Курсовая работа по математическому анализу




Скачать 279.97 Kb.
НазваниеКурсовая работа по математическому анализу
страница1/2
Дата публикации11.07.2013
Размер279.97 Kb.
ТипКурсовая
zadocs.ru > Математика > Курсовая
  1   2
Московский авиационный институт

(технический университет)

ИНЖЭКИН


КУРСОВАЯ РАБОТА

по математическому анализу


Выполнил: студент группы 05-109
Трофимова Елена Михайловна

Проверил: доцент кафедры 805 Волкова Т.Б.

Ст. преподаватель каф. 805 Колесниченко Т.В.

Ст. преподаватель каф. 805 Кондратьева Л.А.

Ст. преподаватель каф. 805 Федорова Н.М.

Оценка:


Москва 2011
Оглавление.

  1. Титульный лист – 1 стр.

  2. Оглавление – 2 стр.

  3. Задание на курсовую работу – 3 стр.

  4. №1. Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса – 6 стр.

  5. №2.Применение определенного интеграла для решения экономических задач–

10 стр.

  1. №3. Применение систем дифференциальных уравнений для описания процесса ценообразования – 12 стр.

  2. №4. Определение оптимального объема выпуска продукции – 16 стр.

  3. №5а. Применение дифференциальных уравнений в модели формирования равновесной цены – 19 стр.

  4. №5б. Расчет параметров в односекторной модели экономического роста – 22 стр.

  5. №6. Применение двойного интеграла для расчета ресурсов территории – 27 стр.

  6. Вывод по работе – 29 стр.


^ ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

1. Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса

Пусть в производстве товаров участвуют три отрасли. Конечный спрос на продукцию iотрасли равен fi условным единицам. Коэффициенты прямых затрат aij равны объему продукции iотрасли, необходимой для производства единицы продукции j-й отрасли. Значения коэффициентов прямых затрат аij и конечный спрос fi на продукцию каждой отрасли приведены в соответствующей таблице:

А

Р

0,6

0,2

0,2

6

0,2

0,6

0,1

2

0,1

0,1

0,6

1

Требуется:

1) определить, в каком объеме нужно выпускать продукцию для удовлетворения спроса, решив систему линейных уравнений

(Е - А) • X = Р методом Гаусса;

2) исследовать, как изменится выпуск продукции, решая уравнение

X = (Е – А)-1F1 как матричное, если спрос на вторую продукцию увеличится на (N+ 3 0 ) % ;

3 ) исследовать, как изменится выпуск продукции, решая уравнение

X = (Е - А)-1F2 как матричное, если спрос на вторую продукцию уменьшится на ( п + 1 0 ) % ,
п - номер по списку, N - номер группы (однозначное или двузначное число).
^ 2. Применение определенного интеграла для решения экономических

задач

Найти объем продукции, произведенной за период [0;Т], если функция Кобба- Дугласа имеет вид

α=nN,ß=n,γ=,T=N, где n- номер по списку, N- номер группы (однозначное или двузначное число).

^ 3. Применение систем дифференциальных уравнений для описания

процесса ценообразования

Пусть процесс ценообразования описывается следующими уравнениями:


где х1 , х2- цены на товары.

В начальный момент времени цены на товары составляют:

x1(0) = N условных единиц. ; х2(0) =(N + 2) условных единиц. ;

где п - номер по списку, N - номер группы (однозначное или двузначное число).

Определить зависимость цен на товары от времени в будущем.

^ 4. Определение оптимального объема выпуска продукции

Фирма имеет два филиала, затраты на производство в которых описывается функциями


соответственно, где x и у - объемы производимой продукции.

Общий спрос на товар фирмы определяется ценой р за единицу продукции, зависящей от объема выпускаемой продукции z=х+у, и определяется функцией z= 100 • (N+ п) - 2р , где п - номер по списку, N- номер группы (однозначное или двузначное число).

Тогда прибыль фирмы задается функцией



Требуется найти:

1) оптимальный объем выпуска продукции для производителя;

2) оптимальную цену;

3) распределение производимой продукции по филиалам.

^ 5. Применение дифференциальных уравнений в модели формирования

равновесной цены

В задании используются следующие обозначения:

а1,b11- коэффициенты функции спроса D(р) = а1-b1р- с1р' ;

• а2 , b2 , с2 - коэффициенты функции предложения

р0- начальное значение функции цены. Значения этих величин приведены в соответствующей таблице:

Таблица

a1

100

b1

3

c1

-4

a2

100

b2

2

c2

1

P0

10

Требуется:

1) составить дифференциальное уравнение относительно равновесной цены ^ Р;

2) найти решение задачи Коши, если P|t=0 = Р0 ;

3) найти, указать тенденцию изменения равновесной цены при

;

4)построить график зависимости равновесной цены от времени.

^ 6. Применение двойного интеграла для расчета ресурсов территории

Известно, что средняя урожайность пшеницы в мире равна 22,5 ц/га. На Земле есть территории с урожайностью как меньшей 10 ц /га, так и превышающей 70 ц/га.

Плотность распределения урожайности по засеянной площади в некотором районе Российской Федерации в 2009 году задается эмпирической формулой р=16 + ах+bу ц/га (центнеров на гектар), а засеянная зерновыми

территория имеет форму прямоугольника, в котором 0 х с км,

км.

Требуется найти:

1) урожай пшеницы, собранный в этом районе РФ в 2009 году;

2) среднюю урожайность пшеницы в районе;

3) процентные доли средней урожайности района относительно каждой средней урожайности, приведенной в условиях задания.

Параметры: а = 0,01, b= 0,01

^ 1. Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса

Пусть в производстве товаров участвуют три отрасли. Конечный спрос на продукцию iотрасли равен fi условным единицам. Коэффициенты прямых затрат aij равны объему продукции iотрасли, необходимой для производства единицы продукции j-й отрасли. Значения коэффициентов прямых затрат аij и конечный спрос fi на продукцию каждой отрасли приведены в соответствующей таблице:

А

Р

0,6

0,2

0,2

6

0,2

0,6

0,1

2

0,1

0,1

0,6

1

Требуется:

1) определить, в каком объеме нужно выпускать продукцию для удовлетворения спроса, решив систему линейных уравнений

(Е - А) • X = Р методом Гаусса;

2) исследовать, как изменится выпуск продукции, решая уравнение

X = (Е – А)-1F1 как матричное, если спрос на вторую продукцию увеличится на 39 % ;

3 ) исследовать, как изменится выпуск продукции, решая уравнение

X = (Е - А)-1F2 как матричное, если спрос на вторую продукцию уменьшится на 27 %.
Алгоритм решения задачи:

1 . Составить модель межотраслевого баланса Леонтьева.

2. Найти матрицу-столбец равновесных объемов производств, решив систему линейных уравнений вида (Е - А) • X =F методом Гаусса.

3. Найти матричный мультипликатор Леонтьева (Е-А)-1 .

4. Изменить матрицу-столбец спроса, учитывая увеличение спроса на продукцию второй отрасли на 39%, и найти матрицу-столбец объемов производств, решая

систему линейных уравнений как матричное уравнение X=(Е- А)-1F.

5. Определить, на сколько процентов увеличится объем выпуска каждой отрасли при увеличенном спросе на продукцию второй отрасли.

6. Изменить матрицу столбец спроса, учитывая уменьшение спроса на продукцию второй отрасли на ^ 27 %, и найти матрицу-столбец объемов производств, решая

систему линейных уравнений как матричное уравнение X = (Е - А)-1F .

7. Определить, на сколько процентов уменьшится объем выпуска каждой отрасли при уменьшенном спросе на продукцию второй отрасли.


Решение.

1. Запишем модель межотраслевого баланса Леонтьева в виде X=A.X+F, или

(E-A).X=F.

2. Запишем систему (E-A).X=F методом Гаусса.

Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду методом элементарных преобразований:

(E-A|F)→


Определим ранги матриц: rg(E-A)=rg(E-A|F)=3. Следовательно, по теореме Кронокера-Капели [1-3] система совместна и имеет единственное решение. Запишем это решение. Для этого выпишем третье уравнение: 0.5х3=10. Отсюда х3=20. Выпишем второе уравнение, подставим х3 и найдем х2: 0.6х2-0.9х3=0

0.6х2-0.9.20=0

0.6х2 -18=0

0.6х2=18

х2=18:0.6

х2=30.

Выпишем первое уравнение и найдем х1:
-0.1х1-0.1х2+0.4х3=1

-0.1х1-0.1.30+0.4.20=1

-0.1х1-3+8=1

-0.1х1=-4

х1=-4:(-0.1)

х1=40.
Отсюда получим решение системы: Х=(40 30 20)Т.

3. Найдем матричный мультипликатор Леонтьева (Е-А)-1:

(Е-А)=

1) Найдем определитель матрицы =

=0.43+(-0.2).(-0.1).(-0.2)+(-0.2).(-0.1).(-0.1)-(-0.1).0.4.(-0.2)-(-0.1).(-0.1).0.4-(-0.2).(-0.2).0.4=

=0.03

2) Транспонируем матрицу:

3) Находим присоединенную матрицу:

а) Найдем алгебраические дополнения:

А11=0.15

А12=0.09

А13=0.06

А21=0.1

А22=0.14

А23=0.06

А31=0.1

А32=0.08

А33=0.12

б) Составим присоединенную матрицу:



4)найдем обратную матрицу. Для этого поделим каждый элемент присоединенной матрицы на определитель матрицы (Е-А):

(Е-А)-1=

4. Предположим, что спрос на продукцию 2-й отрасли увеличится на 39 %. Тогда Второй элемент столбца конечного спроса F станет равным 2+2.0.39=2.78. Решим задачу нахождения объема продукции при увеличении конечного спроса на продукцию второй отрасли.
Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду методом элементарных преобразований:

(E-A|F)→


Найдем объемы выпускаемой продукции по формуле Х1=(Е-А)-1F1.Приближенное решение имеет вид:
0.5x3=10.78

x3=21.56

0.6x2-0.9.21.56=0.78

x2=33.64

-0.1x1-0.1.33.64+0.4.21.56=1

x1=42.6

X1=.
Вывод: увеличение спроса на продукцию второй отрасли на 39 % повлекло за собой увеличение объема выпуска продукции первой отрасли на и третьей отрасли на .

5. Предположим, что спрос на продукцию 2-й отрасли уменьшился на 27 %. Тогда второй элемент столбца конечного спроса F станет равным 2-2.0.27=1.46. Решим задачу нахождения объема продукции при уменьшении конечного спроса на продукцию 2-й отрасли. Вектор конечного спроса будет иметь вид F2=(6 1.46 1)T. Решая полученную систему Х2=(Е-А)-1F2, получаем приближенное решение:

(E-A|F)→



0.5x3=9.46

x3=18.92

0.6x2-0.9.18.92=-0.54

x2=27.48

-0.1x1-0.1.27.48+0.4.18.92=1

x1=38.2

Х2=.

Анализ результатов показывает, что уменьшение спроса на продукцию второй отрасли на 27% повлекло за собой уменьшение объема выпуска продукции первой отрасли на 4,5% и третьей отрасли на 5,4% соответственно.
Вывод: я убедилась, что благодаря применению систем алгебраических линейных уравнений можно описывать и анализировать модели межотраслевого баланса.

^ 2. Применение определенного интеграла для решения экономических

задач

Найти объем продукции, произведенной за период [0;Т], если функция Кобба- Дугласа имеет вид , где α=nN,ß=n,γ=,T=N, где n- номер по списку, N- номер группы (однозначное или двузначное число).

Алгоритм решения задачи:

1. Записать функцию Кобба-Дугласа и составьте определенный интеграл , описывающий объем произведенной продукции q за 9 лет.


2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям, сделав выбор компонент формулы:

u=153+17t, dv=.

3. Записать значение определенного интеграла.

Решение.

  1. Составим определенный интеграл q=, который при заданной функции Кобба-Дугласа по формуле

описывает объем продукции, выпущенной за период T=9 лет.

2. Для вычисления интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям

=

+5508=-2754+5508=2754

3.Таким образом, объем произведенной за 9 лет продукции составит 2754 единицы.

Вывод: я поняла, что используя функцию Кобба-Дугласа, можно вычислять объем произведенной продукции за указанный период.




^ 3. Применение систем дифференциальных уравнений для описания

процесса ценообразования

Пусть процесс ценообразования описывается следующими уравнениями:


где х1 , х2- цены на товары.

В начальный момент времени цены на товары составляют:

x1(0) = N условных единиц. ; х2(0) =(N + 2) условных единиц. ;

где п - номер по списку, N - номер группы (однозначное или двузначное число).

Определить зависимость цен на товары от времени в будущем.

Алгоритм выполнения задачи.

Запишем неоднородную систему дифференциальных уравнений с заданными коэффициентами и начальными условиями.

I.Найдем общее решение соответствующей однородной системы, положив f1=0 и f2=0. Для этого:

а) составим характеристическое уравнение:

=0

и найдем его корни и - собственные значения матрицы А;

б) Подставляя каждый найденный корень в систему

решаем ее и находим собственные векторы матрицы А;

в) запишем общее решение однородной системы Х00 в виде:

Х001

где -любое нетривиальное решение системы , соответствующее , а Сj- произвольные постоянные.

II. Найдем частное решение неоднородной системы:

а) представим частное решение, например, в виде х11, х22;

б) Подставим эти выражения в исходную систему и найдем частное решение неоднородной системы:

III. Запишем общее решение неоднородной системы в виде:

Хон=

IV. Запишем решение задачи Коши:

а) для нахождения С1 и С2 подставим начальные условия в полученное общее решение;

б) подставим найденные значения С1 и С2 и запишем решение задачи Коши в виде:

;

в) запишем зависимость цен от времени:

.

Решение.

  1. Найдем общее решение соответствующей однородной системы

а) составим характеристическое уравнение det(A-E)=0

б) подставим

Предположим а2=1, тогда а1=1.

Подставим

Предположим а2=1, тогда а1=0.5.

в) запишем общее решение неоднородной системы

  1. Найдем частное решение неоднородной системы

а) Представим частное решение в виде х11, х22

б) Подставим эти выражения в исходную систему и найдем частное решение неоднородной системы:

2-25=0

А2=4.167

А1=17-4.167=12.833

  1. Запишем общее решение неоднородной системы:

IV. Запишем решение задачи Коши:

а) для нахождения С1 и С2 подставим начальные условия в полученное общее решение;

-0.5С2-12.833-4.167=-2

С2=21.332

С1+21.332+4.167=11

С1=-14.499

б) подставим найденные значения С1 и С2 и запишем решение задачи Коши:

Х(t)= -14.499

в) таким образом, зависимость цен от времени описывается следующими функциями:

Вывод: я узнала, что применяя системы дифференциальных уравнений можно описывать процесс ценообразования.




^ 4. Определение оптимального объема выпуска продукции

Фирма имеет два филиала, затраты на производство в которых описывается функциями


соответственно, где x и у - объемы производимой продукции.

Общий спрос на товар фирмы определяется ценой р за единицу продукции, зависящей от объема выпускаемой продукции z=х+у, и определяется функцией z= 100 • (N+ п) - 2р , где п - номер по списку, N- номер группы (однозначное или двузначное число).

Тогда прибыль фирмы задается функцией



Требуется найти:

1) оптимальный объем выпуска продукции для производителя;

2) оптимальную цену;

3) распределение производимой продукции по филиалам.

^ Алгоритм выполнения задачи.
  1. Решить систему уравнение :

И найти цену товара p как функцию от объемов выпускаемой продукции.

2. Подставить полученное выражение p в функцию прибыли Q(x,y).

3. Найти экстремум функции Q(x,y). Для этого:

а) вычислить частные производные первого порядка функции Q(x,y);

б) приравнять частные производные к нулю и найти стационарные точки, т.е. точки, подозрительные на экстремум;

в) определить характер экстремума (если он существует). Для этого вычислить частные производные второго порядка и определить знаки величины А и выражения ∆=A.C-B2.

4. Найти распределение производства товаров по филиалам, т.е. х0 и у0, и оптимальную цену p. Сделать вывод: фирма в первом филиале должна производить х0 единиц продукции, во втором - у0 единиц, а продавать ее по цене p (ден. ед.).

5. Найти общий объем продукции: z=x0+y0 единиц.

Решение.

1. Решим систему уравнений

1600-17р-х-у=0

1600-х-у=17р

2. Подставить полученное выражение p в функцию прибыли Q(x,y).

Q(x,y)= .(x+y) –[0.17x2-17x+900+0.09y2+9y+1700]= -0.17x2+17x-900-0.09y2-9y-1700=

=

3. Найдем экстремум функции Q(x,y). Для этого:

а) вычислим частные производные первого порядка функции Q(x,y):

б) приравняем частные производные к нулю и найдем стационарные точки, т.е. точки, подозрительные на экстремум:

0.5812у-49.14=0

у=84.55

-1.34х-84.55+113=0

х=21.23

в) определим характер экстремума (если он существует). Для этого вычислим частные производные второго порядка и определим знаки величины А и выражения ∆=A.C-B2.

А=

C=

B=

=AC-B2=(-1.34)2-(-1)2=0.7956>0

Так как ∆>0, то в точке с координатами (21.23;84.55) функция имеет экстремум. Поскольку А=-1.34<0, то (21.23;84.55)- точка максимума.

4. Найдем распределение производства товаров по филиалам, т.е. х0 и у0, и оптимальную цену p. Сделаем вывод: фирма в первом филиале должна производить х0 единиц продукции, во втором - у0 единиц, а продавать ее по цене p (ден. ед.).

Р= = 77.11

Итак, фирма в первом филиале должна производить 21.23 единицы продукции, во втором - 84.55 единиц, а продавать ее по цене 77.11 (ден.ед.).

5. Найдем общий объем продукции: z=x0+y0 единиц.

z=21.23+84.55=105.78

Вывод: я убедилась, что используя функцию прибыли и частные производные, можно определять оптимальный объем выпуска продукции.



5а. Применение дифференциальных уравнений в модели формирования

равновесной цены

В задании используются следующие обозначения:

а1,b11- коэффициенты функции спроса D(р) = а1-b1р- с1р' ;

• а2 , b2 , с2 - коэффициенты функции предложения

р0- начальное значение функции цены. Значения этих величин приведены в соответствующей таблице:

Таблица

a1

100

b1

3

c1

-4

a2

100

b2

2

c2

1

P0

10

Алгоритм выполнения задачи.

  1. Взять из таблицы коэффициенты а1, b1, c1 и составить функцию спроса D(p)= а1- pb1-p/ c1. Для коэффициентов а2, b2, c2 составить функцию предложения S(p)= а2+ pb2+p/ c2. Записать дифференциальное уравнение, используя равенство S(p)= D(p) для заданных функций спроса и предложения.

  2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и зависимость равновесной цены р от начального значения р0.

  3. Найти Провести исследование изменения тенденции равновесной цены при (т.е. указать, будет ли цена стабилизироваться или будет инфляция).

  4. Построить интегральную кривую p(t) для заданного начального значения р0; указать пунктиром горизонтальную асимптоту.

Решение.

1. Взять из таблицы коэффициенты а1, b1, c1 и составить функцию спроса D(p)= а1- pb1-p/ c1. Для коэффициентов а2, b2, c2 составить функцию предложения S(p)= а2+ pb2+p/ c2. Записать дифференциальное уравнение, используя равенство S(p)= D(p) для заданных функций спроса и предложения.

D(p)= 100- 3p+4p/

S(p)= 100+ 2p+p/

  1   2

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Курсовая работа по математическому анализу iconКурсовая работа по математическому анализу
Применение систем алгебраических линейных уравнений для описания и анализа модели межотраслевого баланса. (стр. 3-6)

Курсовая работа по математическому анализу iconКонтрольная работа №2 по математическому анализу

Курсовая работа по математическому анализу iconКонтрольная работа №2 по математическому анализу для студентов
Найти все частные производные I и II порядка функции. Записать дифференциалы I и II порядка функции

Курсовая работа по математическому анализу iconФисмо кафедра социологии курсовая работа особенности проявления национализма в России
Теоретико-методологические подходы к социологическому анализу категории правовой культуры

Курсовая работа по математическому анализу iconПеречень контрольных вопросов для проведения экзамена по математическому...

Курсовая работа по математическому анализу iconКазанский государственный университет культуры и искусств факультет...
Профориентационная работа с молодежью в контексте традиций и инноваций. 20

Курсовая работа по математическому анализу iconВопросы к итоговому контролю знаний по математическому анализу для...
Десятичные дроби, рациональные и иррациональные числа, свойство полноты действительных чисел

Курсовая работа по математическому анализу iconПрактикум 2 по математическому анализу. 16
Числитель стремится к нулю, следовательно, и весь предел равен нулю, то есть ряд сходится по признаку Даламбера

Курсовая работа по математическому анализу iconКурсовая работа
Курсовая работа это результат самостоятельного исследования избранной проблемы на фактическом материале, полученном в ходе опытно-экспериментальной...

Курсовая работа по математическому анализу iconКурсовая работа является учебной работой
Согласно стандартам Минобразования рф, курсовая работа – самостоятельная комплексная работа учащихся, выполняемая на завершающем...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов