Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования




НазваниеРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница4/11
Дата публикации25.07.2013
Размер1.44 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
§ 3. Матрица перехода от базиса к базису
Пусть b = {b1 , … , bn} – базис n-мерного векторного пространства V над полем F. Тогда L(b) = V, так что любой вектор v V является линейной комбинацией базисных векторов: v = 1b1+…+nbn . Напомним, что скаляры 1 , … , n F называются координатами вектора v в базисе b , а вектор-столбец nFкоординатным столбцом вектора v в базисе b и обозначается через [v]b . Было доказано, что координатные столбцы удовлетворяют следующим очевидным свойствам:

10. [0]b = 0 nF.

20. u, v V [u+v]b = [u]b + [v]b .

30. F v V [v]b = [v]b .

Пусть теперь e = {e1 , … , en} и f = {f1 , … , fn} – два базиса векторного пространства V. Тогда каждый вектор fi однозначно разлагается по базису e : fi = e1t1i + … + entni (1 i n). Таким образом, существует однозначно определённая матрица Te,f = (tij) M(n, F) со свойством f = eTe,f . При этом по свойству 150 матричного символизма Te,f GL(n, F). Матрица Te,f называется матрицей перехода от базиса e к базису f.

Из определения немедленно следует, что fi = e1t1i + … + entni = et(i). Таким образом, t(i) = [fi]e и Te,f = ([f1]e , … , [fn]e).

Примеры: 1. Пусть e = (e1 , e2 , e3) – произвольный базис векторного пространства V , f = (e1e3 , e1 + e2 , 2e2 + e3).

Тогда f = (e1 , e2 , e3) . При этом матрица Te, f = невырождена, т.е. f – базис V, а Te, f – матрица перехода от e к f.

2. Пусть V = R n, e = (e1 , … , en) и f = (f1 , … , fn) – два базиса. Известно, столбец [fj] находится из системы уравнений (e1t , … , ent)[fi]e = fit . Поэтому матрица перехода Te,f = ([f1]e , … , [fn]e) удовлетворяет матричному уравнению (e1t , … , ent)Te,f = (f1t , … , f1t).

3. Если же V = nR , e = (e1 , … , en) и f = (f1 , … , fn) – два базиса V, то аналогично предыдущему можно получить, что матрица Te,f однозначно определяется системой линейных уравнений (e1 , … , en)Te,f = (f1 , … , fn).

4. Пусть V = R3, e = ((1; 0; 1), (–1; 1; 0), (0; 0; 1)), f = ((0; 0; –1), (0; 1; 1), (2; 0; 0)). Для нахождения матрицы перехода Te,f записываем систему Te,f = , решая которую, получаем

Te,f = .
Свойства матрицы перехода
10. Для любого базиса e = (e1 , … , en) векторного пространства V выполнено Te,e = In .

Действительно, e = eIn .

20. Для любых двух базисов e = (e1 , … , en) и f = (f1 , … , fn) векторного пространства V матрицы перехода Te, f и Tf, e связаны соотношением Tf, e = Te, f–1 .

В самом деле, если f = eTe, f , то учитывая обратимость матрицы Te, f , получим e = eIn = eTe, f Te, f–1 = fTe, f–1 . С другой стороны, e = fTf, e , так что Tf, e = Te, f–1 .

30. Для любых трёх базисов e = (e1 , … , en) , f = (f1 , … , fn) и g = (g1 , … , gn) векторного пространства V матрицы перехода Te,f , Tf,g и Te,g связаны соотношением Te, g = Te, f Tf, g .

Действительно, g = fTf,g , f = eTe,f . Поэтому

eTe,g = g = fTf,g = (eTe,f)Tf,g = e(Te, f Tf, g),

и значит, Te, g = Te, f Tf, g .

Изменение координатного столбца при переходе от базиса к базису
Пусть e = (e1 , … , en) и f = (f1 , … , fn) – два базиса векторного пространства V, v V. Тогда v = e[v]e = v = f[v]f . Выясним, как связаны координатные столбцы [v]e и [v]f .

Имеем f = eTe,f и e[v]e = v = f[v]f = (eTe,f)[v]f = e(Te,f [v]f ), т.е.

.

Пример. Пусть V – трёхмерное векторное пространство с базисом e = (e1 , e2 , e3), v V и [v]e = . Найти [v]f , где f = (e1 + e2 , e3 , e1).

[v]f = Tf, e[v]e = Te,f–1[v]e = .

§ 4. Матрица линейного оператора
Пусть V – векторное пространство с базисом e = (e1 , … , en), : V V – линейный оператор. Обозначим через (e) конечную систему векторов ((e1), … , (en)) V n. Каждый вектор (ej) (1 j n) к.с.в. (e) однозначно записывается в виде (ej) = e[(ej)]e и из полученных координатных столбцов можно образовать матрицу []e = ([(e1)]e , … , [(e1)]e ) M(n, F), которая называется матрицей линейного оператора в базисе e и удовлетворяет равенству (e) = e[]e .

Примеры: 1. Пусть линейный оператор : V V переводит базис e = (e1 , e2 , e3) трёхмерного векторного пространства V в систему векторов (e2 + e3 , e1e2 , e1 + e3). Тогда [(e1)]e = , [(e2)]e = , [(e3)]e = , и []e = .

2. Пусть V = R3, : R3 R3 , (x; y; z) = (xy; y + z; x). Найдём матрицу []e в базисе e = (e1 = (1; 1; 0), e2 = (0; 1; 1), e3 = (0; 0; 1)).

Имеем (e1) = (1; 1; 0) = (0; 1; 1), (e2) = (0; 1; 1) = (–1; 2; 0), (e3) = = (0; 0; 1) = (0; 1; 0). Искомая матрица линейного оператора состоит из координатных столбцов полученных векторов. Поэтому получается матричное уравнение

(e1t , e2t , e3t)[]e = ((e1)t, (e2)t, (e3)t) или []e = .

Значит []e = .

3. Матрица линейного оператора : F n F n в базисе e = (e1 , … , en) находится из матричного уравнения (e1t , … , ent)[]e = ((e1) t , … , (en) t).

4. Матрица линейного оператора : nF nF в базисе e = (e1 , … , en) находится из матричного уравнения (e1 , … , en)[]e = ((e1) , … , (en)).
Координатная форма записи линейного оператора
Пусть V – векторное пространство над полем F с базисом e = (e1 , … , en), : V V – линейный оператор, x V. Найдём связь между координатными столбцами [x]e и [(x)]e .

Пример. Пусть F – поле, V = n F, A M(n, F). Тогда отображение m : n F n F, заданное правилом x n F m(x) = Ax , является линейным оператором, причём для стандартного базиса e = (e1t , … , ent) в n F, где ei = (0; … ; 0; , 0; … ; 0), имеем [x]e = x и m(x)]e = [Ax]e = Ax = [m]e . Таким образом, x n F [m(x)]e = [m]e[x]e .

Оказывается, что аналогичная формула имеет место и в общем случае. Для её вывода понадобится следующее свойство линейных операторов:

^ Свойство согласованности матричного умножения с действием линейного оператора: Пусть V – векторное пространство над полем F, : V V – линейный оператор. Тогда для любой к.с.в v = (v1 , … , vn) Vn и матрицы T M(n, m, F) справедливо равенство (vT) = (v)T.

Действительно, если t(j) = – j-й столбец матрицы T (1 j m), то

vt(j) = t1jv1+ … +tnjvn , (vt(j)) = (t1jv1+ … +tnjvn) =

= t1j(v1)+ … +tnj(vn) = (v)t(j).

Таким образом, (vT) = (v1t(1), … , vnt(m)) = ((vt(1)), … , (vt(m))) = = ((v)t(1), … , (v)t(m)) = (v)T, что и требовалось доказать.

Теперь вывод общей формулы прост: если x = e[x]e , то

e[(x)]e = (x) = (e[x]e ) = (e)[x]e = e[]e[x]e ,

так что [(x)]e = []e[x]e .

Доказанная формула [(x)]e = []e·[x]e называется координатной формой записи линейного оператора в базисе e.
Изменение матрицы линейного оператора при переходе

от базиса к базису
Пусть линейный оператор : V V в векторном пространстве V имеет матрицу []e в базисе e = (e1 , … , en). Выясним, как изменится эта матрица при переходе к новому базису f = (f1 , … , fn).

Имеем (e) = e[]e , (f) = f[]f , f = eTe, f . Поэтому (f) = f[]f = = eTe, f []f и (f) = (eTe, f) = (e)Te, f = e[]eTe, f . Значит Te, f []f = = []eTe, f и (учитывая обратимость матрицы перехода Te, f) получаем

.

Пример. Пусть : F3 F3линейный оператор, имеющий в базисе e = (e1 , e2 , e3) матрицу []e . Найдём []f , если

f = (e1e3 , e1 + e2 , 2e2 + e3).

Имеем Te, f = , Te, f–1 = , так что получаем по формуле []f = []e .
Свойства матрицы линейного оператора
10. Линейный оператор однозначно определяется своей матрицей в любом базисе, т.е. если : V V и : V V – два линейных оператора в векторном пространстве V , причём для базиса e = (e1 , … , en) выполнено равенство []e = []e , то = .

В самом деле, поскольку линейный оператор однозначно определяется значениями на базисных векторах, достаточно доказать, что (e) = (e). Это следует из равенств (e) = e[]e = e[]e = (e).

20. В любом базисе e векторного пространства V матрица суммы линейных операторов : V V и : V V равна сумме матриц этих операторов в том же базисе: [ + ]e = []e + []e .

Действительно, по определению суммы линейных операторов e[+]e = = (+)(e) = (e) + (e) = e[]e + e[]e = e([]e + []e ), откуда и следует доказываемое равенство.

30. В любом базисе e векторного пространства V матрица произведения линейных операторов : V V и : V V равна произведению матриц этих операторов в том же базисе: []e = []e[]e .

В самом деле, по определению произведения линейных операторов имеем e[]e = ()(e) = ((e)) = (e[]e ) = (e)[]e = e[]e[]e , откуда всё следует.

40. В любом базисе e векторного пространства V матрица произведения линейного оператора : V V на скаляр F равна произведению матрицы этого оператора в том же базисе на тот же скаляр:

[]e = []e .

Действительно, по определению произведения линейного оператора на скаляр имеем e[]e = ()(e) = (e) = (e[]e ) = e((In)[]e ) = = e([]e ), что и требовалось.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего Профессионального Образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов