Исследование решений системы




НазваниеИсследование решений системы
страница1/6
Дата публикации03.07.2013
Размер0.86 Mb.
ТипИсследование
zadocs.ru > Математика > Исследование
  1   2   3   4   5   6

1 Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными


 

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Основные  методы решения: подстановка, сложение или вычитание.

Определители второго порядка. Правило Крамера.

Исследование решений системы уравнений.

 

 

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид: 

 



 

где  a,  b,  c,  d,  e,  f – заданные числа;  x,  y – неизвестные. Числа   a,  b,  d,  e   коэффициенты при неизвестных; c, f  свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными  методами.

Метод подстановки. 

1)  Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например  x, через коэффициенты и другое неизвестное  y:

                                                 x = ( c – by ) / a .                             (2)

2)  Подставляем во второе уравнение вместо x :

                                           d ( c  by ) / a + ey = f .

3)  Решая последнее уравнение, находим  y :

                                                  y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).

4)  Подставляем это значение вместо y  в выражение (2) :

                                                 x = ( ce  bf ) / ( ae  bd ) .

П р и м е р .  Решить систему уравнений:

                                                   

                      Из первого уравнения выразим  х  через коэффициенты и  y :

 

                                                            x = ( 2y + 4 ) / 3 .

 

                      Подставляем это выражение во второе уравнение и находим  y :

 

                                                       ( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 ,  откуда   y = 1 .

                                

                      Теперь находим  х, подставляя найденное значение вместо   в

                      выражение для  х x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда   x = 2 .

 

 Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.            

1)  Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на  (– d ), а обе части 2-го уравнения на  а  и складываем их:

                                          

    Отсюда получаем: y = ( af  cd ) / ( ae  bd ).  

2)  Подставляем найденное для  y  значение в любое уравнение системы (1):  

                                 ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.

3)  Находим другое неизвестное:   x = ( ce  bf ) / ( ae  bd ).

 

 

П р и м е р .  Решить систему уравнений:

                                            

                      методом сложения или вычитания.            

                      Умножаем первое уравнение на  –1, второе – на 3 и складываем их:

                                               

                      отсюда  y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение

                      (а в первое можно?):  3x + 9 = 15, отсюда  x = 2.

 

Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

 

                                                          x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) ,

                                                                                                                       (3)                    

                                                          y = ( af – cd ) / ( ae – bd ) .

         

Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:

             ,  который будет обозначать выражение:  ps  qr 

Это выражение получается перекрёстным умножением чисел  p, q, r, s :



и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps  qr. Знак « + » берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак  « – » - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,

                                                        
Выражение      называется определителем второго порядка.

Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):



Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

 П р и м е р .  Решить систему уравнений

                                      

                        используя правило Крамера.

Р е ш е н и е .  Здесь   a = 1,  b = 1,  c = 12,  d = 2,  e = 3,   f = 14 .

                       

Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентовуравнений возможны три различных случая:

 

1)  коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:   a : d  b : e ,

в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);

2)  все коэффициенты уравнений пропорциональны:   a : d = b : e = c : f ,

в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одноуравнение вместо двух.

П р и м е р .  В системе уравнений

                                                

                       

                          

                       и эта система уравнений имеет бесконечное множество решений. 

                       Разделив первое уравнение на 2, а второе – на 3, мы получим два

                       одинаковых уравнения:

                                                                  

                       т.е. фактически одно уравнение с двумя неизвестными, у которого

                       бесконечное множество решений.

 

3)  коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членамa: d = b: e  c: f

в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.

П р и м е р .  В системе уравнений 

                      

                      но отношение свободных членов  7 / 12  не равно 1 / 3.

                      Почему эта система не имеет решений? Ответ очень простой.

                      Разделив второе уравнение на 3, мы получим:

                                                             

                      Уравнения этой системы противоречивы, потому что одно и то

                      же выражение  2x – 3 не может быть одновременно равно и 7, и 4.

 

2 Совместные и несовместные системы

это система в которой найдя одно неизвестное из любого уравнения.... подставляют его в другое... получается выражение оставшегося неизвестного через другое.... подставляется в третье уравнение...находиться второе неизвестное.... ну и потом логическим путем третье

Пример 1

Решить систему линейных уравнений


Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных, то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить.

Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:



(1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1.

(2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5.

(3) После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3.

(4) К третьей строке прибавляем вторую строку.

Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: . Ясно, что так быть не может. Действительно, перепишем полученную матрицу   обратно в систему линейных уравнений: 

Если в результате элементарных преобразований получена строка вида , где  – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений).

Как записать концовку задания? Необходимо записать фразу «в результате элементарных преобразований получена строка вида , где » и дать ответ: система не имеет решений (несовместна).

Обратите внимание, что нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса, решений нет и находить попросту нечего.
3 Определители матриц, способ № 1:

Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:











Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых ai j = bj + cj (j=), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.

Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки



Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки



Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.

Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Найдем определитель третьего порядка, раскладывая его по элементам, например, третьего столбца



Пример.



Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Получается, что определитель n - го порядка мы найдем через определители (n -1) - го порядка.

4

5^ ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:



Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,



называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов



Тогда можно доказать следующий результат.

^ Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём



Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:



Сложим эти уравнения:



Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:



Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что 

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства  и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений



Итак, х=1, у=2, z=3.

  1. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p: 

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

. Поэтому .



    1. При 

    2. При p = 30 получаем систему уравнений  которая не имеет решений.

    3. При p = –30 система принимает вид  и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yR.

^ МЕТОД ГАУССА

6

7 Однородная система уравнений



8

9

Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром.

(Масса тела, объем, время и т.д.)

Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором.

Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB.

Определение 4. Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым, обозначается .

Определение 5. Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными.

Определение 6. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю.

10

Умножение вектора на число.

Опр. 10. Произведением вектора   на скаляр k называется вектор

 k = k,

имеющий длину ka, и направление, которого:

1.     совпадает с направлением вектора , если k > 0;

2.     противоположно направлению вектора , если k < 0;

3.     произвольно, если k = 0.

Свойства умножения вектора на число.

1о. (k + l) = k + l.

 k( + ) = k + k.

2o. k(l) = (kl).

3o. 1 = , (–1)  = – , 0  = .

11

Свойства векторов.

Опр. 11. Два вектора  и  называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор  коллинеарен любому вектору.

Теорема 1. Два ненулевых вектора   и коллинеарны,  когда они пропорциональны т.е.

 kk – скаляр.

Опр. 12. Три вектора  называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

12

1) Сложение векторов.

Опр. 6. Суммой двух векторов  и  является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения(правило параллелограмма).



 Рис.1. 

Опр. 7. Суммой трех векторов  называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Опр. 8. Если АВС – произвольные точки, то  +  =  (правило треугольника).

 

 рис.2 

 Свойства сложения.

1о +  =  +  (переместительный закон).

2о.  + ( + ) = ( + ) +  = ( + ) +  (сочетательный закон).

3о.  + (–) + .

2) Вычитание векторов.

Опр. 9. Под разностью векторов  и понимают вектор  =  –  такой, что  +  = .

В параллелограмме – это другая диагональ СД (см.рис.1).

13

Линейная комбинация векторов 

     Линейной комбинацией векторов  называют вектор

     

14
  1   2   3   4   5   6

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Исследование решений системы iconИсследование математической модели нелинейной нестационарной системы
Цель работы – построение и исследование математической модели нелинейной нестационарной системы

Исследование решений системы iconПрограмма курса Численный анализ (методы решения оду) В. П. Ильин...
Определения и классификация задач Коши. Автономные и линейные оду, системы с переменными и постоянными коэффициентами. Редукция систем...

Исследование решений системы iconПоиск и принятие правильных управленческих решений концепция
Принятие решений – сквозная управленческая функция. Руководитель любого уровня вовлечен в принятие решений. Причем, чем выше по положению...

Исследование решений системы iconКомплекс стандартов на автоматизированные системы. Техническое задание...
АС) для автоматизации различных видов деятельности (управление, проектирование, исследование и т п.), включая их сочетания, и устанавливает...

Исследование решений системы iconКорпоративные информационные системы
Выберите наиболее точное определение корпоративной информационной системы (кис): кис – это информационная система масштаба предприятия,...

Исследование решений системы iconИсследование генезиса и «духа»
Зарождение и развитие меркантилизма как системы взглядов на экономическую политику

Исследование решений системы icon— совокупность управляющей системы, прикладного программного обеспечения,...
Для принятия управленческих решений, выполнения контрольной функции управления, в социально-экономическом прогнозировании и т д используются...

Исследование решений системы iconВ зависимости от вида письменных работ отчеты системы «Антиплагиат»...
Настоящий регламент устанавливает порядок использования системы «Антиплагиат» для проверки и оценки письменных работ студентов бакалавриата,...

Исследование решений системы icon4. Исследование проблем терминологии и формирование системы экономических...
За определение закономерностей становления и эволюции экономической мысли отвечает

Исследование решений системы iconВ какой модели жизненного цикла реализуемость технических решений...
Алгоритм конструирования дерева решений *не требует от пользователя выбора входных атрибутов

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов