Лабораторная работа №7
Скачать 349.96 Kb.
|
 Лабораторная работа № 7 Решение задач оптимизации Цель работы: изучить численные методы поиска минимума функции одной переменной. Ознакомиться с методами решения задач условной оптимизации средствами Excel. Содержание работы
Основные понятия ^ Определение. Непрерывная функция y=f(x) называется унимодальной на отрезке [а,b], если: 1) точка х* локального минимума функции принадлежит отрезку [a,b]; 2  ) для любых двух точек отрезка x1 и х2, взятых по одну сторону от точки минимума, точке х1, более близкой к точке минимума, соответствует меньшее значение функции, т.е. как при х*<х1<х2 (рис. 1,а), так и при х2<х1<х* (рис. 2,б) справедливо неравенство f(x1) < f(x2). Достаточное условие унимодальности функции f(x) на отрезке [а,b] содержится в следующей теореме. Теорема 8. Если функция f(x) дважды дифференцируема на отрезке [а,b] и f’’(x) > 0 в любой точке этого отрезка, то f(x) - унимодальная функция на [а,b]. Заметим, что условие f’’(х) > 0 определяет множество точек, на котором функция является выпуклой вниз. Пример 1. Для функции f(x) = 2х2 – ln x найти: 1) промежуток X, на котором функция является унимодальной; 2) решение задачи f(x) → min, x X (X R). Решение. Функция f(x) определена при х>0; найдем ее производные  .Следовательно, функция f(x) унимодальна на интервале (0, ). Первая производная f’(х)=0 при х=0,5.Заключаем, что х*=0,5 - точка локального минимума функции f(x). ^ Пусть требуется решить задачу f(x) → min, x X (X R) (1) Применение численных методов для отыскания точек х* локального минимума функции f(x) предполагает: 1) определение промежутков унимодальности функции, т.е. нахождение отрезков, которым принадлежит одна точка локального минимума; 2) вычисление значения х*, принадлежащего выбранному промежутку, с заданной точностью. Для непрерывной функции f(х) строят ее график на некотором отрезке [а,b] и если окажется, что на этом отрезке график функции имеет вид, изображенный на рис. 1, то [a, b] - отрезок унимодальности функции. Отрезок [а, b] берется по возможности малым. При вычислении точки минимума точность достигается последовательным уменьшением отрезка [a, b], содержащего точку х*, до размеров, не превышающих заданную точность (b - а ≤ ). Замечание. Если функция имеет производную в области определения, то для отыскания стационарных точек функции f(х) нужно найти корни уравнения f(х) = 0. Для решения задачи (1) проще применять прямые численные методы поиска минимума функции f(x). Рассмотрим один из приемов, позволяющих сузить отрезок унимодальности функции. Пусть функция f(x) унимодальна на отрезке [а,b]. Возьмем две произвольные точки х1 и х2, принадлежащие отрезку [а,b] такие, что х1 < х2. В каждом из следующих трех очевидных возможных случаев можно указать отрезок меньших размеров [a1, b1], содержаний точку минимума х* и принадлежащий первоначальному отрезку (рис.2): I. Если y1 = f(х1) < у2 = f(x2), то положим a1 = а и получим меньший отрезок унимодальности [a1, b1]. II. Если у1 = f(х1) > у2 = f(х2), то естественно принять a1 = x1 и b1 = b. III. Если у1 = f(х1) = у2 = f(х2), то a1 = x1 и b1 = x2. Пример 2. Для функции f(x) = 2x2 – ln x, выбрав отрезок унимодальности [а,b] = [0,25; 1] и две произвольные точки  х1, х2 с [a, b], найти меньший отрезок унимодальности [a1, b1]. Решение. В примере 1 было установлено, что функция f(x) имеет точку минимума х*=0,5 и является унимодальной на любом отрезке, содержащем точку х* и лежащем в области ее определения (0, ). Возьмем х1 = 0,375, х2 = 0,625; тогда y1 = f(x1) = 1,2620793, y2 = f(х2) = 1,2512536. Здесь естественно положить a1 = x1 = 0,375 и b1 = b = 1 (случай II). Методы вычисления значения точки минимума функции одной переменной отличаются алгоритмами выбора точек х1 и х2 для локализации точки х* с заданной точностью. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Основные приемы работы(контекстное меню, выделение, группирование объектов, перетаскивание мышью, получение справки) | | Лабораторная работа №3. Изменения экранного образа таблицы в субд access лабораторная работа №4. Простые и сложные запросы к базе... |
| Лабораторная работа выполняется и защищается в соответствии с утвержденным расписанием занятий | | Цель лабораторной работы состоит в изучении средств vb и средств vs для работы с текстовыми файлами |
| Лабораторная работа: «Измерение длины световой волны с помощью дифракционной решётки» | | Лабораторная работа № Назначение и функции общеобразовательного стандарта в школе. Стандарт школьного образования по информатике... |
| Создание шаблона. Работа с шаблонами документов. Совместное использование Word и Excel | | Цель работа: используя закон сохранения механической энергии и уравнение гармонических колебаний /незатухающих/, определить момент... |
| Получить представление о том, что такое массив и научиться разрабатывать алгоритмы решения задач с использованием массивов в среде... | | Занятие № Практическая работа «Строение и функции опорно-двигательного аппарата: Скелет» |