Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева

^ 3. Метод переменных направлений для уравнения Пуассона Сопоставим задачу (1), (2) с родственной её нестационарной задачей о распространении тепла. Пусть То есть – множество граничных точек прямоугольного параллелепипеда , не принадлежащих , – заданная на достаточно гладкая функция. Требуется найти непрерывную на функцию , удовлетворяющую на уравнению теплопроводности , (8) и кроме того, подчиняющуюся на дополнительному условию на . (9) Условие (9) включает в себя как начальное условие при , так и однородные краевые условия первого рода. Смешанная задача (8), (9) имеет единственное решение . В задаче (8), (9) источник тепла и температура на границе не зависят от времени . Естественно ожидать поэтому, что при будет выполнятся соотношение , откуда , поэтому можно предположить, что для достаточно больших значений , например для , будет с необходимой точностью верно приближённое равенство. Здесь положена в основу идея о стабилизации при решения уравнения теплопроводности к решению уравнения Пуассона, если не зависит от , т.е. . На этой закономерности основана идея метода решения стационарных задач, состоящая в замене их подходящими нестационарными задачами. Этот метод и ряд его модификаций принято называть методом установления. Запишем для задачи (8), (9) простейшую двухслойную разностную схему на и двухслойную разностную схему переменных направлений или дробных шагов , (10) , (11) . В разностной схеме (10), (11) шаг по времени делится на два полушага. Разностное уравнение (10) отвечает первому полушагу, в нём величины и считаются уже известными (в частности, ), а неизвестные имеют верхний индекс . Правая часть задана. Перепишем разностное уравнение (10), предварительно умножив его на , следующим образом: , (12) где известно, и присоединим к разностному уравнению краевые условия , (13) в соответствии с условием (9). Разностная задача (12), (13) распадается на независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному значению , . Разностная краевая задача (12), (13) решается методом прогонки при каждом отдельно. Прогонка осуществляется по индексу , то есть в направлении оси . После того как найдены все неизвестные на промежуточном слое с номером , переносим их в разностном уравнении (11), соответствующем второму полушагу, вправо. Это разностное уравнение переписываем в виде , (14) где известно, и присоединяем к уравнению (14) в соответствии с условием (9) краевые условия , . (15) Задача (14), (15) тоже не распадается на независимых трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному . Каждая такая задача решается методом прогонки. Прогонка осуществляется теперь уже по индексу , то есть в направлении оси . Метод прогонки Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений следующего специального вида: , , где – неизвестные, – заданные числа, причём . Решение ищем по формуле , (*) где . (**) Таким образом, коэффициенты уравнений (*), связывающих соседние значения можно определить из рекуррентных соотношений (**), поскольку , заданы. Находим неизвестную по формуле (***) и в обратном порядке находим все неизвестные . Процесс вычисления коэффициентов по формулам (**) называется прямым ходом прогонки, а нахождение неизвестных , по формулам (***), (*) – обратным ходом прогонки. ^ 5. Алгоритм решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона Как уже было замечено выше, будем искать решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области начальные условия – натуральное число, шаг по и по . – начальное приближение. Полагаем 2) Прогонка в направлении оси Решим методом прогонки при каждом фиксированном систему уравнений (12) , где известно, . Перепишем уравнение (12) в виде: , (12*) где . При получаем (12*), где Прогонка осуществляется при каждом фиксированном . Прямой ход прогонки Вычислим коэффициенты . Так как , то получаем и далее . После того, как будут вычислены коэффициенты , вычислим . Так как , то получаем . При получаем Обратный ход прогонки После того как будут найдены все найдём все неизвестные по формуле . Таким образом, вычисляются из начальных условий. При получаем Прогонка в направлении оси . Решим методом прогонки при каждом фиксированном систему уравнений (14) , (14) где известно из предыдущих вычислений, , в силу граничных условий. Перепишем систему уравнений (14) в виде: , (14*) где , При получаем , где Прогонка осуществляется при каждом фиксированном . Прямой ход прогонки Вычисляем коэффициенты Так как , то получаем После этого, как будут вычислены коэффициенты вычислим . Так как , то получаем . При получаем , . Обратный ход прогонки После того как будут найдены все найдём все неизвестные по формуле . Таким образом вычисляются известно из краевых условий. При получаем

Похожие:

	Мы уже научились находить решение системы уравнений методом Крамера... ...		Экзамен за I семестр по математике Решение систем линейных уравнений методом полного исключения неизвестных (метод Жордана-Гаусса.)
	Решение систем линейных уравнений методом Крамера Понятие функции одной переменной, способы задания. Элементарные функции и их графики		Решение уравнений и систем уравнений в Excel методом«Поиск решения» Локальные и глобальные сети Принципы построения и основные топологии локальных cетей, прободные и беспроводные сети
	Математические модели в форме систем линейных алгебраических уравнений и методы их решения Некоторые физические системы могут быть адекватно описаны математической моделью в виде системы линейных алгебраических уравнений...		Решение. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа Кирхгофа, определить токи во всех ветвях, пользуясь любым известным методом расчета электрических цепей постоянного тока. Правильность...
	Решение системы Решить систему методом Жордано Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения		Вопросы для подготовки к экзамену по математике Решение системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса
	Список вопросов по курсу «Вычислительная математика» для групп цнии... Оценка погрешности для метода простых итераций решения уравнений. Геометрическая интерпретация метода		Тема предмет и метод статистики 3 Расчет средней методом отсчета от условного нуля упрощенным способом (методом момента) 26