Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования




НазваниеРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница3/11
Дата публикации25.07.2013
Размер1.44 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
§ 2. Матричный формализм в векторных пространствах
Пусть V – векторное пространство над полем F, n N. Любой упорядоченный набор v = (v1 , … , vn) Vn, или аналогичный упорядоченный набор-столбец или даже множество v = {v1 , … , vn } V будем называть конечной системой векторов в пространстве V или кратко к.с.в. В каком именно виде будут возникать в дальнейшем к.с.в. зависит от контекста: к.с.в. в виде множества удобно использовать, если не существенен порядок рассматриваемых векторов; если же порядок важен для рассуждений, то будем использовать к.с.в. в виде строк или столбцов (в зависимости от специфики конкретной ситуации).

^ Пример: Пусть (–1; 2; 3), (3; 1; 1) R3. Тогда ((–1; 2; 3), (3; 1; 1)) (R3)2, 2(R3) , {(–1; 2; 3), (3; 1; 1)} R3 – конечные системы векторов.

Пусть v = {v1 , … , vn} – к.с.в. , 1 , … , n F. Тогда линейную комбинацию векторов 1v1+…+nvn V удобно записывать, используя матричные обозначения. Так, если v = (v1 , … , vn) Vn, = nF, то можно естественным образом определить результат умножения v “строки” v на столбец как v = (v1 , … , vn) = v11+…+vnn = 1v1+…+nvn V. Такая символика хорошо согласуется с обычными матричными обозначениями. В точности так же, если v = nV, = (1 ; … ; n) Fn , то можно определить результат умножения v строки на “столбец” v формулой v = (1 ; … ; n) = 1v1+…+nvn V. Таким образом, линейная комбинация векторов является результатом умножения векторной “строки” на скалярный столбец или скалярной строки на векторный “столбец”.

Матричный формализм можно расширить далее, распространив его на матрицы. Пусть v = (v1 , … , vn) Vn, А M(n, m, F). Тогда определим результат умножения к.с.в. v на матрицу A как к.с.в. vA = (u1 , … , um) Vm, где ui = va(i) = . Таким образом, каждый вектор к.с.в. u является результатом умножения строки v = (v1 , … , vn) на соответствующий столбец матрицы А . Аналогично определяется результат умножения матрицы A M(m, n, F) на к.с.в. v = : Av = mV, где компоненты ui вычисляются естественно: ui = aiv = .

Кроме того, условимся складывать две к.с.в. одинакового “размера” по обычному правилу: если v = (v1 , … , vn), u = (u1 , … , un) Vn , то полагаем v + u = (v1 + u1 , … , vn + un). Аналогично определяется сложение к.с.в. в виде столбцов: если v = , u = nV, то v+u = .
Простейшие свойства матричного формализма
10. Для любых к.с.в. u = (u1 , … , un), v = (v1 , … , vn), w = (w1 , … , wn) Vn сложение ассоциативно: (u+v)+w = u+(v+w).

20. Для любых к.с.в. u = (u1 , … , un), v = (v1 , … , vn) Vn сложение коммутативно: u+v = v+u.

30. Существует нулевая к.с.в. 0 = (0, … , 0) Vn со свойством нейтральности по сложению: для любой к.с.в v = (v1 , … , vn) Vn выполнено 0 + v = v = v + 0.

40. Для любой к.с.в. v = (v1 , … , vn) Vn существует противоположная к.с.в. –v = (–v1 , … , –vn) Vn со свойством v + (–v) = 0 = (–v) + v.

50. Для любой к.с.в. v = (v1 , … , vn) Vn и матриц А M(n, k, F), B M(k, m, F) справедлив аналог ассоциативности: (vA)B = v(AB).

60. Для единичной матрицы In M(n, F) и к.с.в. v = (v1 , … , vn) Vn выполнено равенство vIn = v.

70. Для любой к.с.в. v = (v1 , … , vn) Vn и матриц А, B M(n, m, F) справедлив аналог дистрибутивности v(A + B) = vA + vB.

8 0. Для любых к.с.в. u = (u1 , … , un), v = (v1 , … , vn) Vn и матрицы А M(n, m, F) выполнен аналог дистрибутивного закона: (u + v)A = = uA + vA.

Доказательства этих свойств полностью аналогичны соответствующим доказательствам правил действия со строками и матрицами. Например, свойство 50 можно доказать так: если vA = u Vk, uB = w Vm, AB = C, vC = x, то



Отметим попутно, что первые четыре свойства означают, что множество Vn всех n-элементных систем векторов является абелевой группой относительно введённой операции сложения к.с.в.

90. Для любых к.с.в. u = (u1 , … , un), v = (v1 , … , vn) Vn и обратимой матрицы А GL(n, F) равенство u = vA равносильно v = uA–1 .

Действительно, если u = vA, то uA–1 = (vA)A–1 = v(AA–1) = vIn = v. Точно так же из равенства v = uA–1 выводится равенство u = vA (?!).

100. Для любой к.с.в. v = (v1 , … , vn) Vn и матриц А, В M(n, m, F) равенство vA = vB равносильно равенству v(AB) = 0 Vn.

В самом деле, vA = vB ( j (1 j m) va(j) = vb(j)) ( j (1 j m) v(a(j) – b(j)) = 0 V) v(A – B) = 0 = (0, … , 0) Vn.

Упражнения: 1. Докажите все перечисленные выше и ещё недоказанные свойства.

2. Определите для каждого F такую унарную операцию  умножения произвольной к.с.в. v = (v1 , … , vn) Vn на любой скаляр F, чтобы алгебра (Vn, + , { | F}) была векторным пространством над полем F.

3. Сформулируйте и докажите аналогичные свойства к.с.в.-столбцов.

Следующие свойства используют матричный символизм для выражения некоторых фактов о линейно зависимых и линейно независимых системах векторов.

110. Имеет место эквивалентность: (к.с.в. v = (v1 , … , vn) Vn линейно зависима) ( nF \ {0} v = 0).

120. Имеет место эквивалентность: (к.с.в. v = (v1 , … , vn) Vn линейно независима) ( nF \ {0} v = 0 = 0)

Оба этих свойства являются переформулировками определений линейной зависимости и независимости на матричном языке.

130. Имеет место эквивалентность: (к.с.в. v = (v1 , … , vn) Vn линейно независима) ( A, B M(n, m, F) vA = vB A = B)

() Если v линейно независима и vA = vB, то v(AB) = 0, т.е. (по 120) все столбцы матрицы А – В нулевые, а значит А = В.

() следует из 120 , если положить A = , B = 0 .

140. Имеет место эквивалентность: (e = (e1 , … , en) – базис V) ( f = (f1 , … , fm) Vm ! T M(n, m, F) f = eT)

() Поскольку eбазис, каждый вектор fi однозначно записывается в виде линейной комбинации векторов системы e: fi = ti1e1 + … + tinen . Если T = (tij) – матрица с компонентами tij (1 i n, 1 j m ), то f = eT. Такая матрица T определена однозначно: если f = eT = eS, то ввиду линейной независимости базиса e, свойство 130 даёт T = S.

() Поскольку v V t nF v = te (применили условие для системы f = (v)), то L(e) = V. Кроме того, система e линейно независима: если et = 0 для некоторого t nF, то et = 0 = e0 , и условие единственности матрицы T для к.с.в. f = {0} даёт t = 0 . Таким образом, e является базисом векторного пространства V.

150. Пусть e = (e1 , … , en) – базис векторного пространства V, f = eT, где T M(m, n, F). Тогда ( f – базис V) (T – обратимая матрица, т.е. T GL(n, F))

() Если f = (f1 , … , fm) – базис, то n = m, т.к. базисы состоят из одного и того же числа векторов. Таким образом, Tквадратная матрица. Если она не обратима, то T левый делитель нуля: x nF \ {0} Tx = 0 , и fx = = eTx = e0 = 0, вопреки линейной независимости к.с.в. f .

() Во-первых, к.с.в. f линейно независима: если x nF \ {0} fx = 0 , то eTx = 0 и ввиду линейной независимости базиса e получаем Tx = 0 , т.е. x = T –1Tx = T –10 = 0противоречие.

Во-вторых, L(f) = V : если v V, то nF v = e , и значит, v = (eT)(T –1) = f( T –1) = f, где = T –1 .

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего Профессионального Образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов