Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева

^ 6. Оформление результатов. Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последовательные итерации с совпадающими первыми четырьмя знаками и значение точного решения на сетке. ^ ЗАДАНИЕ № 13. Решение задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения с переменными коэффициентами 1. Постановка задачи Методом переменных направлений решить задачу Дирихле для уравнения , (1) (2) в области , где – граница квадрата . , , , – точное решение задачи (1), (2). ^ 2. Разностная аппроксимация задачи Пусть – замкнутый квадрат, – его граница, – заданная на достаточно гладкая функция. Задача Дирихле состоит в следующем. Требуется найти непрерывную на функцию , удовлетворяющую на открытом квадрате уравнению (1) и обращается вна границе квадрата. Функции достаточно гладкие, удовлетворяющие условиям , (3) Задача Дирихле (1), (2) имеет единственное решение . Положим , , , . Построим сетки (– множество узлов, лежащих на ) Заменим исходную дифференциальную задачу (1), (2) разностной задачей. , (4) на (5) , , . Введём обозначения: , (6) , (7) . ^ 3. Метод переменных направлений для задачи Дирихле Напишем для задачи (4), (5) двухслойную разностную схему переменных направлений или дробных шагов , (8) , (9) . В разностной схеме (8), (9) шаг по времени делится на два полушага. Разностное уравнение (8) отвечает первому полушагу, в нём величины и считаются уже известными (в частности, ), а неизвестные имеют верхний индекс . Правая часть задана. Перепишем разностное уравнение (8), предварительно умножив его на , следующим образом: (10) где известно, и присоединим к разностному уравнению краевые условия (11) в соответствии с условием (5). Разностная задача (10), (11) распадается на независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному значению , . Разностная краевая задача (10), (11) решается методом прогонки при каждом отдельно. Прогонка осуществляется по индексу , то есть в направлении оси . После того как найдены все неизвестные на промежуточном слое с номером , переносим их в разностном уравнении (9), соответствующем второму полушагу, вправо. Это разностное уравнение переписываем в виде , (12), где известно, и присоединяем к уравнению (12) в соответствии с условием (5), краевые условия . (13) Задача (12), (13) тоже распадается на независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному , . Каждая такая задача решается методом прогонки. Прогонка осуществляется теперь уже по индексу , то есть в направлении оси . ^ 4. Алгоритм решения задачи Дирихле Как уже было замечено выше, будем искать решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами в области Начальные условия – натуральное число, шаг по и по . – начальное приближение. Полагаем Прогонка в направлении оси Решим методом прогонки при каждом фиксированном систему уравнений (10) , где известно. Обозначим , тогда уравнение (10) можно записать в виде: , (10*) где , Прогонка осуществляется при каждом фиксированном . Прямой ход прогонки Вычислим коэффициенты Так как , то получаем После того, как будут вычислены коэффициенты вычислим Так как , то получаем . При получаем Обратный ход прогонки После того как будут найдены все найдём все неизвестные по формуле Таким образом вычисляются в силу граничных условий. Прогонка в направлении оси Решим методом прогонки при каждом фиксированном систему уравнений (12) , где известно из предыдущих вычислений. Обозначим и перепишем систему уравнений (12) в виде: , (12*), где . Прогонка осуществляется при каждом фиксированном . Прямой ход прогонки Вычислим коэффициенты . Так как , то получаем После того, как будут вычислены коэффициенты вычислим Так как , то получаем . При получаем Обратный ход прогонки После того как будут найдены все найдём все неизвестные по формуле Таким образом вычисляются известно из начальных условий.

Похожие:

	Мы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера... ...		Экзамен за I семестр по математике Решение систем линейных уравнений методом полного исключения неизвестных (метод Жордана-Гаусса.)
	Решение систем линейных уравнений методом Крамера Понятие функции одной переменной, способы задания. Элементарные функции и их графики		Решение уравнений и систем уравнений в Excel методом«Поиск решения» Локальные и глобальные сети Принципы построения и основные топологии локальных cетей, прободные и беспроводные сети
	Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...		Решение. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа Кирхгофа, определить токи во всех ветвях, пользуясь любым известным методом расчета электрических цепей постоянного тока. Правильность...
	Решение системы Решить систему методом Жордано Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения		Вопросы для подготовки к экзамену по математике Решение системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса
	Список вопросов по курсу «Вычислительная математика» для групп цнии... Оценка погрешности для метода простых итераций решения уравнений. Геометрическая интерпретация метода		Тема предмет и метод статистики 3 Расчет средней методом отсчета от условного нуля упрощенным способом (методом момента) 26