Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева

^ Порядок выполнения на ЭВМ. Составить подпрограмму-функцию для вычисления значений подынтегральной функции . Составить головную программу и печать результатов. Произвести вычисления на ЭВМ. Варианты заданий. 1. 14. 27. 2. 15. 28. 3. 16. 29. 4. 17. 30. . 5. 18. 6. 19. 7. 20. 8. 21. 9. 22. 10. 23. 11. 24. 12. 25. 13. 26. ^ ЗАДАНИЕ № 4. Тригонометрическая интерполяция Пусть функция задана на отрезке таблицей значений в равностоящих узлах . Тригонометрическим многочленом степени называют многочлен . Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполяционного много члена наименьшей степени, удовлетворяющего условиям . Можно показать, что решением этой задачи является тригонометрический многочлен , (1) коэффициенты, которого вычисляются по следующим формулам: , , (2) . Широкие возможности тригонометрической интерполяции следуют из этого факта, что с возрастанием многочлен аппроксимирует с возрастающей точностью, т.е. , это утверждение справедливо для достаточно широкого класса функций. Этим тригонометрическая интерполяция существенно отличается от алгебраической интерполяции на системе равноотстоящих узлов. При алгебраическом интерполировании разность между функцией и интерполяционном многочленом может быть как угодно большой всюду, кроме узлов интерполяции. Тригонометрическое интерполирование полностью свободно от этого недостатка. Задание. Построить интерполяционный тригонометрический многочлен, аппроксимирующий функцию , заданную таблицей значений в точках . Порядок выполнения на ЭВМ. Составить головную программу. Провести вычисления на ЭВМ. ^ Варианты заданий. Построить интерполяционный тригонометрический многочлен, аппроксимирующий функцию, заданную в точках таблицей значений Вариант 1 1.00; 1.803; 3.085; 4.776; 6.434; 7.347; 7.027; 5.652; 3.897; 2.381; 1.347; 7.422; 0.419; 0.256; 0.176; 0.142; 0.136; 0.155; 0.209; 0.324; 0.554 Вариант 2 7.38; 6.76; 5.22; 3.47; 2.07; 1.16; 0.64; 0.36; 0.23; 0.16; 0.13; 0.13; 0.16; 0.23; 0.37; 0.64; 1.16; 2.08; 3.48; 5.22; 6.76 Вариант 3 –1.24; –1.17; –1.08; –0.96; –0.84; –0.79; –0.8; –0.9; –1.1; –1.21; –1.02; –1.28; –1.32; –1.34: –1.36; –1.37; –1.37; –1.36; –1.35; –1.33; –1.30 Вариант 4 –3.0; –3.58; –4.12; –4.56; –4.86; –4.99; –4.94; –4.73; –4.36; –3.86; –3.30; –2.7; –1.64; –1.26; –1.05; –1.00; –1.13; –1.43; –1.87; –2.43 Вариант 5 1.0; 1.05; 90.6; 520.4; 1714.7; 2915.0; 2439.2; 1020.6; 230.7; 32.17; 3.29; 0.3; 0.03; 0.004; 0.001; 0.0003; 0.0006; 0.002; 0.01; 0.09; 0.9 Вариант 6 2980.1; 2089.3; 742.4; 146.6; 18.6; 1.8; 0.16; 0.02; 0.003; 0.001; 0.001; 0.001; 0.002; 0.003; 0.018; 0.9; 1.22; 18.6; 146.6; 742.5; 2089.7 Вариант 7 1.0; 1.34; 1.75; 2.18; 2.53; 2.71; 2.65; 2.37; 1.97; 1.54; 1.16; 0.86; 0.64; 0.5; 0.42; 0.37; 0.36; 0.39; 0.45; 0.56; 0.74 Вариант 8 2.71; 2.6; 2.28; 1.86; 1.44; 1.07; 0.8; 0.46; 0.42; 0.4; 0.37; 0.37; 0.4; 0.48; 0.6; 1.07; 1.44; 1.86; 2.28; 2.6 Вариант 9 –1.32; –1.28; –1.26; –1.24; 1.25; –1.25; –1.25; –1.26; –1.27; –1.29; –1.29; –1.33; –1.34; –1.37; –1.37; –1.37; –1.37; –1.36; –1.36; –1.35; –1.34 Вариант 10 –4.0; –4.2; –4.5; –4.7; –4.9; –5.0; –4.9; –4.9; –4.8; –4.6; –4.4; –4.1; –3.8; –3.5; –3.1; –3.0; –3.0; –3.0; –3.1; –3.2; –3.4; –3.7 Вариант 11 1.0; 2.4; 5.4; 10.4; 16.3; 19.9; 18.6; 13.4; 7.7; 3.6; 1.6; 0.64; 0.27; 0.13; 0.07; 0.05; 0.05; 0.06; 0.09; 0.18; 0.4 Вариант 12 20.0; 17.5; 11.9; 6.4; 2.9; 1.2; 2.9; 0.5; 0.2; 0.1; 0.06; 0.05; 0.05; 0.06; 0.1; 0.5; 1.0; 1.2; 2.9; 6.4; 11.9; 17.5 Вариант 13 –1.1; –0.8; –0.3; 0.3; 0.7; 0.8; 0.7; 0.5; 0.04; –0.6; –0.9; –1.1; –1.27; –1.32; –1.35; –1.37; –1.37; –1.36; –1.34; –1.3; –1.2 Вариант 14 –2.0; –2.8; –3.7; –4.3; –4.7; –4.9; –4.5; –4.1; –3.3; –2.4; –1.5; –0.6; –0.04; 0.6; 0.92; 0.99; 0.79; 0.34; –0.3; –1.1 Вариант 15 1.1; 3.2; 9.5; 22.8; 41.4; 53.9; 49.4; 31.9; 15.2; 5.7; 1.8; 0.55; 0.17; 0.06; 0.03; 0.02; 0.01; 0.02; 0.04; 0.1; 0.3 Вариант 16 –0.78; –1.22; –1.34; –1.39; –1.42; –1.43; –1.42; –1.41; –1.37; –1.3; –1.1; –0.1; 1.1; 1.2; 1.33; 1.36; 1.37; 1.35; 1.3; 1.17; 0.65 Вариант 17 54.5; 45.7; 27.2; 12.1; 4.3; 1.3; 0.4; 0.13; 0.05; 0.03; 0.02; 0.02; 0.03; 0.05; 0.13; 0.41; 1.3; 4.3; 12.1; 21.2; 45.7 Вариант 18 –0.78; 0.18; 0.89; 1.13; 1.21; 1.18; 1.04; 0.63; –0.38; –1.01; –1.22; –1.3; –1.35; –1.36; –1.37; –1.36; –1.33; –1.27; –1.1 Вариант 19 –1.0; –2.1; 3.2; –4.1; –4.7; –4.9; –4.8; –4.4; –3.7; –2.7; –1.6; –0.4; 0.7; 1.7; 2.4; 2.9; 3.0; 2.7; 2.1; 1.2; 0.2 Вариант 20 1.0; 4.36; 16.7; 49.8; 105.0; 146.3; 130.9; 75.9; 30.0; 8.75; 2.1; 0.47; 0.11; 0.03; 0.01; 0.007; 0.006; 0.009; 0.02; 0.05; 0.2 Вариант 21 148.4; 118.8; 62.6; 22.5; 6.21; 1.45; 0.33; 0.08; 0.02; 0.01; 0.007; 0.007; 0.01; 0.02; 0.08; 0.32; 1.45; 6.2; 22.6; 62.2; 119.0 Вариант 22 0.0; 0.97; 1.23; 1.32; 1.36 1.37; 1.36; 1.34; 1.28; 1.13; 0.64; –0.64; –1.13; –1.28; –1.34; –1.37; –1.36; –1.32; –1.23; –0.9; –0.2 Вариант 23 –0.0001; –1.47; –2.8; –3.9; –4.65; –4.98; –4.87; –4.33; –3.4; –2.16; –0.74; 0.74; 2.17; 3.14; 4.33; 4.87; 4.98; 4.65; 3.9; 2.8; 1.4 Вариант 24 1.0; 5.8; 29.3; 108.9; 266.44 396.7; 347.1; 180.5; 59.2; 13.5; 2.4; 0.4; 0.07; 0.01; 0.005; 0.003; 0.002; 0.004; 0.009; 0.03; 0.1 Вариант 25 403.4; 309.0; 142.2; 42.1; 8.9; 1.56; 0.26; 0.05; 0.01; 0.0044; 0.0026; 0.0026; 0.0044; 0.01; 0.05; 0.263; 1.56; 8.95; 42.1; 142.2; 309.9 Вариант 26 0.78; 1.22; 1.34; 1.39; 1.42; 1.43; 1.42; 1.41; 1.37; 1.3; 1.1; 0.1; –1.1; –1.2; –1.33; –1.36; –1.37; –1.35; –1.3; 1.17; –0.65 Вариант 27 1.0; –0.77; –2.3; –3.6; –4.6; –4.9; –4.8; –4.1; –3.1; –1.6; 0.1; 1.9; 3.6; 5.1; 6.2; 6.84; 6.98; 6.58; 5.69; 4.4; 2.7 Вариант 28 1.0; 7.8; 51.5; 238.1; 675.9; 1075.4; 920.1; 429.3; 110.8; 20.8; 2.83; 0.35; 0.04; 0.01; 0.002; 0.001; 0.001; 0.001; 0.004; 0.02; 0.12 Вариант 29 1.10; 1.32; 1.40; 1.43; 1.45; 1.46; 1.44; 1.42; 1.37; 1.25; 0.76; –0.8; –1.22; –1.33; –1.36; –1.37; –1.35; –1.29; –1.1; –0.1 Вариант 30 2.0; –0.06; –1.9; –3.4; –4.9; –4.8; 4.0; –2.7; –1.1; 0.95; 3.0; 5.0; 6.7; 8.1; 8.8; 8.9; 8.5; 7.47; 5.94; 4.06 ^ ЗАДАНИЕ № 5. Метод простых итераций решения уравнения Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением и построении последовательности , сходящейся при к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций. Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на , причём все её значения. Тогда, если существует число , такое, что на отрезке , то последовательность сходится к единственному на решению уравнения при любом начальном значении , т.е. , , , При этом, если на отрезке производная положительна, то , если отрицательна, то . Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения , вычисляем . Если , полагают и выполняют очередную итерацию. Если же , то вычисления заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину . Погрешность полученного результата зависит от знака производной корень найден с погрешностью , если , то погрешность не превышает . Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций и . Корнем уравнения является абсцисса точки пересечения кривой с прямой (рис. 1). Взяв в качестве начальной произвольную точку , строим ломаную линию (рис.3 а, б). Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно, что если на отрезке , то последовательные приближения колеблются около корня , если же производная положительна, то последовательные приближения сходятся к корню монотонно. При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции в уравнении , эквивалентном исходному. Для метода итераций следует подбирать функцию так, чтобы . При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности к корню тем выше, чем меньше число .

Похожие:

	Мы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера... ...		Экзамен за I семестр по математике Решение систем линейных уравнений методом полного исключения неизвестных (метод Жордана-Гаусса.)
	Решение систем линейных уравнений методом Крамера Понятие функции одной переменной, способы задания. Элементарные функции и их графики		Решение уравнений и систем уравнений в Excel методом«Поиск решения» Локальные и глобальные сети Принципы построения и основные топологии локальных cетей, прободные и беспроводные сети
	Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...		Решение. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа Кирхгофа, определить токи во всех ветвях, пользуясь любым известным методом расчета электрических цепей постоянного тока. Правильность...
	Решение системы Решить систему методом Жордано Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения		Вопросы для подготовки к экзамену по математике Решение системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса
	Список вопросов по курсу «Вычислительная математика» для групп цнии... Оценка погрешности для метода простых итераций решения уравнений. Геометрическая интерпретация метода		Тема предмет и метод статистики 3 Расчет средней методом отсчета от условного нуля упрощенным способом (методом момента) 26