Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики




НазваниеИсследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики
Дата публикации21.07.2013
Размер77.1 Kb.
ТипИсследование
zadocs.ru > Математика > Исследование
Дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение является математическое уравнение для неизвестной функции одного или нескольких переменных, что касается значения самой функции и ее производных различных порядков. Дифференциальные уравнения играют важную роль в технике, физике, экономике и другим дисциплинам.
Дифференциальные уравнения возникают во многих областях науки и техники, в частности, когда детерминированная отношения с участием некоторых непрерывно меняющихся величин (моделируются функции) и темпы их изменения в пространстве и / или времени (выраженный в виде производных) известны или постулируется. Это показано в классической механике, где движение тела описывается его положение и скорость, как значение времени изменяется. Законы Ньютона позволяют (с учетом местоположения, скорости, ускорения и различные силы, действующие на тело), ​​чтобы выразить эти переменные динамически, как дифференциальное уравнение для неизвестной положение тела как функцию времени. В некоторых случаях, это дифференциальное уравнение (так называемые уравнения движения) может быть решена в явном виде.
Пример моделирования проблему реального мира с помощью дифференциальных уравнений является определение скорости падения шара по воздуху, рассматривая только гравитация и сопротивление воздуха. Ускорение шара к земле является ускорение силы тяжести минус замедление из-за сопротивления воздуха. Гравитация считаются постоянными, и сопротивления воздуха может быть смоделирована как пропорционально скорости шара. Это означает, что ускорение шара, который является производным от его скорости, зависит от скорости (и скорость зависит от времени). Нахождение скорости как функции времени включает в себя решения дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения математической изучаются с различных точек зрения, в основном связанные с их решениями, набор функций, которые удовлетворяют уравнению. Только простейшие дифференциальные уравнения допускают решения задаются явными формулами, однако некоторые свойства решений данного дифференциального уравнения может быть определена, не находя их точные формы. Если автономные формула для решения нет, решение может быть численно аппроксимируется с помощью компьютеров. Теория динамических систем делает акцент на качественный анализ системы, описываемые дифференциальными уравнениями, в то время как многие численные методы были разработаны для определения решений с заданной степенью точности.

^ Направления исследований
Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики, физики, метеорологии и техники. Все эти дисциплины связаны с свойства дифференциальных уравнений различных типов. Чистая математика фокусируется на существование и единственность решения, в то время как прикладная математика подчеркивает строгое обоснование методы аппроксимации решений. Дифференциальные уравнения играют важную роль в моделировании практически все физические, технические и биологические процессы, от движения небесных, для проектирования моста, взаимодействие между нейронами. Дифференциальных уравнений, таких как те, которые используются для решения реальных проблем, не обязательно может быть непосредственно разрешима, т. е. не имеют закрытые решения форме. Вместо этого, решение может быть аппроксимирована с помощью численных методов.
Математики также изучать слабые растворы (опираясь на слабые производные), которые являются типы решений, которые не должны быть differentiableevervwhere. Это расширение часто необходимо для решения существуют, и это также приводит к физически более разумным свойств решений, таких как возможное присутствие потрясений для уравнений гиперболического типа.
Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений, известная как теория устойчивости.

Номенклатура
Теории дифференциальных уравнений хорошо развита и методы, используемые для их изучения значительно различаться в зависимости от типа уравнения.

^ Обыкновенные и частичного
обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) это дифференциальное уравнение, в котором неизвестной функцией (также известный как зависимая переменная) является функцией одной независимой переменной. В простейшей форме, искомая функция является вещественной или комплексной функции, но в целом, это может быть векторная или матричная: это соответствует рассмотрению системы обыкновенных дифференциальных уравнений для одной функции.
Обыкновенные дифференциальные уравнения классифицируются в соответствии с порядком старшей производной зависимой переменной по отношению к независимой переменной, входящих в уравнение. Наиболее важные дела для приложений первого и второго порядка дифференциальных уравнений. Например, дифференциальные уравнения Бесселя
  
(В котором у-зависимая переменная) является второго порядка дифференциального уравнения. В классической литературе различают также между дифференциальными уравнениями явно разрешенных относительно старшей производной и дифференциальных уравнений в неявной форме. Также важным является степень, или (самый высокий) власти, старшей производной(ых) в уравнение (CL: степень многочлена). Дифференциальное уравнение является нелинейным, если его степень не один (достаточно, но ненужное состояние).
уравнение в частных производных (PDE) это дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция является функцией нескольких независимых переменных и уравнение включает в себя ее частных производных. Порядок определяется как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, но дальнейшая классификация в эллиптических, гиперболических и параболических уравнений, особенно для второго порядка линейных уравнений, имеет первостепенное значение. Некоторые уравнений в частных производных не подпадают ни под одну из этих категорий во всей области независимых переменных, и они, как говорят, смешанного типа.

^ Линейные и нелинейные
Обыкновенных и в частных дифференциальных уравнений широко классифицировать как линейные и нелинейные.
• дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и ее производные по всей видимости, власти 1 (продукты не допускаются) и нелинейной иначе. Характерным свойством линейных уравнений является то, что их решения образуют аффинное подпространство в соответствующем функциональном пространстве, что приводит к гораздо более развитой теории линейных дифференциальных уравнений. Однородные линейные дифференциальные уравнения являются дальнейшим подкласс, для которых пространство решений является линейным подпространством, то есть сумма любого множества решений или несколько решений также является решением. Коэффициенты неизвестной функции и ее производных в линейных дифференциальных уравнений могут быть (известных) функции независимой переменной или переменных, если эти коэффициенты являются константами то говорят о постоянном коэффициенте линейного дифференциального уравнения.
• Есть очень мало методы решения нелинейных дифференциальных уравнений точно, а те, которые, как известно правило, зависит от уравнения, имеющего частности симметрии. Нелинейных дифференциальных уравнений может демонстрировать очень сложное поведение в течение длительного промежутки времени, характерной для хаоса. Даже коренные вопросы существования, единственности и продолжаемости решений нелинейных дифференциальных уравнений и корректности начальных и краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных трудно проблем и их решения в особых случаях считается значительным шагом вперед в математическом теории (см. Навье-Стокса, существование и гладкость).
Линейные дифференциальные уравнения часто появляются как приближения к нелинейным уравнениям. Эти приближения действительны только в ограниченных условиях. Например, уравнения гармонических осцилляторов является приближением к нелинейным уравнением маятника, который действителен для малых колебаний амплитудой (см. ниже).

Примеры
В первой группе примеров, пусть и неизвестной функцией х, с и и) известны константы.
• Неоднородные первого порядка постоянный коэффициент линейного обыкновенного дифференциального уравнения:
 
• Однородная второго порядка линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
 
• Однородная второго порядка линейные постоянный коэффициент обыкновенных дифференциальных уравнений описывающих гармонического осциллятора:
 
Неоднородные первого порядка нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
 
• второго порядка нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение маятника длиной L:
 
В следующей группе примеров, неизвестной функции зависит от двух переменных х и т и х и у.
• Однородная первого порядка линейное уравнение в частных производных:
 
• Однородная второго порядка линейные постоянный коэффициент уравнения в частных производных эллиптического типа, уравнение Лапласа:
 
• третьего порядка нелинейного уравнения в частных производных, Korteweq-де Фриза:

Понятия, связанные с
дифференциального уравнения с запаздыванием (DDE) является уравнением для функции одной переменной, обычно называют время, в которых производная функции в определенное время дается в терминах значений функции в более ранние времена.
стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) является уравнение, в котором неизвестной величиной является случайным процессом и уравнение включает в себя некоторые известные стохастические процессы, например, процесс Винера в случае диффузии.
дифференциально-алгебраических уравнений (DAE) является дифференциальным уравнением содержащие дифференциальных и алгебраических терминах, заданных в неявном виде.

^ Подключение к разностным уравнениям
См. также: исчисление времени шкале
Теории дифференциальных уравнений тесно связана с теорией разностных уравнений, в которой координаты принимают только дискретные значения, и отношение включает в себя значения неизвестной функции или функции и значения в соседних координат. Многие методы вычисления численного решения дифференциальных уравнений или изучаем свойства дифференциальных уравнений связаны с приближением решением дифференциального уравнения по решению соответствующего уравнения разницы.

^ Универсальность математического описания
Многие фундаментальные законы физики и химии может быть сформулирована в виде дифференциальных уравнений. В биологии и экономики, дифференциальных уравнений используются для моделирования поведения сложных систем. Математическая теория дифференциальных уравнений первого разработанный совместно с науках, где уравнения зародились и где результаты нашли применение. Тем не менее, различные проблемы, иногда возникающие в совершенно различных областях науки, может привести к возникновению идентичных дифференциальных уравнений. Всякий раз, когда это происходит, математическая теория, лежащая уравнений можно рассматривать как объединяющий принцип, лежащий в разнообразных явлений. В качестве примера, рассмотрим распространение света и звука в атмосфере, и волны на поверхности пруда. Все они могут быть описаны одним и тем же второго порядка уравнение в частных производных, волновое уравнение, которое позволяет нам думать, света и звука как формы волны, так же, как знакомые волны в воде. Теплопроводности, теория которого была разработана Жозеф Фурье, регулируется другим частных производных второго порядка дифференциального уравнения, уравнения теплопроводности. Оказалось, что многие процессы диффузии, в то время как казалось бы, разные, описанные тем же уравнением; Блэка-Скоулза уравнения в области финансов. Например, связанные с уравнением теплопроводности.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики iconЛабораторная работа №2 подбор константы скорости химичесеой реакции...
Закрепить методику формирования математической модели кинетики химической реакции в форме дифференциальных уравнений

Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики iconВопросы к экзамену по курсу дифференциальных уравнений
Виды дифференциальных уравнений. Интеграл дифференциального уравнения. Общий интеграл. Интегральная кривая

Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики iconНахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем...
Тема: Нахождение решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений при помощи формул Эйлера и Рунге...

Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики iconВопросы к зачету
Модифицированный метод Эйлера при решении обыкновенных дифференциальных уравнений

Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики iconДипломная работа по методике преподавания математики представляет...
Сборник методических рекомендаций по подготовке дипломных работ по методике преподавания математики

Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики iconПодготовить ответы на вопросы!!!!
Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы...

Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики iconЧисленнное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Оду называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде оду первого порядка...

Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики iconКурсовая работа по дисциплине: «Вычислительная математика» на тему:...
Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования

Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики iconФакультет прикладной математики и физики
Минимальное необходимое количество памяти для одномерного клеточного автомата – Memmin = (N+k), а максимальное – Memmax = (2N)

Исследование дифференциальных уравнений широкое поле в чистой и прикладной математики iconКрасочная афиша с названием сказки, дворец царицы наук Математики,...
Окружении чисел и математических знаков, принцесса Алгебра в окружении уравнений. Звучит песня «Дважды-два – четыре». Выходит на...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов