Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования




НазваниеРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница10/11
Дата публикации25.07.2013
Размер1.44 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Доказательство. Пусть x0 E , x1 = f(x0), xn+1 = f(xn) (n N). Докажем, что эта последовательность фундаментальна, а потому и сходящаяся в полном метрическом пространстве E.

По неравенству треугольника при n m имеем

(xn , xm) (xn , xn–1) + (xn–1 , xm) (xn , xn–1) + (xn–1 , xn–2) + (xn–2 , xm) (xn , xn–1) + (xn–1 , xn–2) + … + (xm+1 , xm).

Ввиду сжимаемости рассматриваемого отображения верны неравенства

(xi , xi–1) = (f(xi–1), f(xi–2)) (xi–1 , xi–2)

c2·(xi–2 , xi–3) ci–1·(x1 , x0 ).

Значит, из предыдущего получаем

(xn , xm) (xn , xn–1) + (xn–1 , xn–2) + … + (xm+1 , xm)

cn–1·(x1 , x0 ) + cn–2·(x1 , x0 ) + … + cm·(x1 , x0 )

.

Если x1 = x0 , т.е. (x1 , x0 ) = 0, то доказывать нечего: x0неподвижная точка. В случае (x1 , x0 ) 0 для любого > 0 можно найти N N со свойством cN < , положив . Поэтому при n m N получим оценку (xn , xm) < .

Итак, последовательность {xn}n N фундаментальна, и (ввиду полноты пространства E) существует x = E. Соотношение xn+1 = f(xn) при n даёт (ввиду непрерывности функции f ) равенство x = f(x), т.е. xнеподвижная точка отображения f . Эта неподвижная точка единственна: если yещё одна неподвижная точка, то из условия сжимаемости получим (x, y) = (f(x), f(y)) c·(x, y) < (x, y) – противоречие.

Перейдя в неравенстве к пределу при n , получим требуемую оценку . Кроме того, из условия сжимаемости (xn+1 , xm+1) = (f(xn), f(xm)) c·(xn , xm) в пределе при m следует неравенство (xn+1 , x) c·(xn , x).

Теорема доказана.

Частным случаем метрического пространства является нормированное векторное пространство – это векторное пространство V над полем R c заданной нормой |||| : V R, удовлетворяющей свойствам:

неотрицательность: x, y V ||x|| 0 (||x|| = 0 x = 0),

однородность: R x V ||·x|| = |||x||,

неравенство треугольника: x, y V ||x + y|| ||x|| + ||y||.

Примеры: 1. На пространстве Rn можно задать следующие нормы ||x||2 = , ||x|| = , ||x||1 = . Легко понять, что ||x|| ||x||2 ||x||1 n·||x|| .

2. Любое нормированное векторное пространство V с нормой |||| можно превратить в метрическое пространство, задав индуцированную метрику формулой (x, y) = ||xy||.

3. На множестве F([0; 1], R) всех непрерывных функций, определённых на [0; 1] , со значениями в R нормой будет || f || = .

Поскольку нормированное пространство является метрическим, то в нём определяются понятия сходимости, которые для удобства читателя сформулируем в терминах нормы. Последовательность {xn}n N называется сходящейся к пределу x V : x = , если > 0 ( N N ( n N ||xnx|| < )). Последовательность {xn}n N называется фундаментальной или последовательностью Коши, если > 0 ( N N ( n, m N ||xnxm|| < )). Нормированное пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится. Полные нормированные пространства называют также банаховыми. Ясно, что нормированное пространство V с нормой |||| будет банаховым тогда и только тогда, когда оно полно относительно индуцированной метрики (x, y) = ||x y||.

Две нормы ||||1 и ||||2 на векторном пространстве V называются эквивалентными, если существуют константы m , M R со свойствами x V m·||x||1 ||x||2 M·||x||1 . Выше в примере 1 были приведены неравенства, показывающие эквивалентность норм ||x|| , ||x||2 , ||x||1 .

Упомянем без доказательства следующую важную теорему:

Теорема (об эквивалентности норм в Rn ). Любые две нормы в пространстве Rn эквивалентны. Это означает, что любые нормы в Rn определяют одну и ту же топологию: последовательности, сходящиеся по какой-то одной норме, сходятся и по другим нормам.

^ Матричные нормы

Множество M(n, R) всех квадратных nn-матриц над полем действительных чисел, как известно, образует векторное пространство размерности n2, которое можно отождествить с R. Поэтому можно определить следующие нормы на M(n, R):

||A||2 = , ||A|| = , ||A||1 = ,

где A = (aij) – квадратная nn-матрица с компонентами aij (1 n). Вопрос о том, почему эти нормы обозначены аналогично введённым выше векторным нормам, но некоторые из них выглядят иначе, будет обсуждаться позднее.

Примеры: 1. Для матрицы A = получаем

||A||2 = , ||A|| = max{|–1| + |2|, |3| + |5| } = 3,

||A||1 = max{|–1| + |3|, |2| + |5|} = 4.

2. Для единичной матрицы I = любого порядка значения всех рассматриваемых норм равны 1.

Оказывается, что эти нормы, определённые для матриц в векторном пространстве, тесно связаны с умножением матриц: A, B M(n, R) ||A·B|| ||A||·||B||.

Это легко проверить для |||| : если C = A·B, то cij = и . Поэтому ||C|| = ||A|| ·||B|| .

Для нормы ||||1 вычисления аналогичны. В случае ||||2 нужно проверить неравенство , справедливость которого можно уяснить, воспользовавшись неравенством Коши-Буня­ков­ского-Шварца – модуль скалярного произведения векторов не превосходит произведения их длин: . Поэтому



Есть другой, более общий, подход к определению матричных норм. Если задана некоторая векторная норма |||| в векторном пространстве nR всех столбцов длины n, то единообразно можно определить связанную с ней матричную норму ||A|| = sup{||A·x|| R | x nR , ||x|| = 1}. Этот супремум конечен, т.к. множество {x nR | ||x|| = 1} ограничено и замкнуто, так что непрерывная функция ||A·x|| на нём достигает максимума.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего Профессионального Образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов