна, а среди чисел над ней нет положительных, то ЦФ неограниченна на ОДЗ (на min)

27

Структура симплекс таблицы

28

Алгоритм симплексного метода решения ЗЛП

1. Находят опорный план.

2. Составляют симплекс-таблицу.

3. Выясняют, имеется ли хотя бы одно положительное число j . Если нет, то найденный план оптимален. Если же среди чисел j имеются положительные, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану.

4. Находят разрешающие столбец и строку. Разрешающий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине положительным числом j , а разрешающая строка минимальным из отношений компонент столбца вектора А0 к положительным компонентам разрешающего столбца.

5. Определяют положительные компоненты нового опорного плана, коэффициенты разложения векторов Аi по векторам нового базиса и числа 0 и j.Все эти числа записываются в новой симплекс-таблице.

6. Проверяют найденный опорный план на оптимальность. Если план не оптимален и необходимо перейти к новому опорному плану, то возвращаются к этапу 4, а в случае получения оптимального плана или установления неразрешимости процесс решения задачи заканчивают.

29

Контроль за правильностью решения ЗЛП симплекс-методом

  1. delta при базисных x всегда =0

  2. правая часть всегда неотрицательна

  3. значение целевой функции не должно ухудшаться

30

Понятие о вырождении. Причины зацикливания в симплекс-методе

Зацикливание возможно только для вырожденных планов, т.е. если на одной из итераций одна или несколько переменных опорного плана могут оказаться равными 0, тогда возможен возврат к первоначальному базису.

При появлении цикла следует изменить последовательность вычислений путем изменения разрешающего столбца или разрешающей строки.

31

Понятие двойственности в линейном программировании. Правила построения двойственных задач

Если уравнений больше, чем неизвестных, мы не можем решать такие задачи.

Составляем двойственную

  1. если в исходной задаче целевая функция исследуется на min, то в двойственной на max и наоборот.

  2. Число уравнений и число переменных меняются местами

  3. Коэффициенты целевой функции исходной задачи становятся правыми частями системы ограничений двойственной, правые части – коэффициентами целевой функции

  4. Матрица ограничений двойственной задачи транспонируется

  5. Если в исходной задаче kое ограничение – неравенство, то Yk>=0

  6. Если Xl>=0, то соответствующее l ограничение двойственной задачи будет неравенством

  7. Если Xl любого знака, то в соотв. ограничении знак равенства

32

Леммы и теоремы двойственности (без док)

  1. если в исходной задаче x и z->min, а в двойственной y и z->max, то z(x)>=z`(y)

  2. если z(x*)=z`(y*), то x* и y* - оптимальные планы основной и двойственной задачи

  3. Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и вторая тоже имеет оптимальное решение, причем Z*min=Z`*max

Если одна из пары двойственных задач не имеет решения потому, что одз пуста, то у второй задачи целевая функция неограниченна на одз

  1. Планы X* и Y* пары двойственных задач являются оптимальными тогда и только тогда, когда для любого j=1..n выполняется соотношение



33

Применение двойственных задач

Число уравнений больше числа неизвестных / удобно / нужно исследовать на чувствительность и устойчивость

34

Связь между решениями прямой и двойственной задачи на примере пары симметричных задач

x1,…,xn  ym+1,…,ym+n

xn+1,…,xn+m  y1,…,ym



35

Экономическая интерпретация двойственных задач (на примере). Экономический смысл 1-ой теоремы двойственности

Yi – скрытая (теневая) цена ресурсов

План производства x1…xn и набор скрытых цен y1…ym оптимален тогда и только тогда, когда прибыль от продукции, найденная при внешних (известных заранее) ценах c1…cn равна затратам на ресурсы по внутренним (из решения задачи) ценам y1…ym. Для всех других планов X и Y прибыль от продукции будет <= затратам на ресурсы.

36

Оптимальные двойственные оценки и их смысл в задаче об использовании ресурсов.

F=2x1+3x2 ->max

x1+3x2<=18

2x1+x2<=16

x2<=5

3x1<=21

x1,x2>=0

Z=18y1+16y2+5y3+21y4 -> min

y1+2y2+3y4>=2

3y1+y2+y3>=3

Число единиц продукции

Остатки ресурсов (ед.)

X1=6

X2=4

X3=0

X4=0

X5=1

X6=3

Y5=0

Y6=0

Y1=4/5

Y2=3/5

Y3=0

Y4=0

Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации

Условные цены ресурсов

Если увеличить запас первого ресурса на единицу, прибыль увеличится на 4/5

Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальными двойственными оценками исходной задачи (скрытые доходы). Они определяют степень дефицитности ресурса.

37

Анализ моделей на устойчивость и чувствительность

^ Исследование на устойчивость – исследование диапазона изменения правых частей системы ограничений, при котором найденное оптимальное решение не изменяется.

При исследовании на чувствительность исследуется зависимость решения ЗЛП от небольших изменений коэффициентов в условии задачи. При этом предыдущее решение может стать либо недопустимым, либо неоптимальным.

К недопустимости пред. решения могут привести изменения запасов ресурсов и/или добавление новых ограничений.

К неоптимальности пред. решения могут привести изменение целевой функции и/или изменение технологических коэффициентов и/или включение в модель нового вида производственной деятельности.

38

Метод искусственного базиса

Добавляем в каждое уравнение xk, чтобы получить базис

Z=… … -Mxn+1-Mxn+2-… ->max

Если в оптимальном решении искусственные переменные <>0, то задача не имеет решения, потому что ОДЗ пуста.

Если искусственная задача не имеет решения из-за неограниченности целевой функции на ОДЗ, то исходная задача не имеет решения по той же причине

39

Основные понятия теории игр

Математическая теория конфликтных ситуаций

Цель – выработка рекомендаций по разумному поведению противника

Исход партии V

Игра с 0 суммой – выигрыш одного равен проигрышу другого

Нижняя цена игры – alpha=max I min J aij

Верхняя цена игры – beta=min J max I aij

2 -3 4 -3=alpha

-3 4 -5 -5

4 -5 6 -5

4 4 6

4=beta

40

Антагонистические игры, седловая точка

Парная игра с 0 суммой – антагонистическая

Если alpha=beta=V, то игра имеет седловую точку, в ней равновесие, игры нет, V – цена игры

41

Чистые и смешанные стратегии матричных игр с нулевой суммой, платежная функция

Смешанная стратегия - вектор P=(p1,p2,p3,…), Где pi – вероятность выбора i-ой стратегии игроком А

Чистая стратегия А3=(0,0,1,0,…,0)

Платежная функция f(p,q)= sum(aijpiqj)

42

Теорема о необходимом и достаточном условии существования решения антагонистической игры

Каждая конечная игра имеет хотя бы одно решение в терминах смешанных стратегий

44

Решение матричной игры 2x2

11 12

21 22

{a11p1+a21(1-p1)=v

{a12p1+a22(1-p1)=v

Оттуда находим v, p1 и p2=1-p1

Подставляем v в любое из уравнений системы для второго игрока

{a11q1+a12(1-q1)=v

{a21q1+a22(1-q1)=v

Оттуда находим q1 и q2=1-q1

45

Геометрическое решение матричной игры Mx2, 2xN

Mx2: находим maxmin, например это пересечение 1 и 5ой стратегии 1 игрока, тогда вычеркиваем 2 3 4 и решаем как в 2х2, подставляем в систему для первого игрока

2xN: находим minmax, вычеркиваем лишние стратегии второго игрока, решаем как 2х2 для второго игрока, подставляем в систему для второго игрока

46

Приведение матричной игры к задаче линейного программирования

В терминах смешанных стратегий любая матричная игра имеет оптимальный план

F(p,q); p*=(p1*,…,pn*), q*=(q1*,…,qm*) являются оптимальными тогда и только тогда, когда

{a1jp1+a2jp2+…>=V

{ai1q1+ai2q2+…<=V двойственная

Замена xi=pi/V

{a1jx1+a2jx2+…>=1

{ai1y1+ai2y2+…<=1 двойственная

Целевая функция – сумма х = 1/V на минимум или сумма y = 1/V на максимум; Решаем симплекс-методом, находим p, q, V

47

Статистические игры. Критерии для принятия решений
  1   2

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение проблемы iconДля решения проблемы необходимо ответить на следующие вопросы: для...
Управленческое решение – это результат анализа, прогнозирования, оптимизации, экономического обоснования и выбора альтернативы из...

Решение проблемы iconРешение проблемы
Компромиссы: решения имеют отрицательные последствия, поэтому нужно это оценивать

Решение проблемы iconРешение проблемы «Вавилонского столпотворения»
Материалы к лекциям представляют собой конспект лекций, записанных студентами-заочниками юф

Решение проблемы iconРешение проблемы страдания 46
Кинслоу Фрэнк Эйфо-чувство и сила Намерения: Достижеиие внутренней гармонии и благополучия в жизни

Решение проблемы iconЗачастую Вы можете столкнуться с неполадками в работе компьютеров,...
Вы не планируете принимать в штат ит-специалиста в силу малого объема работ. Вместе с тем решение проблемы необходимо в кратчайшие...

Решение проблемы iconВопросы к экзамену по дифференциальным уравнениям группа нмб-11
Определение дифференциального уравнения первого порядка. Решение, общее решение, интегральная кривая, общий интеграл, задача Коши,...

Решение проблемы iconОписание проекта
«Экологическое благополучие мо г. Краснодар и Краснодарского края. Сортировка и переработка твердых бытовых отходов (тбо). Решение...

Решение проблемы iconСоциальный проект
По теме: «Экологическое благополучие мо г. Краснодара и Краснодарского края. Сортировка и переработка Твердых Бытовых Отходов (тбо)....

Решение проблемы iconРешение проблемы «сверхпроводимости»
Экология : учеб пособие [для направлений бакалавриата 080200. 62 "Менеджмент" и 080100. 62 "Экономика"] / В. Г. Самылина, Л. М. Дороговцева,...

Решение проблемы iconРезюме (Executive Summary) проекта
Далее, нужно привести концепцию продукта/услуги как решение проблемы. Проблема потребителя должна быть акцентирована очень четко...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов