Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева

^ Метод решения Разностную задачу (5) будем решать явным итерационным методом с чебышевским набором параметров, который выражается следующей формулой: , (10) где , -заданное число итераций, . (11) Алгоритм Задаём количество итераций, например, , полагаем , тогда шаг сетки =0,1. По формулам (9), (11) вычисляем , . Вычисляем и по формулам (11). Полагая по формуле (10) находим . Этап 4 повторяем, полагая Итерационный процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях по циклам. Оформление результатов. Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последние итерации и значения точного решения на сетке. ^ ЗАДАНИЕ № 11. Решение задачи Неймана для уравнения Пуассона методом скорейшего спуска 1. Постановка задачи Явным методом Чебышева требуется приближенно решить однородную задачу Неймана для уравнения Пуассона в квадрате , которая состоит в следующем: найти функцию , удовлетворяющую уравнению Пуассона и краевым условиям , (1) , (2) где – граница квадрата , – внешняя нормаль к . Функция, удовлетворяющая краевым условиям (2) . Вычислим . Возьмём по определению в качестве правой части уравнения (1) . ^ 2. Теоретическая часть Для аппроксимации производной в граничных условиях (2) используем формулы второго порядка точности через центральные разности. Для этого вводим дополнительные точки за пределами сеточной области . Получаем: (3) . На расширенной сетке аппроксимируем задачу (1), (2) в виде , . Пользуясь соотношениями (3), дополнительные неизвестные исключаем. Тогда получим , , , , (4) , , , Обозначим через пространство функций , заданных на сетке со скалярным произведением Сеточную функцию будем рассматривать как вектор с координатами . В пространстве определим оператор , который сеточной функции с координатами сопоставляет сеточную функцию с координатами , где определяется левыми частями уравнений (4). То есть Таким образом, краевая задача (1), (2) аппроксимируется операторным уравнением , (5) где – сеточная функция, . Заметим, что оператор симметрический и однородное уравнение (6) имеет нетривиальные решения на сетке , кроме того, любое решение (6) есть на . Обозначим подпространство сеточных функций из , ортогональных (например ортогональных к на ). Такую функцию будем обозначать . принадлежит тогда и только тогда, когда . Заметим, что принадлежит при любом из . Действительно, поскольку , то . Отсюда следует, что уравнение (5) имеет решение тогда и только тогда, когда принадлежит и любое решение определено с точностью до на . Условимся выбирать решение уравнения (5) принадлежащее . Если какое-то решение (5), то принадлежит , где , а – сеточная функция, равная на всех точках сетки. Действительно , поэтому . Уравнение (5) на подпространстве невырожденное и , где – наибольшее собственное значение оператора , – наименьшее неравное нулю собственное значение. Если для решения уравнения (5) мы воспользуемся итерационным процессом, то нужно следить, чтобы итерации не выходили из . Этого легко добиться при использовании явного итерационного процесса В этом случае (7) Откуда следует, что если . Заметим здесь, что если для решения задачи (5) потребуется большое число итераций, то, в силу накопления погрешностей может выходить из , поэтому следует через некоторое количество итераций подправлять , то есть заменять на . (8) 3. Алгоритм 1) Задаём , начальное приближение 2) Вычисляем параметры по формуле 3) Вычисляем по формуле (7). 4) Через 10 итераций подправляем по формуле (8). 5) Вычисление проверить до совпадения первых четырех знаков в последних итерациях. ^ 4. Оформление результатов. Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последовательные итерации с совпадением первых четырех знаков и значение точного решения на сетке. ^ ЗАДАНИЕ № 12. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом переменных направлений 1. Постановка задачи 1) Методом переменных направлений решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона (1) , (2) в области , где – граница квадрата . Пусть , (3) тогда – точное решение задачи (1), (2). Написать программы для реализации метода переменных направлений на любом языке программирования. Оценить точность решения задачи. ^ 2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона Пусть – замкнутый квадрат, – его граница, – заданная на достаточно гладкая функция. Задача Дирихле состоит в следующем: требуется найти непрерывную на функцию , удовлетворяющую на открытом квадрате уравнению Пуассона (1) и обращается в 0 на границе квадрата. Задача Дирихле (1), (2) имеет единственное решение . Положим , . Построим сетки , , ( – множество узлов, лежащих на ). Заменим исходную дифференциальную задачу (1), (2) разностной задачей (4) на . (5) Введём обозначения: , (6) , (7) . Таким образом, наше уравнение (4) можно переписать в виде . (4*)

Похожие:

	Мы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера... ...		Экзамен за I семестр по математике Решение систем линейных уравнений методом полного исключения неизвестных (метод Жордана-Гаусса.)
	Решение систем линейных уравнений методом Крамера Понятие функции одной переменной, способы задания. Элементарные функции и их графики		Решение уравнений и систем уравнений в Excel методом«Поиск решения» Локальные и глобальные сети Принципы построения и основные топологии локальных cетей, прободные и беспроводные сети
	Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...		Решение. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа Кирхгофа, определить токи во всех ветвях, пользуясь любым известным методом расчета электрических цепей постоянного тока. Правильность...
	Решение системы Решить систему методом Жордано Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения		Вопросы для подготовки к экзамену по математике Решение системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса
	Список вопросов по курсу «Вычислительная математика» для групп цнии... Оценка погрешности для метода простых итераций решения уравнений. Геометрическая интерпретация метода		Тема предмет и метод статистики 3 Расчет средней методом отсчета от условного нуля упрощенным способом (методом момента) 26