Лекция 13




Скачать 58.41 Kb.
НазваниеЛекция 13
Дата публикации22.07.2013
Размер58.41 Kb.
ТипЛекция
zadocs.ru > Математика > Лекция

Лекция 13



На предыдущей лекции был сформулирован метод гармонической линеаризации нелинейностей.

Наличие в САУ линейной части, обладающей свойством фильтра, позволило рассматривать периодический выход нечётной нелинейности в виде
,

где

.

Тем самым, нелинейности мы ставим в соответствие передаточную функцию

.

Звено, описываемое этой передаточной функцией, не является линейным (по определению), ибо её коэффициенты зависят от амплитуды входного сигнала. Однако, учитывая линейность передаточной функции звена по s (линейность по форме), мы, понимая ограниченность получаемых результатов, можем для анализа нелинейных систем использовать наш арсенал методов анализа линейных систем.

Амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена в результате подстановки имеет вид

,

т.е зависит только от амплитуды и не зависит от частоты, в противоположность характеристикам линейных звеньев.
^ Определение автоколебаний, анализ устойчивости

(нечётные нелинейности)






Периодическое колебательное решение в предположении g(t)=0 (авто-колебание), ищем в виде

.

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы имеет вид

1 + Wн Wл=0.
Алгебраический способ определения автоколебаний
Перепишем характеристическое уравнение в виде

.

Периодическое решение соответствует паре частот мнимых корней этого характеристического уравнения.

Полагая , получим

.

Выделяя действительную и мнимую части уравнения, получим
(1)

откуда

и

Имеем два уравнения с двумя неизвестными a и , определяющими соответственно амплитуду и частоту собственного гармонического колебания нелинейной системы (т.е. a и автоколебания).

Обозначая

,

из условия

,

получаем ещё одну форму записи уравнений для a и :
. (2)
Для однозначных нелинейностей ()

.

т.е. частота автоколебаний определяется линейной частью системы.
Определив таким образом периодическое решение, надо исследовать его устойчивость. Если оно устойчиво, то это означает автоколебательный процесс.

Введём малые начальные отклонения амплитуды и собственных значений от их величин a и ω в гармоническом решении

. (3)

Этим выражением описывается колебательный переходный процесс вблизи чисто гармонического

.

Для устойчивости рассматриваемого гармонического процесса необходимо, чтобы

.

Переходя от (3) к



и используя (1), получаем
.

Разлагая данное выражение в ряд Тейлора и учитывая, что
,

имеем

.

Выделяя действительную и мнимую части получаем систему двух уравнений, а исключая и разрешая полученную систему относительно ,получим

.

Следовательно, для устойчивости требуется выполнение неравенства

(4)

В дополнение к этому нужно потребовать, чтобы в характеристическом уравнении гармонически линеаризованной системы

,

все корни (кроме использованной нами пары чисто мнимых корней) имели отрицательные вещественные части, т.е. чтобы многочлен удовлетворяет критерию Раусса-Гурвица (или Михайлова).

Итак, критерием устойчивости периодического решения является неравенство (4) с добавлением вышеуказанного условия.
^ Частотно-графический способ определения автоколебаний
Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы имеет вид:

.

Периодическому решению (колебательным корням) соответствует
.
Это уравнение определяет a и.
Решается оно графически нанесением на плоскость {U,V} амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) линейной части , а также обратной АФХ нелинейности с противоположным знаком. Точка их пересечения и определяет величины a и, причём значение а отсчитывается по кривой , а значение – по кривой .
Условия устойчивости определяются следующим образом. Придадим амплитуде отклонение . Система будет возвращаться к периодическому решению, если при колебания затухают, а при - расходятся. Следовательно, при характеристика должна деформироваться так, чтобы критерий Найквиста соблюдался, а при - нарушался.
^ Определение вынужденных колебаний
Поскольку для нелинейных систем неприменим принцип суперпозиции, то, вообще говоря, в рассматриваемом случае нельзя складывать частные решения при различных внешних воздействиях, найденных по отдельности, а также складывать свободные и вынужденные колебания. Особое нелинейное сложение решений возможно, если решения отличаются по степени медленности протекания их по времени.

Ограничимся рассмотрением одночастотных вынужденных колебаний, когда эти колебания происходят с частотой внешнего периодического воздействия. Форма колебаний, как и прежде, на основании гипотезы фильтра, будет считаться близкой к синусоидальной для переменной x, от которой зависит нелинейная функция. Существование одночастотных вынужденных колебаний во многих случаях обуславливаются некоторыми ограничениями на частоту и амплитуду внешнего воздействия, т.е. некоторыми условиями захвата (см. ниже). Будем предполагать выполнение этих условий.

Итак, рассмотрим следующую структурную схему:



, .

Дифференциальное уравнение движения имеет вид (g(t)=0)


или


В предположении гипотезы фильтра, имеем

. (5)

то есть, предполагаем, что вынужденное колебание отличается от внешнего воздействия фазой и амплитудой.

Далее

.

Тогда

,

где

.

Условное характеристическое уравнение имеет вид

.

Предполагаемое искомое решение (5) является гармоническим колебанием с амплитудой и фазой . Поэтому при подстановке величин и в коэффициенты характеристического уравнения оно должно превратится в однородное уравнение с постоянными коэффициентами, имеющее пары корней .

Поэтому, заменяя на , получим

.

Учитывая, что , получаем искомое уравнение
(6)

Решая это уравнение, определяем и . Если решение существует, то существует и искомое одночастотное колебание.

Это уравнение можно решать, например, графически.

Для каждого значения частоты входящего воздействия при заданных параметрах системы на комплексной плоскости строится кривая

.

Эта кривая соответствует левой части равенства (6). Правая часть изобразится в виде окружности радиуса .

Точка пересечения кривых даёт решение задачи, причём в точке пересечения по дуге окружности определяется фазовый сдвиг , а по кривой Z(a) – величина амплитуды вынужденных колебаний.

Возможны случаи, когда окружности пересекают кривую Z(a) только при радиусе . В этом случае одночастотные вынужденные колебания возможны только при достаточно большой амплитуде aв. Это свойство называется условием захвата.



14.07.2013
Л13 из

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекция 13 iconКурс лекций (под редакцией профессора В. Ф. Беркова) 2-е издание...
Авторский коллектив: Н. С. Щекин (лекция 8); Г. И. Касперович (лекция 9); В. Ф. Берков (лекция 10); И. Г. Подпорин (лекция 11); В....

Лекция 13 iconЛекция I и проблема языка и сознания лекция II 31 слово и его семантическое...
Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного...

Лекция 13 iconЛекция I и проблема языка и сознания лекция II 31 слово и его семантическое...
Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного...

Лекция 13 iconМетодические рекомендации вводная лекция введение в курс лекция 2
Лекция 15. Финансирование государственной службы. Контроль и надзор за соблюдением законодательства о государственной службе

Лекция 13 iconЛекция религии современных неписьменных народов: человек и его мир...
Редактор Т. Липкина Художник Л. Чинёное Корректор Г. Казакова Компьютерная верстка М. Егоровой

Лекция 13 iconЛекция I. Предмет, система и основные понятия
Лекция II. Судебная власть и правосудие

Лекция 13 iconЛекция 5
Лекция Государственное регулирование внешнеэкономической деятельности: сущность, методы (тарифные и нетарифные)

Лекция 13 iconЛекция роль государства и права в жизни общества 2 часа 8 Лекция...
Лекция основные правовые системы современности. Международное право как особая система права – 2 часа 65

Лекция 13 iconЛекция Эстетика как философская наука
Лекция Модернизм и постмодернизм в искусстве и эстетической теории ХХ века

Лекция 13 iconЛекция №1 Курс «Метрология и стандартизация»
Введение. Предмет дисциплины. Краткие сведения из истории метрологии и стандартизации (Лекция №1)

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов