Лекция №11 полые резонаторы




Скачать 173.1 Kb.
НазваниеЛекция №11 полые резонаторы
Дата публикации05.07.2013
Размер173.1 Kb.
ТипЛекция
zadocs.ru > Математика > Лекция





ЛЕКЦИЯ № 11

ПОЛЫЕ РЕЗОНАТОРЫ

Основное отличие полого резонатора от волновода, работающего в режиме бегущей волны, заключается в характере граничных условий. Электромагнитное поле, создаваемое внутри резонатора ограничено со всех сторон металлическими стенками и в результате интерференции волн при многократных отражениях от стенок в полом резонаторе устанавливается стоячая волна.

Построение теории полых резонаторов требует нахождение корней волнового уравнения при граничных условиях, определяемых формой и геометрическими размерами резонатора.

Будем полагать, что проводимость стенок бесконечно велика, следовательно, исходные уравнения можно записать в виде:





При анализе будем полагать, что проводимость стенок резонатора является бесконечно большой и следовательно тангенциальная составляющая электрического поля на поверхности стенок резонатора равна нулю.

С практической точки зрения основной интерес представляют полые резонаторы и такие комбинации поля в них, которые в некотором сечении в пределах заданного диапазона частот сходны по своим свойствам с простыми колебательными контурами.

Из соображений удобства расчетов подобных систем целесообразно представить любой сколь угодно сложный полый резонатор в виде эквивалентного колебательного контура с сосредоточенными постоянными. При этом введение эквивалентной схемы полого резонатора не снимает вопроса о расчете конкретных типов полей резонаторов методами теории поля.

Основными параметрами контуров с сосредоточенными постоянными являются индуктивность ^ L, емкость C и активное сопротивление R.

Поскольку в технике СВЧ доступно измерение полных сопротивлений и проводимостей, а также измерение длины волны или частоты, то основными параметрами полых резонаторов принято полагать:

  1. Резонансную длину волны или резонансную круговую частоту .

  2. Активную проводимость G, являющуюся мерой активных потерь в резонаторе.

  3. Собственная добротность , которую можно определить через активную и реактивную проводимости резонатора.

Эти параметры могут полностью заменить собой параметры контуров с сосредоточенными постоянными. Варианты эквивалентных схем полого резонатора представлены на рис. 1.


Рис. 1. Варианты эквивалентной схемы полого резонатора
При анализе используется, как правило, схема из параллельно включенных активной проводимости G и реактивной проводимости jB.

^ СОБСТВЕННАЯ ДОБРОТНОСТЬ РЕЗОНАТОРОВ

Допустим, что уравнения поля решены и найдены электрические и магнитные поля внутри рассматриваемого резонатора.

Существует общее энергетическое соотношение, которое связывает добротность, как с реактивной энергией , накопленной в системе в режиме установившихся колебаний, так и энергией рассеянной в системе за один период колебаний Т.

, (1)

так как

- резонансная круговая частота резонатора.

Энергия, накопленная внутри резонатора, постоянна и равна сумме энергий электрического и магнитного полей. Выберем момент, когда магнитное поле проходит через максимум и, следовательно, электрическое поле в резонаторе равно нулю. В этом случае накопленная энергия выражается через амплитуду напряженности магнитного поля в виде:
, (2)

где - объема резонатора;

- относительная магнитная проницаемость диэлектрика, наполняющего резонатор.

Среднее за период значение мощности тепловых потерь (Джоулевые потери в стенках резонатора) определяется путем интегрирования по всей внутренней поверхности S стенок резонатора:

(3)

где:

(4)

сопротивление единицы поверхности стенок;

удельная проводимость материала стенок;

глубина проникновения поля в стенку.

Если мы определили из волновых уравнений , то вместо модуля амплитуды поверхностной плотности тока в стенках резонатора можно подставить модуль тангенциальной составляющей высокочастотного магнитного поля у стенок резонатора.
Выразим активную проводимость стенок через толщину поверхностного слоя частоту колебаний электромагнитного поля

(5)

В этом случае, полная энергия, рассеянная в резонаторе за один период, равна:

, (6)

где:

- относительная магнитная проницаемость материала стенок резонатора.

Подставим эти соотношения в определение собственной добротности резонатора:
(7)

Если , то уравнение (7) имеет вид для вакуумного или воздушного наполнения резонатора при условии, что стенки резонатора не обладают магнитными свойствами:

(8)

Для качественной иллюстрации, положим, что вариации поля внутри резонатора отсутствуют, т.е. , тогда уравнение (8) приобретает вид:

(9)

Поскольку линейные размеры резонаторов пропорциональны длине волны, то можно полагать, что , тогда уравнение (9) приобретает вид:

(10)

Таким образом, зная длину волны, можно определить добротность резонатора.

Практически (для меди) величина собственной добротности резонаторов в СВЧ – диапазоне имеет порядок: .
^ АКТИВНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛЫХ РЕЗОНАТОРОВ

Для вычисления эквивалентной активной проводимости резонатора можно воспользоваться очевидным соотношением, связывающим рассеиваемую мощность с амплитудой напряжения, приложенного к входным зажимам параллельного контура с сосредоточенными постоянными:

(11)

В случае обычного колебательного контура

(12)

Вычислять мощность потерь мы уже научились. Необходимо найти амплитуду приложенного напряжения.

Задаваясь двумя фиксированными точками а и б на внутренней поверхности резонатора всегда можно найти в фиксированный момент времени линейный интеграл электрического поля по выбранному пути, который соединяет эти точки. Этот линейный интеграл может быть использован в качестве эквивалента напряжения для определения активной проводимости.

, (13)

где: - амплитуда вектора напряженности электрического поля.

Используя последнее выражение и выражение для мощности потерь, можно записать:

(14)

Таким образом, величина активной проводимости резонатора зависит от выбора точек отсчета, в отличие от собственной добротности, которая инвариантна для каждого резонатора.

Типичная величина активной проводимости полых резонаторов составляет .
Выражение собственной добротности резонатора через его активную и реактивную проводимости.
Полная накопленная энергия в параллельном колебательном контуре (рис.1б) может быть представлена в виде:

(15)

С другой стороны энергия, рассеянная за период колебаний имеет вид:

, (16)

в этих уравнениях ^ С – сосредоточенная емкость контура, а G – сосредоточенная активная проводимость. Подставим эти уравнения в выражение для определения собственной добротности:

(17)

Для того чтобы воспользоваться этой формулой для расчета резонаторов, необходимо исключить емкость, не имеющую реального физического смысла в распределенных системах.

Выразим емкость ^ С через реактивную проводимость jB.

Рассмотрим изменение полной проводимости параллельного контура Y вблизи резонансной частоты .

(18)

или

, (19)

где

(20)

С учетом выражения (20)

, (21)

Если частота вынужденных колебаний незначительно отличается от резонансной частоты, то есть , то

(22)

Следовательно, уравнение (21) приобретает вид
(23)
Найдем производную

, (24)

откуда следует, что

(25)

Величина собственной добротности, согласно выражению (17) приобретает вид:

(26)

или

(27)
На рис.2 показано изменение активной и реактивной проводимости параллельного контура вблизи резонанса.


Рис.2. Изменение активной и реактивной проводимости параллельного контура вблизи резонансной частоты и резонансной длины волны.
Реактивная проводимость изменяется по линейному закону. Чем выше собственная добротность, тем выше наклон прямых. Активная проводимость в определенном интервале частот является величиной постоянной.

Критерии эквивалентности реального полого резонатора параллельному резонансному контуру:

  1. Линейная зависимость реактивной проводимости рассматриваемого устройства от частоты в некотором интервале частот с положительной производной .

  2. Наличие в этом интервале частот перехода реактивной проводимости через нуль.

  3. Постоянство активной проводимости в том же интервале частот.


^ НАГРУЖЕННАЯ И ВНЕШНЯЯ ДОБРОТНОСТИ РЕЗОНАТОРА

Обычно полые резонаторы на практике применяются с нагрузками. Схема индуктивной связи контура с нагрузками показана на рис. 3.

Рис. 3. Связь параллельного резонансного контура с двумя нагрузками.

Рассмотрим уравнение добротности применительно к контуру, связанному с нагрузками.

В этом случае, рассеяние энергии происходит не только в самом контуре, но и в нагрузках. Полная рассеиваемая энергия может быть записана в виде:

(28)

Добротность контура с учетом всех присоединенных нагрузок называется нагруженной добротностью .

(29)

Найдем обратную величину:
(30)

Первое слагаемое в правой части последнего выражения соответствует обратной величине добротности изолированного резонатора, т.е. собственной добротности. Второе слагаемое также имеет размерность добротности. Поэтому по аналогии с величинами собственной и нагруженной добротности вводят несколько искусственное понятие внешней или вносимой добротности :

(31)

Внешняя добротность определяется как отношение энергии накопленной в самом резонаторе к энергии, рассеянной в нагрузке за период высокочастотных колебаний.

(32)

Общие выражения нагруженной и внешней добротностей полых резонаторов могут быть представлены по аналогии в виде:

(33)

(34)

где - суммарная активная проводимость нагрузок, приведенная к той же плоскости, относительно которой определена активная проводимость резонатора .

При энергия, рассеиваемая в нагрузках равна энергии рассеиваемой внутри самого резонатора. Такой режим связи называется критическим.

Если , то энергия передаваемая из резонатора в нагрузки, превышает энергию, рассеиваемую в резонаторе. Такой режим связи называется режимом “пересвязи”.

Если , то суммарная энергия, рассеиваемая в нагрузках, становится меньше энергии теряемой в резонаторе. Такой режим связи называется режимом “недосвязи”.
^ ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ПОЛЫХ РЕЗОНАТОРОВ

Основные типы резонаторов можно разделить на три группы:

  1. Резонаторы, сводящиеся к отрезкам коаксиальных линий, возбужденных на волне типа ТЕМ.

  2. Резонаторы, которые можно рассматривать как отрезки однородных волноводов (прямоугольного и круглого поперечного сечения).

  3. Резонаторы квазистационарного типа, имеющие явно выраженные емкость и индуктивность.


^ РЕЗОНАТОРЫ КОАКСИАЛЬНОГО ТИПА

Полые резонаторы коаксиального типа представлены на рис. 4.

Рис. 4. Полые резонаторы коаксиального типа:

а – четвертьволновый резонатор,

б – полуволновый резонатор,

в - резонатор, нагруженный на емкость,

г - резонатор, нагруженный на две емкости.
Полые резонаторы можно трактовать как отрезки однородной коаксиальной линии, открытые или закороченные на концах либо содержащие сосредоточенные емкости.

Эквивалентная схема таких резонаторов показана на рис. 5.



Рис. 5. Эквивалентная схема резонаторов коаксиального типа.
Отрезок однородной коаксиальной линии на эквивалентной схеме представлен в виде двухпроводной линии, на концах которой включены комплексные сопротивления и .

Обозначим через и углы, на которые напряжение отраженной волны отстает от напряжения падающей волны при отражении от нагрузок и . Пусть - геометрическая длина однородной линии.

Фазовая постоянная имеет вид .

Волна, распространяющаяся направо от плоскости А-А приходит в плоскость Б-Б со сдвигом фазы

При отражении от сопротивления фаза отстает на величину .

Волна приходящая справа в плоскость А-А, имеет сдвиг фазы, равный

.

После отражения от отставание волны по фазе составляет .

Условием резонанса является синфазное сложение волн в любом сечении линии. То есть полный сдвиг по фазе должен быть кратен .
(35)

- целое число.

Введем величину - резонансную длину волны резонатора, которую можно найти с помощью выражения (35). Для этого рассечем мысленно резонатор в произвольном сечении В-В и рассмотрим полные входные проводимости каждой из частей и , то есть реактивные входные проводимости каждой из частей резонатора.

В соответствии с критериями аппроксимации полого резонатора параллельным колебательным контуром при можно записать:

(36)

Это общий подход.
^ Четвертьволновый резонатор

Резонатор состоит из металлического цилиндра, по оси которого расположен круглый металлический стержень. В одном осевом направлении резонатор ограничен металлическим диском, контактирующим, как с наружным, так и с внутренним проводником. Другой конец резонатора открыт в окружающее пространство.

Короткозамкнутому концу резонатора соответствует фаза отражения волны , для открытого конца , тогда уравнение (35) имеет вид:

, (37)


Полагая для волны типа ТЕМ, что

(38)

Уравнение (37) приобретает вид:
(39)

Если длина резонатора задана, то резонансную длину волны можно получить из соотношения;

(40)

Если задана , то можно найти длину резонатора:

(41)

Такие же уравнения можно получить из рассмотрения входной проводимости резонатора. Выберем плоскость отсчета В-В – открытый конец резонатора.

, (42)

- характеристическое сопротивление коаксиальной линии.

Если , то . Отсюда и название – четвертьволновый резонатор.

На рис. 6 показана структура и эпюры поля в четвертьволновом коаксиальном резонаторе при виде .


Рис. 6. Структура и эпюры поля в четвертьволновом коаксиальном резонаторе при виде .
Полуволновый резонатор

Этот резонатор может мыслиться как комбинация двух четвертьволновых резонаторов, соединенных открытыми концами.

Условие резонанса может быть записано при условии, что

(43)

Откуда

(44)

Можно записать

(45)

где:

Число определяет вид колебаний, то есть количество полуволн, укладывающихся при резонансе вдоль оси резонатора.

Структура и эпюры высокочастотного поля, тока и напряжения в полуволновом резонаторе при низшем виде колебаний показаны на рис. 7.

Рис. 7. Структура и эпюры высокочастотного поля, тока и напряжения в полуволновом резонаторе при низшем виде колебаний.
По оси резонатора укладывается одна полуволна, отсюда и название резонатора.
^ Резонатор типа коаксиальной линии, нагруженный на емкость.

Резонатор сходный по конструкции с полуволновым резонатором, но отличающийся тем, что имеется зазор между крышкой и торцом внутреннего проводника.

Структура поля в резонаторе типа коаксиальной линии, нагруженной на емкость, при низшем виде колебаний показана на рис. 8.


Рис. 8. Структура поля в резонаторе типа коаксиальной линии, нагруженной на емкость, при низшем виде колебаний.
Эквивалентная схема резонатора типа коаксиальной линии, нагруженной на емкость показана на рис. 9.



Рис. 9. Эквивалентная схема резонатора типа коаксиальной линии, нагруженной на емкость
Рассекая резонатор на две части, можно приравнять нулю сумму реактивных проводимостей конденсатора и отрезка длинной линии в точках аб.

(46)

С - сосредоточенная емкость на конце резонатора;

- скорость света.

Если - задано, то пересечение двух графиков

и

Можно определить резонансные частоты.

Область использования коаксиальных резонаторов – резонансные волномеры.

^ ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ ПОЛЫЕ РЕЗОНАТОРЫ

На рис. 10 показаны призматический и цилиндрический полые резонаторы.



Рис. 10. Призматический и цилиндрический полые резонаторы.
Полагая, что - длина волновода, и размеры широкой и узкой стенок поперечного сечения волновода, то условие резонанса (35) имеет вид:

, (47)

где

Призматический резонатор – волноводный резонатор полуволнового типа.

Используя соотношение:

(48)

Получаем с учетом уравнения (47) выражение для резонансной длины волны в резонаторе:

(49)

Подставим в уравнение (49) выражение для критической длины волны прямоугольного волновода:

(50)

В призматическом резонаторе возможны резонансы видов или и или

Индекс соответствует числу полуволн, укладывающихся по длине резонатора.

На рис. 11 показаны структура и эпюры поля в призматическом резонаторе при виде колебаний .


Рис. 11. Структура и эпюры поля в призматическом резонаторе при виде колебаний .

Собственная добротность резонатора на волне типа достаточно высока и составляет 10.

Пусть резонатор имеет кубическую форму , тогда

(51)

Оценка величины собственной добротности для резонатора, выполненного из меди для , получаем: При этих значениях . Большую роль играет для достижения высокой собственной добротности резонатора - обработка стенок резонатора.
^ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОЛЫЕ РЕЗОНАТОРЫ

Расчет однородного цилиндрического резонатора может быть проведен аналогичным путем, как и расчет призматического резонатора.

Резонансные длины волн определяются из условий (47) и (49). В выражение (49) следует подставить выражения для критических длин волн типов ТЕ и ТМ в круглом волноводе.

Для волн типа Е можно записать:

, (52)

- радиус цилиндра,

- высота цилиндра,

- - й корень бесселевой функции первого рода -го порядка.

- числа, определяющие вариацию поля по азимуту, радиусу и высоте резонатора.

Резонансная длина волны для вида колебаний определяется соотношением:

(53)

При , резонансная длина волны равна:

(54)

Структура и эпюры поля и токов в стенках цилиндрического резонатора при виде колебаний показаны на рис. 12.

Рис. 12. Структура и эпюры поля и токов в стенках цилиндрического резонатора при виде колебаний .
Собственная добротность для рассматриваемого вида колебаний имеет вид:

, (55)



Для медного резонатора, при условии: и .

Другие виды резонаторов: тороидальные резонаторы и кольцевые резонаторы бегущей волны. Эти типы резонаторов используются в электронных приборах, например в магнетронах и клистронах.

На рис. 13 и рис. 14 показаны эти типы резонаторов.



Рис. 13. Возбуждение колебаний в полом резонаторе с помощью модулированного по плотности электронного потока.


Рис. 14. Свернутый в кольцо многорезонаторный магнетронный блок – кольцевой резонатор типа бегущей волны.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекция №11 полые резонаторы iconКурс лекций (под редакцией профессора В. Ф. Беркова) 2-е издание...
Авторский коллектив: Н. С. Щекин (лекция 8); Г. И. Касперович (лекция 9); В. Ф. Берков (лекция 10); И. Г. Подпорин (лекция 11); В....

Лекция №11 полые резонаторы iconЛекция I и проблема языка и сознания лекция II 31 слово и его семантическое...
Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного...

Лекция №11 полые резонаторы iconЛекция I и проблема языка и сознания лекция II 31 слово и его семантическое...
Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного...

Лекция №11 полые резонаторы iconМетодические рекомендации вводная лекция введение в курс лекция 2
Лекция 15. Финансирование государственной службы. Контроль и надзор за соблюдением законодательства о государственной службе

Лекция №11 полые резонаторы iconЛекция религии современных неписьменных народов: человек и его мир...
Редактор Т. Липкина Художник Л. Чинёное Корректор Г. Казакова Компьютерная верстка М. Егоровой

Лекция №11 полые резонаторы iconЛекция I. Предмет, система и основные понятия
Лекция II. Судебная власть и правосудие

Лекция №11 полые резонаторы iconЛекция 5
Лекция Государственное регулирование внешнеэкономической деятельности: сущность, методы (тарифные и нетарифные)

Лекция №11 полые резонаторы iconЛекция роль государства и права в жизни общества 2 часа 8 Лекция...
Лекция основные правовые системы современности. Международное право как особая система права – 2 часа 65

Лекция №11 полые резонаторы iconЛекция Эстетика как философская наука
Лекция Модернизм и постмодернизм в искусстве и эстетической теории ХХ века

Лекция №11 полые резонаторы iconЛекция №1 Курс «Метрология и стандартизация»
Введение. Предмет дисциплины. Краткие сведения из истории метрологии и стандартизации (Лекция №1)

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов