Лекция 13
Скачать 58.41 Kb.
|
Лекция 13На предыдущей лекции был сформулирован метод гармонической линеаризации нелинейностей. Наличие в САУ линейной части, обладающей свойством фильтра, позволило рассматривать периодический выход нечётной нелинейности в виде  ,где  .Тем самым, нелинейности  мы ставим в соответствие передаточную функцию .Звено, описываемое этой передаточной функцией, не является линейным (по определению), ибо её коэффициенты зависят от амплитуды входного сигнала. Однако, учитывая линейность передаточной функции звена по s (линейность по форме), мы, понимая ограниченность получаемых результатов, можем для анализа нелинейных систем использовать наш арсенал методов анализа линейных систем. Амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена в результате подстановки  имеет вид ,т.е зависит только от амплитуды и не зависит от частоты, в противоположность характеристикам линейных звеньев. ^ (нечётные нелинейности)  Периодическое колебательное решение в предположении g(t)=0 (авто-колебание), ищем в виде  .Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы имеет вид 1 + Wн Wл=0. Алгебраический способ определения автоколебаний Перепишем характеристическое уравнение в виде  .Периодическое решение соответствует паре частот мнимых корней  этого характеристического уравнения. Полагая  , получим .Выделяя действительную и мнимую части уравнения, получим  (1)откуда  и  Имеем два уравнения с двумя неизвестными a и  , определяющими соответственно амплитуду и частоту собственного гармонического колебания нелинейной системы (т.е. a и автоколебания).Обозначая  , из условия  ,получаем ещё одну форму записи уравнений для a и : . (2)Для однозначных нелинейностей (  )  .т.е. частота автоколебаний определяется линейной частью системы. Определив таким образом периодическое решение, надо исследовать его устойчивость. Если оно устойчиво, то это означает автоколебательный процесс. Введём малые начальные отклонения  амплитуды и  собственных значений от их величин a и ω в гармоническом решении . (3)Этим выражением описывается колебательный переходный процесс вблизи чисто гармонического  .Для устойчивости рассматриваемого гармонического процесса необходимо, чтобы  .Переходя от (3) к  и используя (1), получаем  .Разлагая данное выражение в ряд Тейлора и учитывая, что ,имеем  .Выделяя действительную и мнимую части получаем систему двух уравнений, а исключая  и разрешая полученную систему относительно  ,получим .Следовательно, для устойчивости требуется выполнение неравенства  (4)В дополнение к этому нужно потребовать, чтобы в характеристическом уравнении гармонически линеаризованной системы  ,все корни (кроме использованной нами пары чисто мнимых корней) имели отрицательные вещественные части, т.е. чтобы многочлен удовлетворяет критерию Раусса-Гурвица (или Михайлова). Итак, критерием устойчивости периодического решения является неравенство (4) с добавлением вышеуказанного условия. ^ Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы имеет вид:  .Периодическому решению (колебательным корням) соответствует  .Э  то уравнение определяет a и.Решается оно графически нанесением на плоскость {U,V} амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) линейной части  , а также обратной АФХ нелинейности с противоположным знаком. Точка их пересечения и определяет величины a и, причём значение а отсчитывается по кривой  , а значение – по кривой .Условия устойчивости определяются следующим образом. Придадим амплитуде отклонение . Система будет возвращаться к периодическому решению, если при  колебания затухают, а при  - расходятся. Следовательно, при характеристика  должна деформироваться так, чтобы критерий Найквиста соблюдался, а при - нарушался.^ Поскольку для нелинейных систем неприменим принцип суперпозиции, то, вообще говоря, в рассматриваемом случае нельзя складывать частные решения при различных внешних воздействиях, найденных по отдельности, а также складывать свободные и вынужденные колебания. Особое нелинейное сложение решений возможно, если решения отличаются по степени медленности протекания их по времени. Ограничимся рассмотрением одночастотных вынужденных колебаний, когда эти колебания происходят с частотой внешнего периодического воздействия. Форма колебаний, как и прежде, на основании гипотезы фильтра, будет считаться близкой к синусоидальной для переменной x, от которой зависит нелинейная функция  . Существование одночастотных вынужденных колебаний во многих случаях обуславливаются некоторыми ограничениями на частоту и амплитуду внешнего воздействия, т.е. некоторыми условиями захвата (см. ниже). Будем предполагать выполнение этих условий.Итак, рассмотрим следующую структурную схему:   ,  .Дифференциальное уравнение движения имеет вид (g(t)=0)  или  В предположении гипотезы фильтра, имеем  . (5)то есть, предполагаем, что вынужденное колебание отличается от внешнего воздействия фазой и амплитудой. Далее   . Тогда  , где    .Условное характеристическое уравнение имеет вид  .Предполагаемое искомое решение (5) является гармоническим колебанием с амплитудой  и фазой . Поэтому при подстановке величин и в коэффициенты характеристического уравнения оно должно превратится в однородное уравнение с постоянными коэффициентами, имеющее пары корней  .Поэтому, заменяя на  , получим  .Учитывая, что  , получаем искомое уравнение  (6)Решая это уравнение, определяем и . Если решение существует, то существует и искомое одночастотное колебание.Это уравнение можно решать, например, графически. Для каждого значения частоты  входящего воздействия при заданных параметрах системы на комплексной плоскости строится кривая  . Эта кривая соответствует левой части равенства (6). Правая часть изобразится в виде окружности радиуса  .Точка пересечения кривых даёт решение задачи, причём в точке пересечения по дуге окружности определяется фазовый сдвиг , а по кривой Z(a) – величина амплитуды вынужденных колебаний. Возможны случаи, когда окружности  пересекают кривую Z(a) только при радиусе  . В этом случае одночастотные вынужденные колебания возможны только при достаточно большой амплитуде aв. Это свойство называется условием захвата.Л13 из |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Авторский коллектив: Н. С. Щекин (лекция 8); Г. И. Касперович (лекция 9); В. Ф. Берков (лекция 10); И. Г. Подпорин (лекция 11); В.... | | Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного... |
| Монография представляет собой изложение курса лекций, про* читанных автором на факультете психологии Московского государственного... | | Лекция 15. Финансирование государственной службы. Контроль и надзор за соблюдением законодательства о государственной службе |
| Редактор Т. Липкина Художник Л. Чинёное Корректор Г. Казакова Компьютерная верстка М. Егоровой | | Лекция II. Судебная власть и правосудие |
| Лекция Государственное регулирование внешнеэкономической деятельности: сущность, методы (тарифные и нетарифные) | | Лекция основные правовые системы современности. Международное право как особая система права – 2 часа 65 |
| Лекция Модернизм и постмодернизм в искусстве и эстетической теории ХХ века | | Введение. Предмет дисциплины. Краткие сведения из истории метрологии и стандартизации (Лекция №1) |