Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования




НазваниеРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница1/11
Дата публикации25.07.2013
Размер1.44 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тобольская государственная социально-педагогическая академия

им. Д.И. Менделеева”
Кафедра математики, ТиМОМ

Валицкас А.И.

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

НАУК

Тобольск – 2012

С О Д Е Р Ж А Н И Е


Глава III.

Евклидовы пространства . . . . . .

3




§ 1. Определения, примеры и простейшие свойства . .

3




§ 2. Длины и углы в евклидовых пространствах . .

6




§ 3. Ортогональные базисы евклидовых пространств . .

8




§ 4. Изоморфизм евклидовых пространств . .

10










Глава IV.

Линейные операторы в векторных пространствах .

13




§ 1. Определение и простейшие свойства . . . .

13




§ 2. Матричный формализм в векторных пространствах .

20




§ 3. Матрица перехода от базиса к базису . . . .

25




§ 4. Матрица линейного оператора . . . . .

28




§ 5. Образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора . .

32




§ 6. Инвариантные подпространства линейного оператора .

37




§ 7. Собственные числа и векторы линейного оператора .

40




§ 8. Подобные матрицы и их спектральные задачи . .

47




§ 9. О подобии матриц . . . . . .

48




§ 10. Спектр симметричного оператора . . . .

57










Глава V.

Дифференцирования в банаховых пространствах .

64




§ 1. Метрические и банаховы пространства . . .

64










Литература

. . . . . . . . . . .

75





^ ГЛАВА III. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определения, примеры и простейшие свойства
Пусть V – векторное пространство над R . Скалярным произведением на V называется отображение от двух аргументов (_ , _) : VV R , обладающее следующими свойствами:

1. свойство неотрицательности: v V \ {0} (v , v) > 0,

2. свойство аддитивности по первому аргументу:

u, v, w V (u + v , w) = (u , w) + (v , w),

3. свойство однородности по первому аргументу:

u, v V R (u , v) =  (u , v),

4. свойство симметричности: u, v V ( u , v) = ( v , u) .

Примеры: 1. Пусть V = R2. Если для u = (x1 , x2) V, v = (y1 , y2) V определить (u , v) формулой (u , v) = x1y1 + x2y2 , то нетрудно понять, что таким образом будет задано скалярное произведение на R2 (?!). Это скалярное произведение не единственно: например, можно было задать на V другое скалярное произведение (u , v) = x1 y1 + 2x2y2 .

2. Пусть V = V2(O, R) – векторное пространство всех направленных отрезков плоскости, отложенных от фиксированной точки О. Тогда скалярное произведение на V можно задать формулой (u , v) = |u||v|cos , где угол между векторами u и v. В этом можно убедиться, например, так: введя на плоскости прямоугольную систему координат с центром в точке О (см. рис.), получим

(u, v) = x1y1+x2y2 = |u|cos(+)|v|cos + |u|sin(+)|v|sin =

= |u||v|[cos(+)cos + sin(+)sin] = |u||v|[coscos2 – sinsincos +

+ sinsincos + cossin2] = |u||v|cos .

Поэтому можно воспользоваться предыдущим примером. А как можно проще проверить свойства этого скалярного произведения ?

^ 3. Предыдущие примеры можно обобщить на другие пространства, например, на V = R3 и V = V3(O, R) (как ?!).

4. Формула (u, v) = x1y1 + … + xnyn задаёт скалярное произведение векторов u = (x1 ; … ; xn), v = (y1 ; … ; yn) пространства Rn, называемое стандартным. Аналогично определяется стандартное скалярное произведение векторов пространства nR .

5. Пусть V = { f : [0, 1] R | f непрерывна и интегрируема на [0, 1]}. Тогда формула (f, g) = задаёт скалярное произведение на V.

Упражнения: 1. При каких условиях на коэффициенты a, b, c, d, e R формула ( u , v) = ax1y1 + bx1y2 + cx2y1 + dx2y2 + e задаёт скалярное произведение в R2 ?

2. Будет ли ( u , v) = x1y1 + … + xn–1yn–1 – xnyn скалярным произведением в Rn ?
Свойства скалярного произведения
10. скалярное произведение аддитивно по второму аргументу:

u, v, w V (u , v + w) = (u , v) + (u , w).

Действительно, используя свойства симметричности и аддитивности по первому аргументу, имеем:

(u , v + w) = (v + w, u) = (v, u) + (w, u) = (u, v) + (u, w) .

20. скалярное произведение однородно по второму аргументу:

u, v V R (u, v) = (u, v).

Аналогично предыдущему, (u, v) = (v, u) = (u, v).

30. v V (v, 0) = (0, v) = 0 .

В самом деле, по свойству 20, (v, 0) = (v, 00) = 0(v, 0) = 0.

40. скалярное произведение билинейно: k, n N u1 , … , un , v1 , … , vk V

 1 , … , n , 1 , … , k R .

В самом деле, используя свойства аддитивности и однородности, имеем:



50. Пусть V – конечномерное векторное пространство со скалярным произведением и базисом (e1 , … , en ). Тогда скалярное произведение однозначно определяется значениями (ei , ej ) (1 n).

Если , то . Таким образом, скалярное произведение векторов u, v V полностью определяется их координатами i , j и указанными скалярными произведениями базисных векторов.

60. Если V – конечномерное векторное пространство со скалярным произведением и базисом e = (e1 , … , en), где (ei , ej) = , то u, v V (u, v) = [u]e[v]e (напомним, что [x]e – координатная строка вектора x V в базисе e).

Если , то .

Любая упорядоченная пара (V, (_, _)), где Vвекторное пространство, а (_, _) – скалярное произведение на V , называется евклидовым пространством. Необходимость такого формализма вызвана тем, что скалярное произведение на V можно задать по-разному. Поэтому, например,

(R2, (u, v) = x1y1 + 2x2y2) (R2, (u, v) = x1y1 + x2y2).

Евклидово пространство (Rn, (u, v) = x1y1 + … + xnyn) называется стандартным n-мерным евклидовым пространством, а скалярное произведение, заданное в нём – стандартным скалярным произведением в Rn.

§ 2. Длины и углы в евклидовых пространствах
Пусть (V, (_, _)) – евклидово пространство. Для каждого v V назовём длиной v (или его нормой) величину |v| = . Ввиду свойства неотрицательности скалярного произведения, длина любого вектора определена.
^ Свойства длины в евклидовых пространствах
10. v V |v| 0, v V |v| = 0 v = 0.

Оба утверждения выполнены ввиду свойства неотрицательности и свойства 30 скалярного произведения.

20. v V R |v| = |||v|.

Это верно ввиду однородности скалярного произведения (?!).

30. u, v V |(u , v)| |u||v| – неравенство Коши-Буняковского-Шварца.

Действительно, пусть t – произвольное действительное число. Тогда, по свойствам скалярного произведения имеем:

0 (u + tv, u + tv) = (u, u) + 2t(u, v) + t2(v, v).

Итак, полученный квадратный трёхчлен всюду неотрицателен. Поэтому его дискриминант неположителен: D = (2(u , v))2 – 4(u, u)(v, v) 0, т.е. (u, v)2 (u, u)(v, v) = (|u||v|)2 , что и требовалось.

40. u, v V | u + v| |u| + |v| – неравенство треугольника.

| u+v| |u| + |v| | u+v|2 (|u| + |v|)2

(u + v, u + v) (u, u) + 2 + (v, v)

(u , u)+2(u , v)+(v, v) (u , u) + 2 + (v , v)

(u , v) .

Последнее неравенство следует из неравенства Коши-Буняковского. (А почему справедлива первая эквивалентность в этой цепочке ?!).

Итак, в евклидовых пространствах можно оперировать с длинами, как в обычной геометрии на плоскости. Оказывается эта аналогия идёт ещё дальше: в евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между векторами. Именно, пусть u, vдва ненулевых вектора евклидова пространства V . По неравенству Коши-Буняковского, 0 1. Поэтому существует однозначно определённый угол [0, ], косинус которого равен . Назовем его углом между ненулевыми векторами u и v из векторного пространства V.

Понятие угла позволяет доказывать для произвольного евклидова пространства аналоги обычных теорем плоской геометрии. Например, аналог теоремы косинусов выглядит так:

^ Теорема (косинусов для евклидовых пространств). Пусть a, b произвольные ненулевые элементы евклидова пространства V (аналоги смежных сторон треугольника). Тогда |ab|2 = |a|2 + | b|2 – 2|a||b|cos , где – угол между векторами a , b.

Доказательство. По свойствам скалярного произведения и определению длин и угла, имеем:

|ab|2 = (a – b, a – b) = (a , a) – 2(a , b) + (b , b) = |a|2 + |b|2 – 2|a||b|cos .

Теорема доказана.

Упражнение. докажите аналоги теоремы Пифагора и теоремы синусов.

§ 3. Ортогональные базисы евклидовых пространств
Пусть V – конечномерное евклидово пространство, e = (e1 , … , en) – конечная система векторов в V. Система e называется ортогональной, если (ei , ej) = 0 при i j. Если в дополнение к этому длины всех векторов системы e равны 1, то она называется ортонормированной.

Замечание. Если n = 1, то условие ортогональности не требует ничего, а для ортонормированности необходимо и достаточно, чтобы |e1| = 1.

Примеры: 1. Пусть V = R3 – стандартное евклидово пространство. Тогда система векторов ((1; –1; 0), (1; 1; 0), (0; 0; 1)) является ортогональным, но не ортонормированным базисом, а система векторов

(( ; – ; 0), ( ; ; 0), (0; 0; 1))

является ортонормированным базисом пространства V.

2. Стандартный базис стандартного евклидова пространства ортонормирован.

Замечание. Если базис e = (e1 , … , en ) векторного пространства V ортогонален, то система векторов f = {fi = ei | 1 i n } является ортонормированным базисом .

В самом деле, система f = (f1 , … , fn) эквивалентна системе e (т.к. каждый её вектор получен умножением соответствующего вектора системы e на ненулевой скаляр). Поэтому f – базис. Кроме того,

(fi , fj) = (ei , ej ) = (ei , ej ) = .

Таким образом, система f ортогональна и |fi| = 1 (1 i n), что и требовалось.

Теорема (об ортонормированном базисе). Ненулевое конечномерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом.

Доказательство. Пусть V – ненулевое n-мерное евклидово пространство с базисом e = (e1 , … , en). Проведем индукцию по числу n.

Если n = 1, то f = () – искомый ортонормированный базис.

Предположим, что евклидово пространство с базисом (e2 , … , en) и тем же скалярным произведением, что и V, обладает ортонормированным базисом (f2 , … , fn). Найдём ортонормированный базис для V. Для этого рассмотрим вектор g = e1 – (e1 , f2)f2 – … – (e1 , fn)fn . Тогда

(g , fi ) = (e1 , fi ) = (e1 , fi) – =

= (e1 , fi )–(e1 , fi ) = 0,

т.к. (fk , fi ) = kiсимвол Кронекера (величина, равная 0 при k i и 1 – при k = i). Итак, система векторов (g , f2 , … , fn) ортогональна и эквивалентна системе (e1 , f2 , … , fn) – базису пространства V (?!), т.е. является ортогональным базисом V. Осталось заменить g на f1 = .

Теорема доказана.

Пример. Найти ортонормированный базис пространства, порожденного в R4 векторами e1 = (0; 1; 0; –1), e2 = (1; –1; 1; 0), e3 = (1; 0; 0; 1) (скалярное произведение в R4 предполагается стандартным).

Последовательно строим ортонормированный базис, как при доказательстве теоремы. Полагаем f3 = e3 = (1, 0, 0, 1) и g = e2 – (e2 , f3 )f3 = = (1; –1; 1; 0) – (1; 0; 0; 1) = ( ; –1; 1; – ). Тогда (g , f3 ) = 0, и можно положить f2 = = g = ( ; –1; 1; – ). Теперь (f2 , f3) – ортонормированная система векторов, эквивалентная (e2 , e3).

Точно так же, полагаем далее

g = e1 – (e1 , f2 )f2 – (e1 , f3 )f3 =

= (0; 1; 0; –1) – ( ; –1; 1;) (1; 0; 0; 1) =

= (0; 1; 0; –1) + ( ; –1; 1; – ) + (1; 0; 0; 1) = ( ; ; ; – ).

Система (g , f2 , f3 ) ортогональна и, значит, можно взять

f1 = = (3; 4; 1; –3).

Ответ: (3; 4; 1; –3), ( ; –1; 1; – ), (1; 0; 0; 1).

Описанный в теореме процесс построения ортогонального базиса, проиллюстрированный примером, называется процессом ортогонализации заданной системы векторов.

Упражнение. Проведите процесс ортогонализации векторов

(1; 2; 0; 0), (0; 2; 1; 0), (0; 0; 1; 2), (0; 0; 2; 1)

в стандартном евклидовом пространстве R4.

§ 4. Изоморфизм евклидовых пространств
Два евклидовых пространства (V1 , (_ , _)1) и (V2 , (_ , _)2) называются изоморфными, если существует изоморфизм h : V1 V2 векторных пространств, сохраняющий скалярное произведение:

u , v V1 (u , v)1 = (h(u), h(v))2 .

Упражнение. Приведите пример изоморфизма векторных пространств h : R2 R2, не являющегося изоморфизмом евклидовых пространств

(R2, (u , v)1 = u1v1 + u2v2), (R2, (u ,v)2 = u1v1 + 3u2v2).

Теорема (об изоморфизме евклидовых пространств). Два конечномерных евклидовых пространства изоморфны тогда и только тогда, когда одинаковы их размерности (т.е. когда они изоморфны как обычные векторные пространства без скалярного произведения).

Доказательство. Так как изоморфизм евклидовых пространств является изоморфизмом просто векторных пространств, то совпадение размерностей изоморфных евклидовых пространств следует из теоремы об изоморфизме векторных пространств.

Докажем теперь изоморфизм евклидовых пространств (V1 , (_ , _)1) и (V2 , (_ , _)2) при условии dim V1 = n = dim V2 . Если n = 0, то доказывать нечего (?!). Пусть n > 0, e = (e1 , … , en ) и f = (f1 , … , fn ) – некоторые ортонормированные базисы пространств V1 и V2 соответственно. Зададим функцию h : V1 V2 по правилу: если u = e[u]e , то h(u) = f[u]e (т.е. h переводит любой вектор пространства V1 в вектор с теми же координатами из пространства V2 ).

Так как координатный столбец [u]e определён однозначно, то h – всюду определенная на V1 функция, т.е. – отображение.

Она аддитивна: h(u + v) = f[u + v]e = f([u]e.+[v]e.) = f[u]e + f[v]e. = = h(u) + h(v) и однородна: h(u) = f[u]e = f[u]e = f[u]e = h(u), т.е. является гомоморфизмом векторных пространств.

Кроме того, h переводит базис e в базис f и поэтому (как было доказано ранее) является изоморфизмом векторных пространств. Наконец, учитывая ортонормированность выбранных базисов e и f , а также свойство 60 скалярного произведения, получаем:

(u , v)1 = ([u]e)[v]e = ([h(u)]f)[h(v)]f = (h(u), h(v))2 .

Теорема доказана.

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего Профессионального Образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов