Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей»




Скачать 159.13 Kb.
НазваниеВопрос №2: «Определители. Вычисление определителей»
Дата публикации07.07.2013
Размер159.13 Kb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
Вопрос №1: «Матрицы и алгебра матриц».

Матрицы и многомерные векторы. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая n строк и m столбцов.

Виды матриц.

Две матрицы называются равными, если их соответствующие элементы равны.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (n=m), то матрица называется квадратной.

Матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали равны 0, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной.

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.

Если в квадратной матрице все элементы стоящие ниже (выше) главной диагонали равны 0, то она называется верхний (нижний) треугольник.

Если в матрице А строки записать столбцами с теми же номерами, то полученная матрица будет называться транспонированной к матрице А.

Если матрица А равна транспонированной, то она называется симметричной.

Действия над матрицами:

1) Умножение матрицы на число. В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число. Мы получим одинаковый результат, умножая число на матрицу, или матрицу на число. Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

2) Сложение и вычитание матриц. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности. Суммой (разностью) двух матриц называется матрица той же размерности, что и исходные, каждый элемент которой определяется как сумма (разность) соответствующих элементов матриц. Очевидно, результат сложения не изменится, если слагаемые матрицы поменять местами. Если к матрице прибавить или от нее отнять нулевую матрицу той же размерности, то получим исходную матрицу.

3) Умножение матрицы на матрицу. Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя. Иными словами, перемножать можно те матрицы, у которых совпадают средние индексы. Крайние индексы определяют размерность получаемого результата.

^ Свойства операций над матрицами.

1) В общем случае . Если то матрицы А и В называются перестановочными по отношению друг к другу.

2) Ассоциативность;

3) Дистрибутивность;

4) При умножении любой квадратной матрицы на единичную первоначальная матрица не меняется .

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей».

Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства. Если квадратная матрица имеет определитель, отличный от нуля (Δ ≠ 0), то говорят, что матрица невырожденная, в противном случае - матрица вырожденная или особая.

Определителем квадратной матрицы 2-го порядка, называется число равное разности произведений элементов главной и побочной диагонали матрицы.

Определителем квадратной матрицы 3-го порядка, называется число равное:

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.


Вопрос №3: «Свойства определителей».

Свойства определителей:

1) Если строка (столбец) матрицы состоит из 0, то ее определитель равен 0.

2) Если все элементы, какой либо строки (столбца) матрицы умножить на одно и тоже число, то и ее определитель умножится на это же число.

3) При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

4) При перестановки, каких либо двух строк (столбцов) матрицы знак матрицы меняется на противоположный. Доказательство вытекает из того, что при перестановке одной транспозиции четность инверсии меняется.

5) Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен 0.

6) Сумма произведений элементов, какой либо строки (столбца) на алгебраические дополнения какой либо строки (столбца) равно 0.

7) Если элементы, какой либо строки (столбца) равны сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме указанных, те же что и в исходном определителе, а рассматриваемая k-строка (столбец) в первом определителе содержит первые слагаемые, во втором вторые.

8) Определитель матрицы не изменится если к элементам какой либо строки (столбца) прибавить элемент какой либо строки (столбца) предварительно умноженные на одно и то же число.

Вопрос №4: «Обратная матрица и её вычисление».

Обратная матрица. Матрицей, обратной матрице А, называется матрица A-1 такая, что A-1A = A A-1 = E.

Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.

Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠ 0 ). Это условие является и достаточным для существования A-1 матрице А. Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.

Сформулируем правило нахождения обратной матрицы на примере матрицы А.

1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠ 0, то матрица A-1 существует.

2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А. Т.е. в матрице В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij элемента aij исходной матрицы.

3. Транспонируем матрицу В и получим BT.

^ Теорема существования и единственности обратной матрицы. Для квадратной матрицы А существует и при том единственная обратная матрица А-1 тогда и только тогда, когда эта матрица не вырождена.


Вопрос №5: «Системы линейных уравнений, их решение матричная запись».

Системы линейных уравнений. Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные в первой степени и не содержит их произведений.

^ Запись в матричной форме.

- система линейных уравнений.

Обозначим, - матрица коэффициентов, - вектор неизвестных,

- вектор свободных членов. Amn Xn1 + Bm1 = 0 - матричная запись системы уравнений.

Если система уравнений имеет решение, она называется совместной, не имеет – несовместной. Совместная система, имеющая одно решение, называется определенной, если много – неопределенной. Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если каждое решение является решением уравнения системы или наоборот.
Вопрос №6: «Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы». Матричным методом могут быть решены только те системы, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля (матрица А невырожденная). Из этих условий следует, что и, следовательно, система совместна и определена. Решение системы можно получить так: . Используя свойства произведения матриц и свойство обратной матрицы . Т.е., для получения столбца неизвестных нужно обратную матрицу матрицы коэффициентов системы умножить на столбец свободных членов.

Пример. Решить систему матричным методом. Решение. Найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы .

Вычислим определитель, раскладывая по первой строке: . Поскольку Δ ≠ 0, то A-1 существует.

Обратная матрица найдена верно.

Найдем решение системы .

Следовательно, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.

Матричный метод годится для решения любых систем, у которых матрица А квадратная и невырожденная.

^ Вопрос №7: «Теорема Крамера, формулы Крамера».

Пусть Δ = |A| определитель матричной системы n линейных уравнений с n неизвестных, а Δj определитель матрицы, полученный из матричной системы заменой j-того столбца на столбец правых частей. Тогда если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, определенное по формулам.


^ Вопрос №8: «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса».

Решение и исследование систем линейных уравнений методом Гаусса. Этот метод решения систем линейных уравнений пригоден для решения систем с любым числом уравнений и неизвестных.

Суть метода Гаусса заключается в преобразовании заданной системы уравнений с помощью элементарных преобразований в эквивалентную систему ступенчатого треугольного вида.

Полученная система содержит все неизвестные в первом уравнении. Во втором уравнении отсутствует первое неизвестное, в третьем уравнении отсутствуют первое и второе неизвестные и т. д.

Если система совместна и определена (единственное решение), то последнее уравнение содержит одно неизвестное. Найдя последнее неизвестное, из предыдущего уравнения находим еще одно - предпоследнее. Подставляя полученные величины неизвестных, мы последовательно найдем решение системы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений, используемыми для приведения системы к треугольному виду, являются следующие преобразования:

- перестановка местами двух уравнений;

- умножение обеих частей одного из уравнений на любое число, отличное от нуля;

- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему линейных алгебраических уравнений в эквивалентную систему.

Две системы называются эквивалентными, если всякое решение первой системы является решением другой системы и наоборот.

^ Вопрос №9: «Понятие вектора. Сложение векторов, умножение вектора на скаляр».

Векторы на плоскости и в пространстве. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

^ Векторы и линейные операции над ними. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой двух векторов a и b называется вектор c, направленный из начала вектора a в конец вектора b при условии, что начало b совпадет с концом вектора a. Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника: чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

^ Вопрос №10: «Декартова и полярная система координат на плоскости».

Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.

Системы координат на плоскости.

Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.1). О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).
Системы координат в пространстве.

Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.4). О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, Оz - ось аппликат , - базисные векторы. Oxy, Oxz, Oyz - координатные плоскости, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно плоскости Оyz), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно плоскости Oxz), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oz параллельно плоскости Oxy).
^ Полярные координаты на плоскости. О - полюс, Ox - полярная ось, - полярный радиус, - полярный угол. Главные значения и : (иногда ).

Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные:



Выражение полярных координат через декартовы прямоугольные:


Вопрос 11: «Цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве».


Сферические и цилиндрические координаты в пространстве.

Цилиндрические координаты. Главные значения , , :

Связь между декартовыми прямоугольными и цилиндрическими координатами:

Сферические координаты. Главные значения , , θ:

Иногда вместо θ рассматривают :

^ Вопрос №12: «Скалярное произведение векторов и его свойства».

Скалярное произведение и его свойства.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. Из определения следует где φ - угол между векторами.

В зависимости от значения угла между векторами, проекция может принимать отрицательные, положительные или нулевые значения.

Свойства скалярного произведения.




^ Вопрос №13: «Векторное произведение векторов и его свойства».

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , определяемый следующим образом:

1) длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. где φ - угол между векторами и ;

2) вектор перпендикулярен векторам и ;

3) векторы после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения


Вопрос №14: «Смешанное произведение векторов и его свойства».

Смешанным произведением трех векторов называется число

Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Свойства смешанного произведения:









^ Вопрос №15: Двойное векторное произведение».
Вопрос №16: «Уравнение прямой с угловым коэффициентом».







^ Вопрос №17: «Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k1 = k2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
^ Вопрос №18: «Общее уравнение прямой».

Вопрос №19: «Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости».


^ Вопрос №20: «Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей».


^ Вопрос №21: «Канонические уравнения прямой в пространстве».

Вопрос №22: «Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.


^ Вопрос №23: «Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве».


Вопрос №24: « Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве».



^ Вопрос №25: «Угол между прямой и плоскостью».



Вопрос №26: «Каноническое уравнение эллипса. Исследование формы эллипса».




Вопрос №27: «Каноническое уравнение гиперболы. Исследование формы гиперболы».


^ Вопрос №28: «Каноническое уравнение параболы. Исследование формы параболы».




^ Вопрос №29: «Общее уравнение линии второго порядка. Понятие типа линии второго порядка».



Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии.

В простейшем случае, при В = 0, тип кривой можно определить, выделив полные квадраты переменных.

^ Вопрос №30: «Числовые последовательности и операции над ними, ограниченные и неограниченные последовательности».



^ Вопрос №31: «Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, основные свойства бесконечно малых последовательностей».
Вопрос №32: «Сходящиеся последовательности: предел последовательности, основные свойства сходящихся последовательностей».
^ Вопрос №33: «Монотонные последовательности, число е».
Вопрос №34: «Определение функции. Способы задания функций».









Вопрос №35: «Предел функции. Односторонние пределы. Свойства пределов. Два замечательных предела».

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.








^ Вопрос №36: «Непрерывность и разрывы и функций».
Вопрос №37: «Обратные функции».

Пусть X и Y – некоторые множества и пусть задана функция f, т.е. множество пар чисел (x;y) (x ϵ X; y ϵ Y), в котором каждое число x входит в одну и только одну пару, а каждое число y – по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа x и y поменять местами, то получим множество пар чисел (y;x), которое называется обратной функцией φ к функции f.
^ Вопрос №38: «Сложные функции».

Если на некотором множестве X определена функция z = φ(x) со множеством значений Z, а на множестве Z – функций y = f [φ(x)] называется сложной функцией от x [или суперпозицией (иногда композицией) функций φ(x) и f(z)], а переменная z – промежуточной переменной сложной функции.
^ Вопрос №39: «Производная. Ее физический и геометрический смысл».






^ Вопрос №40: «Правила дифференцирования».




Вопросы 41: «Производные от элементарных функций. Таблица производных».


Вопрос №42: «Дифференциал. Определение и геометрический смысл».






Вопрос №43: «Производные и дифференциалы высших порядков».








Вопрос №44: «Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя».



Вопрос №45: «Формулы Тейлора и Маклорена».





Вопрос №46: «Разложение в ряд Маклорена элементарных функций, вычисление числа е».




Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей» iconВопросы к экзамену по высшей математике (1семестр) рт
Начальные сведения о системах линейных уравнений и определителях. Определители 2-го и 3-го порядков. Минор, алгебраическое дополнение....

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей» icon2. 1 Вопросы для самоконтроля к разделу: Матрицы. Операции над матрицами
Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителя. Теорема Лапласа. Свойства определителей

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей» iconВычисление объема средствами
Многолетний опыт работы в гис mapInfo Professional доказал правильный выбор системы, как наиболее доступной, простой и многофункциональной...

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей» iconФизические основы механики
Равномерное движение, вычисление пройденного пути при равномерном движении. Равноускоренное движение, вычисление пройденного пути,...

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей» iconВопросы к экзамену по курсу «Линейная алгебра» для групп 511, 512, 513
Определители. Основные свойства. Формула полного разложения. Формулировка теоремы Лапласа

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей» icon1: Матрицы и определители
Определение Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу,...

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей» iconЗадача №1
Вычисление ориентирно- соединительной съемки через один вертикальный ствол способом соединительных треугольников

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей» iconПрактическая работа №1: Выполнение приближённых вычислений
Практическая работа №3: Решение систем уравнений с помощью определителей второго и третьего порядка

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей» iconМатематика список экзаменационных вопросов
Вычисление определенных интегралов методом замены переменной, формула интегрирования по частям

Вопрос №2: «Определители. Вычисление определителей» iconИ содержание лекции
Определение, свойства. Сведение двойного интеграла к повторному, замена переменных в двойном интеграле, переход к полярным координатам....

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов