Лекция №8




Скачать 86.81 Kb.
НазваниеЛекция №8
Дата публикации04.09.2013
Размер86.81 Kb.
ТипЛекция
zadocs.ru > Информатика > Лекция
Лекция № 8
Средства Matlab для исследования функций.

    1. Файл-функции с одним входным аргументом.

    2. Решение произвольных уравнений.

    3. Монотонность функции.

    4. Наибольшее и наименьшее значение функции.

    5. Выпуклость и вогнутость графика функции.

    6. Асимптоты графика функции.


Качественный анализ функции является основным этапом в исследовании функции. Он заключается в общем представление о характере поведения функции в зависимости от её аргумента. Качественный анализ функций даёт основания для более подробного количественного анализа. Здесь вычисляют значения аргумента, при которых значения функции обращаются в нуль или принимают экстремальные значения. Анализируют характер поведения функции на , вычисляют асимптоты и пределы, устанавливают разрывы и другие особенности.
Файл-функции с одним входным аргументом

Если в вычислениях часто необходимо использовать некоторую функцию у = f(х), то имеет смысл один раз написать файл-функцию, а потом вызывать его по мере необходимости. Для этого необходимо открыть в редакторе М-файлов новый файл и набрать текст

function f= myfun(x)

f=sin(x)-x.^2.*cos(x); % используем поэлементные операции

Слово function в первой строке определяет, что данный файл содержит файл-функцию. Первая строка является заголовком функции, в который размещается имя функции и списки входных и выходных аргументов. В примере, имя функции myfun, один входной аргумент-x и один выходной f. После заголовка следует тело функции( оно в данном примере состоит из одной строки), где и вычисляется её значение. Важно, что вычисленное значение записывается в f. Не забудьте поставить точку с запятой для предотвращения вывода лишней информации на экран.

Теперь сохраните файл в рабочем каталоге. Обратите внимание, что выбор пункта Save или Save as меню File приводит к появлению диалогового окна сохранения файла, в поле File name которого уже содержится название myfun. Не изменяйте его!

Теперь созданную функцию можно использовать так же, как и встроенные.

Для построения графика функции можно использовать функции plot, ezplot(‘myfun’,[x1 x2]), fplot(‘myfun’,[x1 x2]). Функция fplot более точно строит график.
Решение произвольных уравнений

Решение алгебраических и транцендентных уравнений в среде Matlab осуществляется с помощью встроенных функций: solve( ), fzero( ), roots( ).

solve (‘f(x)’, x)

‘f(x)’ – решаемое уравнение, взятое в одиночные кавычки;

x – искомое неизвестное.

Недостаток функции: не требует информации о начальном значении корня или области его изоляции. Поэтому не находит всех корней уравнения.

fzero (‘f(x)’, x), fzero (‘f(x)’, [x1, x2]), fzero (‘f(x)’, x, tol, trace) или fzero (‘myfun’, x)

‘f(x)’ – решаемое уравнение, взятое в одиночные кавычки;

x – начальное приближение (значение) искомого корня;

[x1, x2] – область изоляции корня;

tol – заданная погрешность вычисления корня (по умолчанию точность eps, т. е. 2,22…·10-16)

trace – значение корня в каждой итерации.

Недостаток функции: не определяет комплексные корни уравнения.

С учётом этих особенностей системы Matlab технология решения алгебраических и транцендентных уравнений состоит в выполнении следующих процедур:

1. определение области изоляции корня графоаналитическим методом;

2. определение вещественных корней уравнения с помощью функции fzero( ) при заданных значениях погрешности tol;

3. определение комплексных корней уравнения с помощью функции solve (‘f(x)’, x).

Пример 1: найти корни уравнения

function f= myfun(x)

f=log(4-2.*x)+x.^2-2;

Сохраняем файл под именем myfun

>>ezplot('myfun')

>>grid on

Геометрически наличие корня свидетельствует о том, что график пересекает или касается оси ОХ



Из рисунка видно, что областями изоляции корней могут быть [-1;0], [1;1.5], [1.5;1.99].

При х=2 функция не существует.

Программа определения корней и результаты решения задачи будут иметь вид:

>> X1=fzero('myfun',[-1,0]);

>> X2=fzero('myfun',[1,1.5]);

>> X3=fzero('myfun',[1.5,1.99]);

>> X=[X1,X2,X3]

X = -0.5945 1.2774 1.9001

Решая уравнения с помощью функции solve получаем один корень

solve('log(4-2*x)+x^2-2=0')

ans =1.2774

Функция roots(z) служит для вычисления корней многочлена, где z – вектор коэффициентов многочлена.

Пример 2: найти корни уравнения

. Программа вычисления корней будет иметь вид:

>>z=[1 2 0 -1];

>> y=roots(z)

y =

-1.6180

-1.0000

0.6180

Функция roots(z) не позволяет получить решение, если коэффициенты многочлена заданы в виде символьных переменных.
Функция polyval предназначена для вычисления значения полинома от некоторого аргумента:

>>polyval(z,1)

ans = 2

Признаки монотонности.

Определение возрастающей, убывающей функции:

Теорема 1. Если дифференцируемая функция у = f(х) на отрезке [a,b] возрастает, то её производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. y´ ≥ 0.

Теорема 2. Если производная на отрезке [a,b] положительна, то функция на этом отрезке возрастает.

Определение. Точка из области определения функции называется критической, если производная в этой точке равна нулю или не существует.

Схема нахождения интервалов монотонности:

  1. Найти область определения функции.

  2. Найти производную.

  3. Найти критические точки.

  4. На числовой оси области определения функции отметить полученные точки, а также точки разрыва функции.

  5. Найти знаки производной в каждом интервале, концами которых служат отмеченные точки или концы интервалов области определения.

  6. Там, где производная больше нуля - функция возрастает, где меньше - убывает.

Пример 4: исследовать на монотонность

Функция составлена из непрерывных элементарных функций – непрерывна на всей числовой оси

function f=myfun(x) % создаём m-функцию

f=x.*exp(-x.^2);

>> ezplot('myfun') % строим график функции

>> grid on



>> fpr=diff(myfun(x),x)

fpr = exp(-x^2)-2*x^2*exp(-x^2)

>>solve('exp(-x^2)-2*x^2*exp(-x^2)')

ans =

[ 1/2*2^(1/2)]

[ -1/2*2^(1/2)]

>> 1/2*2^(1/2)

ans =

0.7071

>> -1/2*2^(1/2)

ans =

-0.7071 % критические точки x1=0.7071; x2=-0.7071;

>> subs(fpr,x,-2)

ans = -0.1282 % f’(x)<0 – функция убывает

>>subs(fpr,x,0)

ans = 1 % f’(x)>0 – функция возрастает

>> subs(fpr,x,2)

ans = -0.1282 % f’(x)<0 – функция убывает
Экстремумы функции.

Теорема. Если функция имеет экстремум в точке С и существует производная в этой точке, то она равна нулю.

Замечание: Обратная теорема неверна, то есть, если f ´(c) = 0, то отсюда не следует, что в точке х = с экстремум.

^ Теорема. Первый достаточный признак экстремума. Если функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х1, дифференцируема (кроме, может быть, в самой точке) и при переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке имеется максимум, если производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке минимум.

Схема нахождения экстремума функции:

1. Найти область определения функции.

  1. Найти производную.

  2. Найти критические точки.

  3. На числовой оси области определения функции отметить полученные точки, а также точки разрыва функции.

  4. Найти знаки производной в каждом интервале, концами которых служат отмеченные точки или концы интервалов области определения.

  5. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с – на + , то в этой точке max, иначе min.

  6. Вычисляем экстремальные значения функции.

Минимизация функции

Поиск локального минимума функции одной переменной на некотором отрезке осуществляется с помощью функции:

fmin(‘fun’,),

fmin(‘fun’, x1, x2, options),

fmin(‘fun’, x1, x2, options, p1,…,p10).

‘fun’ – взятая в одиночные кавычки функция, минимум которой вычисляется;

x1, x2 – область значений аргумента, в которой находится минимум функции;

options – вектор, содержащий компоненты управления процессом решения задачи: options(1) – вывод значений промежуточных итераций, …, options(14) – задание числа итераций( по умолчанию 500)

Пример 3: для примера 1 найти минимум функции

>> fmin('myfun',-1,1)

ans = 0.2929

Вычислить минимум функции можно с помощью функции

[х, fval,exitflag,putput] = fminbnd(‘fun’, x1, x2, options, p1, p2,…)

>>Х = fminbnd('myfun',-1,1)

Х = 0.2929

Для одновременного вычисления значения функции в точке минимума следует вызвать fminbnd с двумя аргументами:

>> [x,f]=fminbnd('myfun',1,1.95)

x = 1.9500

f = -0.5001

Для нахождения локального максимума нет специальной функции, очевидно, что следует искать минимум функции с обратным знаком.

fminbnd('-(log(4-2.*x)+x.^2-2)',1,1.95)

ans = 1.7071

Пример 5: В примере 4 вычислить экстремумы функции

>>x1=0.7071;x2=-0.7071;

>> y1=subs(myfun(x),x,x1)

y1 = 0.4289

>> y2=subs(myfun(x),x,x2)

y2 = -0.4289

или

[x,f]=fminbnd('myfun',-1,-0.5)

x = -0.7071

f = -0.4289

[x,f]=fminbnd('-myfun(x)',0.5,1)

x = 0.7071

f = -0.4289 % значение функции получено со знаком «-»
Теорема. Второй достаточный признак экстремума. Если в точке х1 первая производная равна нулю, и вторая производная непрерывна в окрестности этой точки и f ´´( х1) > 0, то точка х1 является точкой минимума, если f ´´( х1) < 0, то точкой максимума.

Схема нахождения экстремума функции будет иметь вид:

1. Найти область определения функции.

  1. Найти производные y´ и у´´.

  2. Найти корни производной.

  3. Найти знак второй производной в найденных точках.

  4. Если вторая производная в точке положительна, то в этой точке имеется минимум, иначе максимум.

Пример 6: по второму достаточному признаку найти экстремумы функции .

Второй достаточный признак не даёт ответа об экстремумах функции.

Пример 7: Найти экстремумы функции

diff(x^2+4*x+6)

ans =2*x+4

>> solve('2*x+4')

ans =-2

>> subs(diff(x^2+4*x+6,x,2),x,-2)

ans = 2

subs(x^2+4*x+6,x,2)

ans = 18

Ответ: (2,18) – минимум функции.
Наибольшие и наименьшие значения функции.

Наибольшие и наименьшие значения функции могут быть либо в точках экстремума, либо на концах заданного интервала.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значения функции:

  1. Найти критические точки, принадлежащие заданному отрезку.

  2. Вычислить значение функции в этих точках и на концах интервала.

  3. Из найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.



Выпуклость и вогнутость графика функции.

Определение. Кривая называется выпуклой вверх на отрезке [a,b] , если все её точки лежат ниже любой касательной, проведенной в произвольной точке этого отрезка. Если точки кривой выше касательной, то кривая называется выпуклой вниз.

Теорема. Если во всех точках интервала (a,b) вторая производная отрицательная, то график функции у = f(х) на этом интервале выпуклый.
Точки перегиба графика функции.

Определение. Точка, отделяющая интервал выпуклости графика функции от интервала вогнутости, называется точкой перегиба.

Теорема. Если f ´´( х0) = 0 или не существует, и при переходе через точку и х0 вторая производная меняет знак, то в этой точке имеется перегиб.

Схема нахождения вогнутости и выгнутости графика функции и точек перегиба.

1. Найти область определения функции.

2. Найти вторую производную у´´.

3. Выяснить, в каких точках у´´= 0 или не существует.

4. Разить область определения функции на интервалы, концами которых являются найденные точки и точки разрыва функции.

5. Выяснить знак второй производной в каждом интервале.

6. В тех интервалах, где у´´> 0 график вогнут, где у´´< 0 – выпуклый.
Асимптоты графика функции.

Определение. Прямая называется асимптотой к графику функции у = f(х), если расстояние от точки, лежащей на кривой, до этой прямой, при удалении точки вдоль кривой в бесконечность стремиться к нулю.

Различают два вида асимптот: вертикальные и наклонные. В первом случае асимптота перпендикулярна оси ОХ, во втором она образует некоторый угол с осью ОХ, не равный π/2.

Схема нахождения вертикальных асимптот:

  1. Находим точки разрыва функции.

  2. Для каждой точки разрыва находим предел f(х) при х, стремящемся к точке разрыва слева и справа.

  3. Если хотя бы один пределов (левый или правый) для некоторой точки равен бесконечности, то в этой точке вертикальная асимптота

Наклонная асимптота:

Замечание: При нахождении наклонных асимптот необходимо рассматривать при Если хотя бы один из пределов для не существует, то наклонных асимптот нет.

Пример: вычислить экстремумы функции, асимптоты и построить функцию

syms x

>> num=(8*x^2-2*x-9);denom=(3*x^2-2*x-5);

>> y=num/denom;

>> lim1=limit(y,inf) 8/3

>> lim2=limit(y,-inf) 8/3

>> roots=solve(denom) 5/3 -1

>> g=diff(y);d=simplify(g) d =-2*(5*x^2+13*x+4)/(3*x^2-2*x-5)^2

>> xm=solve(d);

>> ym=subs(y,xm);

>> xm=vpa(xm,4),ym=vpa(ym,4)

xm =

[ -.3566]

[ -2.243]

ym =

[ 1.861]

[ 2.451]

Результатом этих вычислений является :горизонтальная асимптота: у=8/3, две вертикальных асимтоты х=5/3 и х=-1, производная функции, координаты двух точек экстремума.

>> ezplot(y)

>> grid,hold on

>> plot(double(xm),double(ym),'ro')

>> text(-2.4,2.2,'x m 1')

>> text(-0.7,2.2,'x m 2')

>> plot([-2*pi 2*pi],[8/3 8/3],'k--','LineWidth',1.5)

>> plot(double(roots(1))*[1 1],[-1 6],'k--','Linewidth',1.5)

>> plot(double(roots(2))*[1 1],[-1 6],'k--','Linewidth',1.5)

>> axis([-4,5 1 4])







Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекция №8 iconКурс лекций (под редакцией профессора В. Ф. Беркова) 2-е издание...
Авторский коллектив: Н. С. Щекин (лекция 8); Г. И. Касперович (лекция 9); В. Ф. Берков (лекция 10); И. Г. Подпорин (лекция 11); В....

Лекция №8 iconЛекция I и проблема языка и сознания лекция II 31 слово и его семантическое...
Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного...

Лекция №8 iconЛекция I и проблема языка и сознания лекция II 31 слово и его семантическое...
Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного...

Лекция №8 iconМетодические рекомендации вводная лекция введение в курс лекция 2
Лекция 15. Финансирование государственной службы. Контроль и надзор за соблюдением законодательства о государственной службе

Лекция №8 iconЛекция религии современных неписьменных народов: человек и его мир...
Редактор Т. Липкина Художник Л. Чинёное Корректор Г. Казакова Компьютерная верстка М. Егоровой

Лекция №8 iconЛекция I. Предмет, система и основные понятия
Лекция II. Судебная власть и правосудие

Лекция №8 iconЛекция 5
Лекция Государственное регулирование внешнеэкономической деятельности: сущность, методы (тарифные и нетарифные)

Лекция №8 iconЛекция роль государства и права в жизни общества 2 часа 8 Лекция...
Лекция основные правовые системы современности. Международное право как особая система права – 2 часа 65

Лекция №8 iconЛекция Эстетика как философская наука
Лекция Модернизм и постмодернизм в искусстве и эстетической теории ХХ века

Лекция №8 iconЛекция №1 Курс «Метрология и стандартизация»
Введение. Предмет дисциплины. Краткие сведения из истории метрологии и стандартизации (Лекция №1)

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов