Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1




НазваниеМетодические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1
страница1/8
Дата публикации20.07.2013
Размер0.51 Mb.
ТипМетодические указания
zadocs.ru > Математика > Методические указания
  1   2   3   4   5   6   7   8




Московский государственный университет технологий и упраления

кафедра физики и высшей математики



высшая математика


Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения



Часть 1



Москва 2008


СОДЕРЖАНИЕ



Стр.


  1. Предисловие……………………………………………………

  2. Рабочая программа курса «Математика» для студентов

экономических специальностей

высших учебных заведений………………………………...……

  1. Учебная литература ………………………………………..….

  2. Методические указания к решению задач ……………….…..

  3. Задачи для контрольных работ …………………………….…

    1. Раздел I. Линейная алгебра.

Аналитическая геометрия ……………………………….

    1. Раздел II. Дифференциальное и

интегральное исчисление.

Дифференциальные уравнения. Ряды …………………..

  1. Таблица распределения задач по вариантам

и контрольным работам …………………………………….…

  1. Правила выполнения и оформления контрольных работ …..



  1. Предисловие


Математика – это наука о пространственных формах и количественных отношениях в самом общем виде, - прошла большой путь развития одновременно с развитием цивилизации и стала неотъемлемой частью культуры человечества и показателем интеллектуального уровня общества. Помимо собственных потребностей развития математика обслуживает потребности многих других наук – естественных, технических, экономических, гуманитарных. С развитием вычислительной техники область использования математики расширяется. В наше время трудно представить себе хорошего специалиста в области экономики, не знающего основных математических методов и математического языка. Поэтому математика включена в учебные планы всех экономических специальностей и ее изучению отводится немало времени.

Для успешного изучения математики необходимы программа, учебники и учебные пособия, справочная литература, таблицы, инженерный микрокалькулятор и, конечно, волевые усилия. Необходимо посещать все очные занятия в период сессий и стремиться самостоятельно, выполнять контрольные работы, пользуясь руководствами к решению задач, методическими указаниями и конспектами практических занятий.

Предлагаемые «Методические указания» должны помочь студенту-заочнику рационально организовать свой труд по изучению математики и выполнению контрольных работ. Они выйдут в двух частях. Часть 1 предназначена для выполнения контрольной работы № 1, часть 2 – для контрольной работы № 2.

Обратите пристальное внимание, на таблицу распределения задач по вариантам и в соответствии с ней выполняйте работы.

Желаем Вам успеха.
Авторы


^

В.И. Лысенко


Ю.А. Зуев

Т.М. Бартеньева

Н.А. Брусник

2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
І. Элементы линейной алгебры.

  1. Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами, свойства матриц. Обратная матрица. Определители, их свойства. Вычисление определителей.

  2. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса, правило Крамера. Ранг матрицы, теорема Кронекера - Капелли. Квадратичные формы.

  3. Понятие о задаче линейного программирования и симплекс – методе.

ІІ. Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия плоскости.

  1. Системы координат на плоскости. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис, координаты вектора в данном базисе. Скалярное произведение векторов. Уравнения прямых на плоскости. Кривые второго порядка.

ІІІ. Математический анализ.

  1. Функции, пределы, бесконечно малые и бесконечно большие.

  2. Производная и дифференциал. Приложение к исследованию функций. Правило Лопиталя.

  3. Функции нескольких переменных. Частные производные, полный дифференциал. Экстремумы функции нескольких переменных.

  4. Неопределенный интеграл. Интегрирование методом подстановки, интегрирование по частям. Интегрирование тригонометрических функций. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственный с бесконечными пределами.

ІV. Ряды.

  1. Числовые ряды. Необходимый и достаточные признаки сходимости. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

  2. Ряд Тейлора. Разложение функции в степенной ряд. Понятие о тригонометрических рядах.


  1. Дифференциальные уравнения.

  1. Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

  2. Однородные и линейные уравнения первого порядка.

  1. Элементы комбинаторного анализа.

  1. Перестановки, размещение и сочетания.

  2. Методы подсчета числа объектов и конфигураций.

  1. Теория вероятностей.

  1. Классическое определение вероятности.

  2. Алгебра событий.

  3. Формула полной вероятности и Байеса.

  4. Повторение испытаний. Схема Бернулли, теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.

  5. Случайные величины (дискретные и непрерывные). Законы распределения: равномерное, нормальное. Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

  6. Центральная предельная теорема.

  1. Математическая статистика.

  1. Выборочный метод. Репрезентативность выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

  2. Выборочное среднее и дисперсия.

  3. Интервальные оценки. Правило трех сигм.

  4. Проверка статистических гипотез. Сравнение математических ожиданий двух распределений. Однофакторный дисперсионный анализ.

  5. Проверка репрезентативности выборки. Критерий согласия Х2 («хи-квадрат»).

  6. Элементы теории корреляции. Коэффициент линейной корреляции. Криволинейная множественная корреляция.

  7. Дискретная математика. Элементы теории графов (транспортная задача). Элементы комбинаторного анализа и блок–схемы (план эксперимента).




  1. ^ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА


а) Основная.


  1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М., Наука, 1984.

  2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФПК. – М., Наука, 1985.

  3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М., Наука, 1988.

  4. Высшая математика для экономистов. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.

изд. 2-ое. – М., Банки и биржи, 1998.

  1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики.- М., 1985.

  2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М., Наука, 1982.

  3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. Ч.1, - М., Финансы и статистика, 1998.


б) Дополнительная


  1. Баврин И.И. Курс высшей математики. Учебник. – М., Просвещение, 1992.

  2. Беклемишева Л.А., Петрович Ю.А., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М., Наука, 1987.

  3. Бутузов В.Ф. др. Математический анализ в вопросах и задачах. – М., Высшая школа, 1993.

  4. Краснов М.Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Высшая школа, 1983.

  5. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике. - М., Высшая школа, 1991 (уч. пособие).

  6. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. - М., Наука, 1984.

  7. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений, 2-ое изд., - М., Наука 1994.

  8. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. - М., Наука,1993.


в) Устанавливаемая кафедрой ( приводится литература, имеющаяся в библиотеке МГТА)


  1. Карасев А.И., Аксютина З.И., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. - М., Высшая школа (ВШ) 1982, ч.1; 1983, ч.2.

  2. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. - М., ВШ, 1972.

  3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М., ВШ, 1975, 1985.

  4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. т. 1-3, - М., Наука, 1985.

  5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М., Наука,1972.

  6. Кузнецов Ю.Н., Кутузов В.И., Волошенко А.В. Математическое программирование. - М., ВШ, 1980.

  7. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 и 2, - М., ВШ, 1986.

  8. Кручкович Г.И. и др. Сборник задач по высшей математике ( с решениями). Изд. 3-е. - М., Наука 1973.

  9. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М., ВШ, 1962, 1964 и др. г.

  10. Бараненков Г.С. Задачи и упражнения по математическому анализу для вузов. - М., 1971, 1974.

  11. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. - М., ВШ, 1969.

  12. Лысенко В.И. Высшая математика. Лекции для студентов высших учебных заведений, обучающихся заочно по экономических специальностям. - М., МГТА, 1999.


4. Методические указания к решению задач

Для того, чтобы облегчить студенту-заочнику самостоятельное выполнение контрольных работ, приведем примеры решений задач, аналогичных тем, какие предлагаются в контрольных работах. Подобные задачи включаются и в экзаменационные билеты.
Задача из раздела I заданий (см. оглавление, п. 5.1.)
Задача 1. Дана система линейных уравнений



Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы. Выполнить проверку решения.

Решение.

Система n линейных уравнений с n неизвестными является совместной и имеет единственное решение, так как определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных не равен нулю. Вычислим определитель системы методом разложения его по элементом строки. Разложим по первой строке:


Так как определитель системы не равен нулю, система уравнений совместна и имеет единственное решение.

а) Найдем решение системы по формулам Крамера

, , ,

где D1 D2 D3 - определители, которые получаются из определителя D системы путем замены в нем соответственно 1-го, 2-го, 3-го столбцов коэффициентов при неизвестных x1 x2 x3 столбцом свободных членов уравнений, стоящих в правой части данной системы. Получим следующие три определителя:





Вычислить неизвестные , , .

Проверим это решение, подставив значения неизвестных во все уравнения системы. Получим Решение верное.
б) Решим ту же систему уравнений методом Гаусса. Для этого выпишем расширенную матрицу системы и приведем основную матрицу системы к треугольному виду или ступенчатому виду, если число уравнений окажется меньшим числа неизвестных. Приведение матрицы к треугольному виду, то есть такому, когда ниже (или выше) главной диагонали все элементы будут нулевые, а на главной диагонали - ненулевые, всегда возможно. Оно основано на следующих элементарных преобразованиях матрицы, соответствующих эквивалентным преобразованиям система:

  1. Перестановка строк матрицы;

  2. Перестановка столбцов;

  3. Умножение всех элементов строки на одно и то же число;

  4. Сложение элементов любой строки с соответствующими элементами любой другой строки;

  5. Вычеркивание получившихся нулевых строк.


Вот решение одной системы методом последовательных исключений неизвестных:

Расширенная матрица 1-й шаг 2-шаг



Возвратимся теперь от матричной записи к системе уравнений. Из последней строки матрицы следует уравнение , откуда х3 = -3 Подставляя х3 = -3 в последнее уравнение (вторая строка расширенной матрицы) получим или . Наконец, из первого уравнения системы (первая строка матрицы) найдем Решение такое же , как в случае (а). Оно уже проверено.

Существует модифицированный метод Гаусса, так называемый метод полного исключения неизвестных, в результате которого основная матрица системы преобразуется в каноническую матрицу, на главной диагонали которой остаются единицы, а все остальные элементы обращаются в нули. Таким образом сразу получается решение.

В основе этого метода лежит следующий алгоритм (строго определенный порядок действий)

  1. Выберем разрешающую строку и в ней разрешающий элемент. Обычно это первый элемент первой строки, считая слева направо. Строки можно целиком переставлять, так что на первое место можно записать любую строку, в которой первый элемент не равен нулю.

  2. Каждый элемент, разрешающий строки разделим на разрешающий элемент.

  3. Элементы разрешающего столбца заменим нулями во всех строках матрицы, кроме разрешающей, где он буден равен единице.

  4. Элементы столбцов, Которые были разрешающими на предыдущих шагах исключения, переписываем без изменения.

  5. Остальные элементы пересчитаем по следующему правилу «прямоугольника»:



Р D2

D1 П

Где П – пересчитываемый элемент, Р – Разрешающий, D1 и D2 – “диагональные”, И – искомый. Все эти элементы каждый раз должны быть вершинами воображаемого прямоугольника, образованного параллельными строками и столбцами. Искомый элемент записываем на месте пересчитываемого.

Вернемся к расширенной матрице данной системы и выполним эквивалентной преобразования по предложенной выше схеме полного исключения неизвестных. Рекомендуем читателю все пересчеты коэффициентов по правилу «четырехугольника» записывать подробно.
Данная расширенная матрица 1-й шаг 2-й шаг


3 - й шаг 4 – й шаг



Если в последней матрице вернуться к записи уравнений, то получим

, , , а это и есть решение данной системы.

Замечания: 1. Кружками обведены разрешающие элементы.

2. При переходе от 2-го шага к 3-му третью строку почленно разделили на 90/7.

в) Решить данную систему методом обратной матрицы.

Решение. Данную систему можно записать в матричном виде АХ = В,

где , ,

Решение матричного уравнения имеет вид Х = А-1 В = N, где А-1 – матрица, обратная матрицы А. Так как определитель матрицы системы D(A) = 180 отличен от нуля то матрица А имеет обратную. Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой

Где А11, А12, …, А33 – алгебраические дополнения элементов а11, а12, …, а33 матрицы А. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:
; ; ;
; ;

; ; .
Составим обратную матрицу

.

Найдем теперь матрицу Х.


Из равенства матриц Х = N или следует решение системы

х1=2, х2 = 1, х3 = -3.

Задача 2. Методом исключения неизвестных найти общее и базисное

решение системы линейных уравнений

Решение.
Это система двух уравнений с тремя неизвестными. Она совместна и неопределенна. Надо описать совокупность всех ее решений. В качестве базисных неизвестных данной системы можно взять те неизвестные, для которых определитель составленный из коэффициентов при нет известных, не равен нулю. Здесь три таких определителя, один из которых равен нулю . Следовательно, неизвестные х1 и х2 нельзя брать в качестве базисных. Примем за базисные неизвестные х1 и х2 , для которых определитель . Будем считать неизвестную х3 свободной и запишем систему в виде

Или в матричной форме . Воспользуемся методом полного исключения неизвестных:

Общее решение:

Полагая в общем решении х3 = 0, получим базисное решение х1 = ,

Проверка базисного решения показывает, что оно удовлетворяет обоим уравнениям системы, то есть, является частным решением системы. Давая х3 любые другие числовые значения, получим бесчисленное множество частных решений.

Аналогично решаются системы с несколькими свободными неизвестными.
Задача 3. Даны матрицы и . Найти

произведение матриц АВ.

Решение.

Эти матрицы являются соответственными, так как число столбцов первой матрицы равно числу строк второй: их размеры и . В результате умножения матриц получим новую матрицу С размера , а ее элементы будут равны скалярным произведениям векторов-строк первой матрицы на векторы-столбцов второй:


Задача 4. Даны вершины треугольника А(-3;-2), В(1;8), С(5;3).

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;

в) внутренний угол А треугольника в градусах и минусах;

г) длину высоты, опущенной из вершины А;

д) площадь треугольника.
Решение.

а) Уравнения сторон найдем по формуле прямой, проходящей через две данные точки
Уравнение стороны АВ: , или (АВ).

Уравнение стороны АС: или (АС)
б) Каждая из прямых, уравнения которых только это найдены, разделяет плоскость на две полуплоскости, определяемые соответствующими неравенствами.

Чтобы определить знаки этих неравенств, возьмем координаты какой-нибудь точки заведомо расположенной внутри треугольника АВС (см. рисунок 1). Такой точкой является, например точка N (0;1) подставляя координаты этой точки в уравнения граничных прямых (сторон) в силу того, что точка N не лежит ни на одной сторон, получим следующую систему неравенств. определяющих множество внутренних точек треугольника.

Рис. 1.

Система неравенств определяет множество точек, принадлежащих треугольнику АВС, включая его стороны.
в) Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон АВ и АС, образующих этот угол, по формуле .

Угловые коэффициенты прямых выложим по формуле .

Получим ; .

Тогда

. Угол определяем с помощью таблицы тангенсов или калькулятора
г) Длину высоты ADBC (рис. 1) найдем как расстояние от данной точки А(-3;-2) до данной прямой ВС: 5х + 4у – 37 = 0 по формуле

, где А, В, С – коэффициенты прямой, - координаты данной точки.

Получим (мин. ед.)
д) Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами.
  1   2   3   4   5   6   7   8

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1 iconМетодические указания по выполнению контрольных работ Барнаул
Методические указания предназначены для студентов 1 курса заочной формы обучения экономических и инженерных специальностей

Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1 iconМетодические указания и контрольные задания к выполнению контрольных...
Статистика: методические указания и контрольные задания к выполнению контрольных работ для студентов специальностей 1-25 01 08 «Бухгалтерский...

Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1 iconМетодические указания и тематика контрольных работ для студентов экономических специальностей
Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей заочной формы обучения. Они составлены в соответствии...

Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1 iconМетодические указания для выполнения контрольных работ по дисциплине информатика Самара 2003
Методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения всех специальностей. Методические указания включают в себя...

Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1 iconМетодические указания по организации самостоятельной работы для студентов...
Методические указания предназначены студентам заочной формы обучения всех специальностей Вогту

Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1 iconМетодические указания по выполнению контрольных работ по курсу «трудовое,...
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения, обучающихся по специальности

Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1 iconМетодические указания по выполнению контрольных работ для студентов...
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения

Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1 iconМетодические указания по выполнению контрольных работ для студентов...
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения

Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1 iconМетодические указания к выполнению модульных контрольных работ для...
Топлива, и охлаждающие жидкости: Методические указания к выполнению модульных контрольных работ для студентов дневной формы обучения...

Методические указания и задания для контрольных работ студентам экономических специальностей заочной формы обучения Часть 1 iconМетодические указания к выполнению контрольных работ для студентов...
Согласно учебной программы студенты заочной формы обучения изучают курс «Отечественная история». Учебным планом предусматриваются...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов