Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования




НазваниеРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница2/11
Дата публикации25.07.2013
Размер1.44 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
ГЛАВА IV. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В

ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1. Определение и простейшие свойства
Пусть (V , +, { | F} ) и (W , , { | F} ) – два векторных пространства над одним и тем же полем F. Любой гомоморфизм векторных пространств : V W называют линейным оператором из (векторного пространства) V в (векторное пространство) W. Таким образом, линейный оператор, если он сохраняет операции сложения и умножения на скаляры, т.е. одновременно выполнены следующие условия:

(А): u, v V (u+v) = (u) (v) (условие аддитивности),

(О): F v V (v) = (v) (условие однородности).

Инъективный линейный оператор называется вложением (векторных пространств) или мономорфизмом, сюръективный – наложением или эпиморфизмом, а биективный гомоморфизм – изоморфизмом (векторных пространств). Если V = W, то линейный оператор : V V называют эндоморфизмом (векторного пространства V), а изоморфизм : V V – автоморфизмом (векторного пространства V).

Примеры: 1. Пусть : R2 R2 задано правилом (x; y) = (x – y; –2x). Докажем, что изоморфизм векторных пространств. Вначале проверим гомоморфность:

(А): u, v R2 (u+v) = (u) + (v)

Пусть u = (a; b), v = (c; d) R2. Тогда u + v = (a+c; b+d), (u+v) = = (a + c; b + d) = ((a + c)–(b + d); –2(a + c)) = (a – b; –2a) + (c – d; –2c) = = (a, b) + (c, d) = (u)+(v).

(O): F v R2 (v) = (v)

Пусть u = (a; b) R2, F. Тогда u = (a; b), (u) = (a;b) = = (a – b; –2a) = (a – b; –2a) = (u).

Итак, гомоморфизм векторных пространств. Выясним, к какому виду гомоморфизмов относится . Для этого проверим условия инъективности и сюръективности.

Инъективность: u, v R2 (u) = (v) u = v

Пусть u = (a; b), v = (c; d) R2 и (u) = (v), т.е. (ab; –2a) = = (cd; –2c) . Ясно, что тогда a = c и b = d, т.е. u = v. Значит вложение векторных пространств.

Сюръективность: Im() = R2, т.е. v R2 v R2 v = (u)

Пусть v = (c; d) R2 . Тогда

v = (c; d) = = Im().

Значит эпиморфизм векторных пространств.

Итак, изоморфизм векторных пространств.

2. Пусть F – поле, V = n F, A M(n, F). Тогда отображение m : n F n F, заданное правилом x n F m(x) = Ax является линейным оператором (?!).

3. Если (V, +, { | F}) – любое векторное пространство, а W = {0} – нулевое векторное пространство с естественными тривиальными операциями 0 0 = 0, F 0 = 0, то отображение 0 : V W , заданное правилом v V 0(v) = 0 будет эпиморфизмом векторных пространств (?!).

4. Если (V, +, { | F}) – любое векторное пространство, а W его подпространство, то тождественное отображение i: W V, определённое правилом w W i(w) = w является вложением (?!).

5. Отображение : R2 R2, заданное правилом (x; y) = (x + 1; 0) не является линейным оператором, т.к. не удовлетворяет условию аддитивности (?!).

6. Отображение : R+ R, заданное правилом (x) = не является линейным оператором, т.к. нарушено условие однородности (?!).

7. Пусть V = V2(O, R), : V V поворачивает любой вектор a V на фиксированный угол против часовой стрелки вокруг т. О (см. рис. 1).




Ясно, что функция всюду определена на V. Её аддитивность наглядна: если a, b V, то их сумма вычисляется по правилу параллелограмма (см. рис. 2). Под действием весь этот параллелограмм повернётся на угол , т.е. (a + b) = (a) + (b). Аналогично проверяется свойство однородности. Таким образом, поворот на фиксированный угол вокруг т. О является эндоморфизмом векторного пространства V2(O, R). На самом деле отображение взаимно однозначно (?!), так что автоморфизм.

8. Проверьте самостоятельно, что линейным оператором в V2(O, R) будет и проектирование векторов на фиксированную прямую l, проходящую через т. О, параллельно заданной пересекающей l прямой m. Будет ли этот линейный оператор автоморфизмом ?
Простейшие свойства линейных операторов
Всюду в дальнейшем (V , +, { | F} ) и (W , , { | F} ) – два векторных пространства над одним и тем же полем F, : V W – линейный оператор.

10. n N v1 , … , vn V 1 , … , n F

(1v1+…+nvn)=1(v1)n(vn)

Это доказывается индукцией по n, используя условия линейности и однородности.

20. (0V) = 0W

Действительно, ввиду свойства аддитивности имеем

(0V) + (0V) = (0V+0V) =(0V) = (0V) + 0W ,

откуда, сокращая обе части на (0V) в группе (W, +), получим требуемое равенство.

30. v V (–v) = (v)

В самом деле, по условию аддитивности имеем

(v) (–v) = (–v) (v) = (0V) = 0W .

40. Если : V W – мономорфизм, а u = (u1 , … , un) – линейно независимая система векторов векторного пространства V , то система векторов (u) = ((u1) , … , (un)) является линейно независимой в пространстве W.

Действительно, если 1(u1)n(un) = 0W , то

(1u1+…+nun) = 1(u1)n(un) = 0W = (0V),

откуда (ввиду инъективности ) получаем 1u1+…+nun = 0V . Значит по условию 1 = … = n = 0, что и требовалось доказать.

50. Если : V W – эпиморфизм, а u = (u1 , … , un) – система порождающих векторного пространства V , то (u) = ((u1) , … , (un)) является системой порождающих векторного пространства W.

В самом деле, для любого w W найдётся (ввиду сюръективности ) вектор v = 1u1+…+nun V со свойством w = (v) = (1u1+…+nun) = = 1(u1)n(un), что и требовалось.

60. Любой изоморфизм векторных пространств отображает линейно независимые системы векторов в линейно независимые, а системы порождающих – в системы порождающих. В частности любой изоморфизм векторных пространств отображает базисы одного пространства в базисы другого.

Следует из 40 и 50.

70. Пусть : V W и : V W – два линейных оператора и дан базис e = (e1 , … , en) векторного пространства V. Если (ei) = (ei) (1 i n), то = . Другими словами, линейный оператор полностью определяется значениями на базисных векторах.

Если v = 1e1 + … + nen V, то

(v) = (1e1 + … + nen) = 1(e1) + … + n(en) =

= 1(e1) + … + n(en) = (1e1 + … + nen) = (v).

Поэтому отображения и совпадают.

80. Пусть e = (e1 , … , en) – базис векторного пространства V , а w1 , … , wn – произвольные векторы из W. Тогда существует единственный линейный оператор : V W со свойством (ei) = wi (1 i n).

Единственность линейного оператора со сформулированным свойством следует из свойства 70. Докажем существование. Любой вектор v V однозначно раскладывается по базису e : v = 1e1 + … + nen . Поэтому формула (v) = 1 w1 + … + n wn однозначно определяет отображение : V W. Проверим, что линейный оператор.

(А): x, y V (x + y) = (x)(y)

Если x = 1e1+ … +nen , y = 1e1+ … +nen , то

x + y = (1+1)e1+ … +(n+n)en ,

(x) = 1 w1+ … +n wn , (y) = 1 w1+ … +n wn ,

(x + y) = (1+1) w1+ … + (n+n) wn =

= (1 w1+ … +n wn) + (1 w1+ … +n wn) = (x) + (y).

(O): x V V (x) = (x)

Если x = 1e1+…+nen , то

(x) = ((1)e1+…+(n)en) = (1) w1+…+(n) wn =

= (1 w1+…+n wn) = (x).

Таким образом, удовлетворяет условиям аддитивности и однородности, т.е. является линейным оператором.

90. Если : U V и : V W – два линейных оператора, то их композиция : U W будет линейным оператором, называемым произведением линейных операторов и .

Нужно проверить линейность и однородность для .

Аддитивность: u1 , u2 U (u1 + u2) = (u1) + (u2) .

Действительно, (u1 + u2) = ((u1 + u2)) = ((u1) + (u2)) = = ((u1)) + ((u2))) = (u1) + (u2) .

Однородность: u U F (u) =  ((u)) .

В самом деле, (u) = ((u)) = ((u)) =  (((u))) = =  ((u)).

В качестве следствия немедленно получается следующее свойство:

100. Композиция мономорфизмов – мономорфизм, композиция эпиморфизмов – эпиморфизм, композиция изоморфизмов – изоморфизм.

110. Если : V W и : V W – два линейных оператора, то отображение s : V W, заданное правилом v V s(v) = (v) (v) является линейным оператором, называемым (поточечной) суммой линейных операторов и и обозначаемым через .

Нужно проверить свойства аддитивности и однородности.

(А): x, y V s(x + y) = s(x) s(y)

Имеем s(x + y) = (x + y) (x + y) = ((x) (y)) ((x) (y)) = = ((x) (x)) ((y) (y)) = s(x) s(y).

(O): x V V s(x) =  s(x)

В самом деле, s(x) = (x) (x) = (x) (x) =

=  ((x) (x)) =  s(x).

Итак, sлинейный оператор.

120. Если : V W – линейный оператор, а F – произвольный скаляр, то отображение h : V W , заданное правилом v V h(v) = (v) является линейным оператором, называемым (поточечным) произведением линейного оператора на скаляр и обозначаемым через  .

Доказательство аналогично предыдущим.

130. Если : V W – изоморфизм векторных пространств, то обратное отображение –1 : W V также является изоморфизмом векторных пространств.

Нужно проверить только гомоморфность отображения –1 , т.к. его биективность следует из биективности отображения .

Линейность: w1 , w2 W –1(w1 w2) = –1(w1) + –1(w2).

В самом деле, если w1 , w2 W , то (ввиду эпиморфности ) найдутся v1 , v2 V со свойством wi = (vi) (i = 1, 2). Поэтому w1 w2 = (v1) (v2) = = (v1 + v2) и (по определению обратного отображения –1) –1(w1 w2) = = v1 + v2 = –1(w1) + –1(w2) .

Однородность: w W F –1( w) =  –1(w).

Действительно, если w W , то (ввиду эпиморфности ) найдётся v V со свойством w = (v). Поэтому w = (v) = (v) и (по определению обратного отображения –1) –1( w) = v =  –1(w) .

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего Профессионального Образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов