Интегрирование на некомпактном промежутке




Скачать 201.12 Kb.
НазваниеИнтегрирование на некомпактном промежутке
страница1/4
Дата публикации11.02.2014
Размер201.12 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Информатика > Документы
  1   2   3   4
ГЛАВА 10. НЕСОБСТВЕННЫЕ (ОБОБЩЕННЫЕ) ИНТЕГРАЛЫ

(Интегрирование на некомпактном промежутке)
Ранее был рассмотрен определенный интеграл, необходимым условием существования которого являлось условие ограниченности подынтегральной функции на отрезке . При этом подразумевалось, что отрезок интегрирования конечный, или как его называют компактный. Такие интегралы в противоположность тем, которые будут рассматриваться в этом разделе, иногда, называют собственными.

df.1 Компактным промежутком будем называть -ой сегмент .

df.2 Пусть - полуинтервал числовой прямой , причем ” в ” может быть , символами , а функция интегрируема на сегменте .

df.3 Пусть f(x) – определена на промежутке и f(x), тогда предел

(1)

называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке , если этот предел и конечен.

Очевидно возможны 2 частных случая:

1) Интеграл с бесконечным верхним пределом:

, .

2) Интеграл от неограниченной функции:

, в=const в этом случае

Заметим, что если (ограничена), тогда получаем обычный интеграл Римана. В силу непрерывности функции на (т.е. ), т.е.



df.4 Пусть f(z) определена на промежутке . () и . Тогда предел

(2)

называется несобственным интегралом от функции f(x) на , если предел и конечен.

Опять возможны два случая:

  1. с бесконечным нижним пределом:



  1. интеграл от неограниченной функции:

, здесь .

df.5 Пусть f(x) определена , что -ют несобственные интегралы , то по df: .

df:
ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что в этом определении значение

н. и. не зависит от выбора (.) ”c”.

Заметим также, что последнее определение эквивалентно следующему определению:

df:

т.е. здесь рассматривается предел функции двух переменных ”yz”. Т.е. при вычислении предела стремятся к независимо.

df.6 f(x) определена на за исключением конечного числа точек и н.и. -ет (i=1,2,..., n). Тогда н. и. от f(x) на назовем:

df:
По определению полагаем геометрический смысл н. и. – площадь соответствующих «бесконечных» криволинейных трапеций.


y df.3 y df.3

f(x) f(x)–неограни

f(x) ченная вU(в)
0 a x 0 a в x
y y

df.4 df.4

f(x) f(x) – неограни-

f(x) ченная в U(a)

0 в x 0 a’ a в x

y y

df.5 df.5

f(x) f(x) неогра-

f(x) ниченная в

U(а)U(в)

0 x a 0 в x
Если соответствующие пределы в определениях 3, 4 5 -ют и конечны, то говорят, что функция f(x) интегрируема в несобственном смысле ( и т.д.), а интеграл – сходится. В противном случае интеграл – расходится.

Можно показать, что свойства интегралов из df. 3 4 аналогичны, а интегралы вида 5 6 сводятся к ним.

Поэтому в дальнейшем изложении в основном ограничимся несобственными интегралами типа (1), т.е. df. 3
§ 10.2 СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
Многие из них (однако, не все) аналогичны свойствам определенного интеграла.
. Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть f(x)и F(x)- первообразная f(x) на , тогда :



При этом под F(в) понимается:

или
Доказательство:

Т. к. , то по формуле Ньютона – Лейбница на :




2. Линейность.

Пусть : и

(1)

Доказательство:

Из сходимости :

.

Переходим в последнем равенстве к пределу при или , т.к. пределы в правой части, то пределы левой части равенство (1).
3. Интегрирование неравенств.

Пусть и , тогда .

4. Интегрирование по частям.

Пусть:

1.

2. Пара из трех функций интегрируема на интегрируема и третья пара и справедливо неравенство:

- (1)

При этом входящие в (1) выражения понимаются в несобственном смысле.

(Свойства 3 и 4 доказать самостоятельно).
5. Замена переменной в Н. И.

Пусть:

1. .

2. .

3. , .

Тогда , причем оба интеграла сходятся или расходятся одновременно. (Без доказательства).

Отметим, что, используя свойство 5, можно показать, что всегда от интеграла с бесконечным пределом можно перейти к интегралу от неограниченной функции и наоборот.

Пусть, например, . Сделаем замену ;



при x=a, t=0;

при x=в-0, t=;



, тогда .

Поэтому далее в основном будем рассматривать интегралы вида:

.
6. Аддитивность Н. И.

(от латинского additivus – прибавляемый, свойство величин).

Пусть , тогда и .

Доказательство:

Пусть:

=(предел слева предел справа) =.
  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Интегрирование на некомпактном промежутке iconЭкзаменационные вопросы по математическому анализу для 1 курса рфф
Формула интегрирования по частям. Интегрирование элементарных рациональных дробей. Интегрирова- ние рациональных функций. Метод рационализующих...

Интегрирование на некомпактном промежутке icon«Интегрирование лнду с правой частью вида»

Интегрирование на некомпактном промежутке iconПредварительный список вопросов по 2 семестру!
Интегрирование выражений. Обосновать, как корень преобразуется в триг выраж

Интегрирование на некомпактном промежутке iconФранцузские дети не плюются едой
Эта команда, которую дают родители детям во Франции, означает, что ребенок вполне способен подождать желаемого и в промежутке может...

Интегрирование на некомпактном промежутке iconПамела Друкерман Французские дети не плюются едой
Эта команда, которую дают родители детям во Франции, означает, что ребенок вполне способен подождать желаемого и в промежутке может...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов