Скачать 279.97 Kb.
|
Московский авиационный институт (технический университет) ИНЖЭКИН КУРСОВАЯ РАБОТА по математическому анализу Выполнил: студент группы 05-109 Трофимова Елена Михайловна Проверил: доцент кафедры 805 Волкова Т.Б. Ст. преподаватель каф. 805 Колесниченко Т.В. Ст. преподаватель каф. 805 Кондратьева Л.А. Ст. преподаватель каф. 805 Федорова Н.М. Оценка: Москва 2011 Оглавление.
10 стр.
^ 1. Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса Пусть в производстве товаров участвуют три отрасли. Конечный спрос на продукцию i-й отрасли равен fi условным единицам. Коэффициенты прямых затрат aij равны объему продукции i-й отрасли, необходимой для производства единицы продукции j-й отрасли. Значения коэффициентов прямых затрат аij и конечный спрос fi на продукцию каждой отрасли приведены в соответствующей таблице:
Требуется: 1) определить, в каком объеме нужно выпускать продукцию для удовлетворения спроса, решив систему линейных уравнений (Е - А) • X = Р методом Гаусса; 2) исследовать, как изменится выпуск продукции, решая уравнение X = (Е – А)-1 • F1 как матричное, если спрос на вторую продукцию увеличится на (N+ 3 0 ) % ; 3 ) исследовать, как изменится выпуск продукции, решая уравнение X = (Е - А)-1 • F2 как матричное, если спрос на вторую продукцию уменьшится на ( п + 1 0 ) % , п - номер по списку, N - номер группы (однозначное или двузначное число). ^ задач Найти объем продукции, произведенной за период [0;Т], если функция Кобба- Дугласа имеет вид α=n∙N,ß=n,γ= ![]() ^ процесса ценообразования Пусть процесс ценообразования описывается следующими уравнениями: ![]() где х1 , х2- цены на товары. В начальный момент времени цены на товары составляют: x1(0) = N условных единиц. ; х2(0) =(N + 2) условных единиц. ; где п - номер по списку, N - номер группы (однозначное или двузначное число). Определить зависимость цен на товары от времени в будущем. ^ Фирма имеет два филиала, затраты на производство в которых описывается функциями ![]() соответственно, где x и у - объемы производимой продукции. Общий спрос на товар фирмы определяется ценой р за единицу продукции, зависящей от объема выпускаемой продукции z=х+у, и определяется функцией z= 100 • (N+ п) - 2р , где п - номер по списку, N- номер группы (однозначное или двузначное число). Тогда прибыль фирмы задается функцией ![]() Требуется найти: 1) оптимальный объем выпуска продукции для производителя; 2) оптимальную цену; 3) распределение производимой продукции по филиалам. ^ равновесной цены В задании используются следующие обозначения: • а1,b1,с1- коэффициенты функции спроса D(р) = а1-b1р- с1р' ; • а2 , b2 , с2 - коэффициенты функции предложения • р0- начальное значение функции цены. Значения этих величин приведены в соответствующей таблице: Таблица
Требуется: 1) составить дифференциальное уравнение относительно равновесной цены ^ 2) найти решение задачи Коши, если P|t=0 = Р0 ; 3) найти ![]() ![]() 4)построить график зависимости равновесной цены от времени. ^ Известно, что средняя урожайность пшеницы в мире равна 22,5 ц/га. На Земле есть территории с урожайностью как меньшей 10 ц /га, так и превышающей 70 ц/га. Плотность распределения урожайности по засеянной площади в некотором районе Российской Федерации в 2009 году задается эмпирической формулой р=16 + ах+bу ц/га (центнеров на гектар), а засеянная зерновыми территория имеет форму прямоугольника, в котором 0 ![]() ![]() ![]() Требуется найти: 1) урожай пшеницы, собранный в этом районе РФ в 2009 году; 2) среднюю урожайность пшеницы в районе; 3) процентные доли средней урожайности района относительно каждой средней урожайности, приведенной в условиях задания. Параметры: а = 0,01 ![]() ![]() ^ Пусть в производстве товаров участвуют три отрасли. Конечный спрос на продукцию i-й отрасли равен fi условным единицам. Коэффициенты прямых затрат aij равны объему продукции i-й отрасли, необходимой для производства единицы продукции j-й отрасли. Значения коэффициентов прямых затрат аij и конечный спрос fi на продукцию каждой отрасли приведены в соответствующей таблице:
Требуется: 1) определить, в каком объеме нужно выпускать продукцию для удовлетворения спроса, решив систему линейных уравнений (Е - А) • X = Р методом Гаусса; 2) исследовать, как изменится выпуск продукции, решая уравнение X = (Е – А)-1 • F1 как матричное, если спрос на вторую продукцию увеличится на 39 % ; 3 ) исследовать, как изменится выпуск продукции, решая уравнение X = (Е - А)-1 • F2 как матричное, если спрос на вторую продукцию уменьшится на 27 %. Алгоритм решения задачи: 1 . Составить модель межотраслевого баланса Леонтьева. 2. Найти матрицу-столбец равновесных объемов производств, решив систему линейных уравнений вида (Е - А) • X =F методом Гаусса. 3. Найти матричный мультипликатор Леонтьева (Е-А)-1 . 4. Изменить матрицу-столбец спроса, учитывая увеличение спроса на продукцию второй отрасли на 39%, и найти матрицу-столбец объемов производств, решая систему линейных уравнений как матричное уравнение X=(Е- А)-1 • F. 5. Определить, на сколько процентов увеличится объем выпуска каждой отрасли при увеличенном спросе на продукцию второй отрасли. 6. Изменить матрицу столбец спроса, учитывая уменьшение спроса на продукцию второй отрасли на ^ и найти матрицу-столбец объемов производств, решая систему линейных уравнений как матричное уравнение X = (Е - А)-1 •F . 7. Определить, на сколько процентов уменьшится объем выпуска каждой отрасли при уменьшенном спросе на продукцию второй отрасли. Решение. 1. Запишем модель межотраслевого баланса Леонтьева в виде X=A.X+F, или (E-A).X=F. 2. Запишем систему (E-A).X=F методом Гаусса. П ![]() ![]() ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определим ранги матриц: rg(E-A)=rg(E-A|F)=3. Следовательно, по теореме Кронокера-Капели [1-3] система совместна и имеет единственное решение. Запишем это решение. Для этого выпишем третье уравнение: 0.5х3=10. Отсюда х3=20. Выпишем второе уравнение, подставим х3 и найдем х2: 0.6х2-0.9х3=0 0.6х2-0.9.20=0 0.6х2 -18=0 0.6х2=18 х2=18:0.6 х2=30. Выпишем первое уравнение и найдем х1: -0.1х1-0.1х2+0.4х3=1 -0.1х1-0.1.30+0.4.20=1 -0.1х1-3+8=1 -0.1х1=-4 х1=-4:(-0.1) х1=40. Отсюда получим решение системы: Х=(40 30 20)Т. 3. Найдем матричный мультипликатор Леонтьева (Е-А)-1: (Е-А)= ![]() ![]() ![]() 1) Найдем определитель матрицы ![]() ![]() ![]() =0.43+(-0.2).(-0.1).(-0.2)+(-0.2).(-0.1).(-0.1)-(-0.1).0.4.(-0.2)-(-0.1).(-0.1).0.4-(-0.2).(-0.2).0.4= =0.03 2) Транспонируем матрицу: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Находим присоединенную матрицу: а) Найдем алгебраические дополнения: А11=0.15 А12=0.09 А13=0.06 А21=0.1 А22=0.14 А23=0.06 А31=0.1 А32=0.08 А33=0.12 б) Составим присоединенную матрицу: ![]() ![]() ![]() 4)найдем обратную матрицу. Для этого поделим каждый элемент присоединенной матрицы на определитель матрицы (Е-А): (Е-А)-1= ![]() ![]() ![]() 4. Предположим, что спрос на продукцию 2-й отрасли увеличится на 39 %. Тогда Второй элемент столбца конечного спроса F станет равным 2+2.0.39=2.78. Решим задачу нахождения объема продукции при увеличении конечного спроса на продукцию второй отрасли. Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду методом элементарных преобразований: ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем объемы выпускаемой продукции по формуле Х1=(Е-А)-1F1.Приближенное решение имеет вид: 0.5x3=10.78 x3=21.56 0.6x2-0.9.21.56=0.78 x2=33.64 -0.1x1-0.1.33.64+0.4.21.56=1 x1=42.6 X1= ![]() Вывод: увеличение спроса на продукцию второй отрасли на 39 % повлекло за собой увеличение объема выпуска продукции первой отрасли на ![]() ![]() 5. Предположим, что спрос на продукцию 2-й отрасли уменьшился на 27 %. Тогда второй элемент столбца конечного спроса F станет равным 2-2.0.27=1.46. Решим задачу нахождения объема продукции при уменьшении конечного спроса на продукцию 2-й отрасли. Вектор конечного спроса будет иметь вид F2=(6 1.46 1)T. Решая полученную систему Х2=(Е-А)-1F2, получаем приближенное решение: ( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 0.5x3=9.46 x3=18.92 0.6x2-0.9.18.92=-0.54 x2=27.48 -0.1x1-0.1.27.48+0.4.18.92=1 x1=38.2 Х2= ![]() Анализ результатов показывает, что уменьшение спроса на продукцию второй отрасли на 27% повлекло за собой уменьшение объема выпуска продукции первой отрасли на 4,5% и третьей отрасли на 5,4% соответственно. Вывод: я убедилась, что благодаря применению систем алгебраических линейных уравнений можно описывать и анализировать модели межотраслевого баланса. ^ задач Найти объем продукции, произведенной за период [0;Т], если функция Кобба- Дугласа имеет вид |
a1 | 100 |
b1 | 3 |
c1 | -4 |
a2 | 100 |
b2 | 2 |
c2 | 1 |
P0 | 10 |
![]() | Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса. (стр. 3-6) | ![]() | |
![]() | Найти все частные производные I и II порядка функции. Записать дифференциалы I и II порядка функции | ![]() | Теоретико-методологические подходы к социологическому анализу категории правовой культуры |
![]() | ![]() | Профориентационная работа с молодежью в контексте традиций и инноваций. 20 | |
![]() | Десятичные дроби, рациональные и иррациональные числа, свойство полноты действительных чисел | ![]() | Числитель стремится к нулю, следовательно, и весь предел равен нулю, то есть ряд сходится по признаку Даламбера |
![]() | Курсовая работа это результат самостоятельного исследования избранной проблемы на фактическом материале, полученном в ходе опытно-экспериментальной... | ![]() | Согласно стандартам Минобразования рф, курсовая работа – самостоятельная комплексная работа учащихся, выполняемая на завершающем... |