Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования




НазваниеРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница1/16
Дата публикации20.07.2013
Размер1.86 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тобольская государственная социально-педагогическая академия

им. Д.И. Менделеева”
Кафедра математики, ТиМОМ

Валицкас А.И.

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

НАУК

Тобольск – 2012

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Глава I.

Наивная теория множеств . . . . . . .

3




§ 1. Основные понятия и операции . . . . . .

3




§ 2. Проверка некоторых равенств со множествами . .

10




§ 3. Бинарные отношения и их основные свойства . .

15




§ 4. Отношения эквивалентности и разбиения множеств .

23




§ 5. Функции и их основные виды . . . . . .

30




§ 6. Композиция (суперпозиция) функций . . . .

35




§ 7. Об аксиоматике Цермело-Френкеля теории множеств

41










Глава II.

Мощности множеств . . . . . . . . .

58




§ 1. Счётные множества и множества мощности континуум

59




§ 2. Сравнение мощностей . . . . . . . . .

72




§ 3. Кардинальные числа : порядок . . . . . .

79




§ 4. Кардинальные числа : арифметика . . . . .

85










Литература

. . . . . . . . . . . . . . . .

91


^ ГЛАВА I. НАИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

§ 1. Основные понятия и операции
В фундаменте современных математических теорий лежат понятия множества, элемента множества, отношения принадлежности элемента множеству. Интуитивный смысл этих понятий ясен: под множеством понимают совокупность некоторых объектов (которые называются элементами данного множества), мыслимых как единое целое. Для обозначения того, что объект a является элементом множества А, пишут a А (а принадлежит А). Вместо отрицания используется запись а А (а не принадлежит А).

Наиболее употребительны следующие два способа задания множеств:

перечисление элементов (используется в основном для множеств, состоящих из конечного числа элементов). Например, запись А = {1, 2, –5, 3} означает, что множество А состоит из элементов 1, 2, –5, 3. Элементами множеств могут быть и объекты различной природы. Так, множество А = {1, {1}, a} состоит из числа 1, одноэлементного множества {1} (содержащего единственный элемент – число 1) и буквы а.

выделение множества в другом множестве с помощью характеристического свойства его элементов: если В – множество и P(x) – некоторое свойство (высказывание о произвольном элементе x B), то можно определить новое множество А всех элементов x множества В, удовлетворяющих свойству P, написав А = {x B | P(x) (= 1)}. Так, например, R+ = {x R | x > 0} – множество всех положительных действительных чисел.

Замечание: одно и то же множество можно задать различными способами: например, {r R | r2 = 1} = {–1, 1} = {n Z | |n| = 1}. Поэтому важно ввести понятие равенства двух множеств.

Два множества А и В называются равными (символически А = В), если они состоят из одних и тех же элементов. Это значит, что для любого элемента а А выполнено а В, и для любого элемента b B выполняется b A. В противном случае множества А и В называются неравными: А В.

Множество А называют подмножеством множества В (говорят также, что А содержится в В или В содержит А) и записывают А В, если любой элемент множества А принадлежит множеству В.

Полезно ввести в рассмотрение пустое множество = {x A | x A}, не имеющее ни одного элемента. Ясно, что для любого множества A верно A.

Примеры: 1. {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Хотя порядки перечисления элементов этих множеств и различны, но каждый элемент одного множества является элементом другого множества, что и обеспечивает их равенство.

2. {1, 2, 3} = {1, 1, 2, 3, 2, 1, 3}. Второе множество, хотя и выглядит толще первого, но на самом деле состоит их тех же элементов.

3. {1, 2, 3} {3, {1}, 2}. Элемент 1 первого множества не является элементом второго множества. Точно так же Элемент {1} второго множества не является элементом первого множества. Кстати, почему 1 {1} ?

4. А = {1, 2} {1, 2, –1} = В, т.к. –1 В, но –1 А, но {1, 2} {1, 2, –1}, т.к. 1 В и 2 В.

5. Справедливы включения N = {1, 2, 3, …} Z = {… , –2, –1, 0, 1, 2, …} Q = { R | m Z n N} R .
Основные операции над множествами


  1. Если А, В – множества, то существует множество А В – объединение множеств А и В, которое состоит из всех элементов, являющихся элементами либо множества А, либо множества В:

x A B x A x B.
Примеры: 1. Если A = {1, 2, 5, }, B = {{1}, 2, 5, }, то

А В = {1, 2, 5, , {1}}.

2. Если A = {x R | 1 < x 5}, B = {x R | –1 x < 2}, то

A B = [–1; 5] = {x R | –1 x 5}.

  1. Если А, В – множества, то существует множество А В – пересечение множеств А и В, которое состоит из всех элементов, являющихся одновременно элементами и множества А, и множества В:

x A B x A x B.

Примеры: 1. Если A = {1, 2, 5, }, B = {{1}, 2, 5, }, то

А В = {2, 5, }.

2. Если A = {x R | 1 < x 5}, B = {x R | –1 x < 2}, то

A B = (1; 2) = {x R | 1 < x < 2}.

3. A B = {a A | a B}.

На основе понятий пересечения и объединения двух множеств можно ввести аналогичные операции над несколькими множествами:

A1 An = (…((A1 A2) A3) …) An ,

A1 An = (…((A1 A2) A3) …) An .

  1. Если А, В – множества, то существует множество А \ В – разность множеств А и В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В:

x A \ B x A x B.

Примеры: 1. Если A = {1, 2, 5, }, B = {{1}, 2, 5, }, то А \ В = {1}.

2. Если A = (1; 5] = {x R | 1 < x 5}, B = [–1; 2) = {x R | –1 x < 2}, то A \ B = [2; 5].

3. A \ B = {a A | a B}.

  1. Если А – множество, то существует множество всех его подмножеств B(A), называемое также булеаном множества А, и состоящее из всех подмножеств множества А: X B(A) X A.

Важно отметить, что булеан B(A) состоит из множеств (подмножество множества А само является множеством) и содержит в качестве элементов пустое множество и само множество А (которые в случае А = совпадают).

Примеры: 1. Если А = , то B(A) = {}.

2. Если A = {1}, то B(А) = {, {1}}.

3. Если A = {1, 2}, то B(А) = {, {1}, {2}, {1, 2}}.

4. Если A = {1, 2, 3}, то

B(А) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

5. Можно доказать, что булеан n-элементного множества А состоит из 2n элементов. Поэтому булеан часто называют степенью множества А и обозначают 2A.

  1. Если А, В – множества, то существует их прямое (декартово) произведение АВ, состоящее из всех упорядоченных пар (a; b), где а А, b B:

АВ = {(a; b) | a A b B}.

Примеры: 1. Если А = {1}, B = {0, 5}, то АВ = {(1; 0), (1; 5)}.

2. Если А = {0, 2}, B = {0, 5}, то АВ = {(0; 0), (0; 5), (2; 0), (2; 5)}.

3. Если множество А состоит из m элементов, а множество В – из n элементов, то можно доказать, что множество АВ состоит из mn элементов. По этой причине в названии множества АВ используется термин “произведение”. Если А = B, то множество АА состоит из m2 элементов и называется декартовым квадратом множества А и обозначается через A2.

Вслед за декартовым произведением двух можно ввести и декартово произведение A1 An = ( … ((A1 A2) A3) …) An n множеств A1 , … , An . Множество называется декартовой степенью множества A и обозначается A n.

Декартово произведение АВ = {(a; b) | a A b B} двух множеств А и В иногда условно изображают на плоскости, трактуя компоненты упорядоченной пары (a; b) как координаты: aкоордината по оси x, на которой отмечают множество А, а b координата по оси y, на которой отмечают множество В. Таким образом, элементы (a; b) АB условно изображаются точками на плоскости с “координатами” a и b.

Особенно удобно графическое изображение декартова произведения АВ в случае, когда А и В – числовые множества, т.е. А R, B R . Тогда изображение принимает не условный характер, а имеет вполне конкретный геометрический смысл: множество АВ представляет из себя множество точек M(a; b) декартовой плоскости, первая координата а которых принадлежит множеству А, а вторая bпринадлежит множеству В.

Пример. Изобразим множество АВ, где A = [1; 2], B = (2; 3).




Понятие декартова (прямого произведения множеств) обобщается на случай произвольного количества множеств-сомножителей: если A1 , … , Akмножества, то их прямым (или декартовым) произведением А1Аk называют множество, состоящее из всех упорядоченных наборов (a1 ; … ; аk) длины k, где аi Аi (1 i k):

А1 Ak = {(a1 ; … ; ak ) | a1 A1 ak Ak }.

Для k = 3 это множество можно аналогично случаю k = 2 условно изображать в пространстве. Если множества Аi содержат ni элементов (1 i k), то их декартово произведение содержит n1nk элементов. В случае A1 = … = Ak = A декартово произведение А1 Ak называется k-й декартовой степенью множества А и обозначается через Ak. Это название обусловлено тем, что для n-элементного множества A декартова степень Ak содержит nk элементов.

Упражнения: 1. Перечислите все элементы множеств A B, A B, A \ B, B(A), AB для A = {, 0, {1}}, B = {{}, 0, 1}.

2. Изобразите на числовой оси следующие множества A B, A B, A \ B, B \ A, (A B) \ (B A), B \ (A B) для

а) А = (1; 3], B = [2; 3); б) А = [–1; 2) (3; 5], B = [0; 2,5] [4; 6);

в) A = (–∞; 2), B = [–4; +∞); г) A = (–∞; 0], B = (–∞; 5).

3. Изобразите на декартовой плоскости следующие множества:

[–1; 1](0; 3], {–1; 1}(0; 3], [–1; 1]{0; 3}, {–1; 1}{0; 3}.

4. Что можно сказать о множествах А и В, если

а) А В = А В, б) А \ В = В \ А , в) АВ = ВА, г) АВ = ,

д) А \ (B A) = A \ B , е) A(A B) = (A B)B ?
Универсальные множества и операция дополнения
В некоторых случаях все множества, участвующие в математических рассуждениях, содержатся в одном множестве U, которое называется универсальным множеством или универсумом.

Например, в школьной планиметрии рассматривались точки, прямые и фигуры, являющиеся подмножествами фиксированной плоскости, которую и можно считать универсальным множеством. Специалист по математическому анализу, как правило, работает в пространстве Rn, которое для него является универсумом.

Если Uуниверсальное множество, то все объекты и множества их содержатся в U, так что высказывания x U, а также A U для любых элементов x и множеств A являются тождественно истинными, а высказывания x U и A U тождественно ложными.

При наличии универсального множества определена ещё одна операция над множествами:

  1. Если U – универсальное множество, А U, то дополнением множества А называется множество = U \ А.

Ясно, что операция дополнения является частным случаем операции разности множеств. При этом x x U \ А x U x A 1 x A x A.

Примеры: 1. Пусть U = R, A = (–5; 2] (3; +∞). Изобразим на числовой оси множество = (–∞; –5] (2; 3]:


2. В коробке лежат шары: 10 красных, 8 белых и 5 чёрных. Какое наименьшее количество шаров нужно вытащить из коробки, чтобы среди них наверняка оказалось 3 красных ?

Пусть Uмножество всех шаров в коробке, А – множество красных шаров. Тогда множество остальных (белых или чёрных) шаров, и количество элементов в равно 13 (= 8+5). Каждый вытащенный из коробки шар принадлежит либо множеству А, либо множеству , поэтому, вытащив первые 13 шаров нельзя быть уверенным, что среди них есть хотя бы один красный. Зато, вытащив ещё 3 шара, можно наверняка утверждать, что среди этих 16-ти шаров 3 окажутся красными. Таким образом, нужно вытащить 16 шаров.

Упражнения: 1. Почему в предыдущем примере недостаточно вытащить 15 шаров ?

2. Какое наименьшее количество шаров (в условиях примера 2) нужно вытащить из коробки, чтобы среди них наверняка оказалось 3 красных и один белый ?

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего Профессионального Образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов