Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования




НазваниеРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница6/11
Дата публикации25.07.2013
Размер1.44 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
§ 6. Инвариантные подпространства линейного оператора
Пусть : V Vлинейный оператор, W подпространство в V. Оно называется -инвариантным, если w W (w) W. Будем использовать обозначение W V.

Примеры. 1. Очевидно, что {0} V и V V для любого линейного оператора : V V .

2. Если : V V – линейный оператор, то Ker() V и Im() V , т.к. k Ker() (k) = 0 Ker() и v Im() (v) Im().

3. Пусть линейный оператор : V V имеет в базисе {e1 , e2 , e3} матрицу . Тогда пространство L(e1 , e2) является -инвариантным.

Действительно, по определению матрицы линейного оператора имеем

(e1) = (e1 , e2 , e3) = –e1 + 2e2 L(e1 , e2), (e2) = (e1 , e2 , e3) = = e1 – 2e2 L(e1 , e2) и поэтому l = 1e1 + 2e2 L(e1 , e2) верно включение (l) = 1(e1) + 2(e2) L(e1 , e2).

Оказывается, пример 3 отражает общую ситуацию, как показывает следующая

Лемма (об инвариантных подпространствах линейного оператора). Следующие условия для линейного оператора : V V и подпространства W в n-мерном векторном пространстве V эквивалентны:

(1) подпространство W является -инвариантным,

  1. для некоторого базиса (w1 , … , wk) пространства W выполнены условия (wi) W (1 i k).

Кроме того, эквивалентны следующие утверждения:

(3) существует собственное -инвариантное подпространство W (т.е. {0} W V, (W) W),

(4) в некотором базисе e = (e1 , … , en) пространства V матрица линейного оператора имеет полураспавшийся вид []e = , где A M(k, F), B M(nk, F), C M(k, nk, F).

Доказательство. (1) (2) Если W-инвариантное подпространство, то w W (w) W. В частности, это выполнено и для векторов любого базиса (w1 , … , wk) пространства W.

(2) (1) Пусть теперь для векторов некоторого базиса (w1 , … , wk) пространства W выполнено условие (wi) W (1 i k). Докажем, что w W (w) W: если w = 1w1 + … + kwkразложение по базису, то (w) = = 1(w1)+…+k(xk) W.

(3) (4) Пусть W – собственное -инвариантное подпространство с базисом {e1 , … , ek} и 0 < dim W = k < dim V = n. Дополним этот базис до базиса всего пространства V векторами ek+1 , … , en и рассмотрим матрицу линейного оператора в расширенном базисе e = (e1 , … , ek , ek+1 , … , en ). Имеем []e = , где A M(k, F), B M(n – k, F), C M(k, n – k, F) и D M(n – k, k, F). Первые k её столбцов – это координатные столбцы [(e1)]e , … , [(ek)]e , причём ввиду -инвариантности подпространства W = L(e1 , … , ek) выполнены включения (ei) L(e1 , … , ek) (1 i k). Таким образом, (ei) = a1ie1 + … + akiek + 0ek+1 + … 0en , т.е. D = 0(n–k)k и матрица оператора полураспавшаяся в выбранном базисе.

(4) (3) Пусть в некотором базисе e = (e1 , … , ek , ek+1 , … , en ) пространства V матрица []e полураспавшаяся []e = . Докажем, что пространство W = L(e1 , … , ek) является -инвариантным подпространством в V. Действительно,

(ei) = (e1 , … , ek , ek+1 , … , en)[]e(i) = (e1 , … , ek , ek+1 , … , en) =

= (e1 , … , ek)a(i) = a1ie1 + … + akiek L(e1 , … , ek) = W.

Таким образом, подпространство W является -инвариантным.

Лемма доказана.

Упражнения: 1. Найдите все инвариантные подпространства линейного оператора : V V с матрицей []e = в некотором базисе {e1 , e2 , e3}.

2. Найдите все инвариантные подпространства линейного оператора : V V с матрицей []e = в некотором базисе {e1 , e2 , e3}.

Особенно часто используются одномерные инвариантные подпространства, к изучению которых мы сейчас переходим.

§ 7. Собственные числа и собственные векторы

линейного оператора
Пусть V – векторное пространство над полем F, : V V линейный оператор. Элемент F называется собственным числом (или значением) линейного оператора , если существует такой ненулевой вектор v V, что (v) = v. При этом вектор v V \ {0} с вышеуказанным свойством называют собственным вектором линейного оператора , соответствующим (или отвечающим) собственному значению .

Нетрудно видеть, что любой собственный вектор v порождает одномерное -инвариантное подпространство W = L(v): (v) = (v) = v W. С другой стороны, если W – одномерное -инвариантное подпространство и v W \ {0}, то W = L(v) и (v) = v для некоторого F, т.е. vсобственный вектор для . Таким образом, изучение собственных векторов линейного оператора эквивалентно изучению его одномерных инвариантных подпространств.

С понятиями собственного числа и собственного вектора линейного оператора тесно связаны аналогичные понятия для матриц. Пусть Aквадратная (nn)-матрица над полем F. Элемент F называется собственным числом (или значением) матрицы А, если существует такой вектор v nF \ {0}, что Av =  v. При этом ненулевой вектор v с вышеуказанным свойством называют собственным вектором матрицы А, соответствующим (или отвечающим) собственному значению .

Множество всех собственных чисел линейного оператора : V V (или матрицы A M(n, F)) называют спектром линейного оператора (или матрицы A) и обозначают через Sp() (или Sp(A)). Задачу отыскания всех собственных чисел и соответствующих им собственных векторов линейного оператора (или матрицы A) называют спектральной задачей.

Примеры: 1. Матрица M(3, R) имеет собственный вектор , отвечающий её собственному значению = 2, в чём нетрудно убедиться, вычислив .

2. Если в некотором базисе e1 , e2 , e3 линейный оператор : V V имеет матрицу []e предыдущего примера, то вектор 3e1 + 3e2 + 2e3 является его собственным вектором. В самом деле,

(3e1 + 3e2 + 2e3) = 3(e1) + 3(e2) + 2(e3) =

= 3(–e1 + 2e2) + 3(e1 – 2e2) + 2(3e1 + 3e2 + 2e3) =

= 6e1 + 6e2 + 4e3 = 2(3e1 + 3e2 + 2e3).

Этот собственный вектор соответствует собственному числу = 2 линейного оператора и его координатный столбец был найден в примере 1. У линейного оператора есть ещё и другой собственный вектор: (–e1 + 2e2) = = –(e1) + 2(e2) = –(–e1 + 2e2) + 2(e1 – 2e2) = 3e1 – 6e2 = –3(–e1 + 2e2). Собственный вектор e1 + 2e2 отвечает собственному значению = 3. Как Вы думаете, будет ли оно являться собственным числом матрицы примера 1 ?

3. Матрица А = M(2, R) не имеет собственных чисел, а значит и собственных векторов. Действительно, если R – собственное число матрицы А, то Аv = v, т.е. (A – I2)v = 0. Таким образом, однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение. Значит det = 0, т.е. 2 + 1 = 0. Это уравнение не имеет решений в поле R . Полученное противоречие показывает, что предположение о существовании собственного числа матрицы было не верным.

4. Следует отметить, что матрица предыдущего примера, рассматриваемая над полем комплексных чисел имеет два собственных числа i и i . Первому из них отвечает собственный вектор , т.к. . Какой собственный вектор будет соответствовать второму собственному числу ?

5. Пусть R : V2(O, R) V2(O, R) – линейный оператор поворота на угол против часовой стрелки. Решим спектральную задачу для оператора R . Если R(v) = v, то векторы R(v) и v коллинеарны, что возможно лишь при = k (k Z) (?!).

С другой стороны, если = 2k (k Z), то R(v) = v для любого вектора v V2(O, R). Таким образом, при = 2k (k Z), любой ненулевой вектор является собственным для оператора R и отвечает собственному значению = 1. Если же = (2k+1) (k Z), то R(v) = –v при любом векторе v V2(O, R). Таким образом, при = (2k+1) (k Z), любой ненулевой вектор является собственным для оператора R и отвечает собственному значению = –1.

Итак, спектральная задача для оператора R имеет следующее решение: при k (k Z) у этого линейного оператора нет ни собственных чисел, ни собственных векторов; при = 2k (k Z) у него единственное собственное число = 1, которому отвечает множество собственных векторов, состоящее из всех ненулевых векторов плоскости; при = (2k+1) (k Z) у него единственное собственное число = –1, которому отвечает множество собственных векторов, состоящее из всех ненулевых векторов плоскости.

^ Теорема (о связи спектральных задач для линейного оператора и его матрицы). Пусть – линейный оператор в конечномерном векторном пространстве V с базисом e = (e1 , … , en). Тогда

  1.    F Sp() Sp([]e),

  2. вектор v V \ {0} является собственным вектором линейного оператора , отвечающим собственному значению Sp() тогда и только тогда, когда вектор [v]e nF является собственным вектором матрицы оператора []e , отвечающим собственному числу Sp([]e).

Доказательство. Оба утверждения будем доказывать одновременно. Пусть v V \ {0} – собственный вектор линейного оператора , отвечающий собственному числу Sp(). Это равносильно условию (v) = v, которое, в свою очередь, эквивалентно координатной форме записи []e[v]e = = [(v)]e = [v]e . При этом [v]e 0 nF , т.к. v = e[v]e 0 V. Таким образом, [v]e является собственным вектором матрицы []e , соответствующим собственному значению Sp([]e).

Теорема доказана.

Теорема (о решении спектральной задачи для матрицы). Для любой матрицы A M(n, F) справедливы следующие утверждения:

  1.    F Sp(A) det(A – In) = 0,

  2. если Sp(A), то однородная система линейных уравнений (A – In)v = 0 nF имеет ненулевые решения, множество которых совпадает с множеством собственных векторов, соответствующих собственному значению .

Доказательство. Оба утверждения будем доказывать одновременно. Если Sp(A) и v nF \ {0} – отвечающий собственный вектор, то Av = v Av Inv = 0 (A – In)v = 0. Последняя однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель её основной матрицы нулевой: det(AIn) = 0.

Обратно, если F и det(A – In) = 0, то однородная система линейных уравнений (A – In)v = 0 имеет ненулевое решение v nF \ {0}, которое удовлетворяет соотношению Av = v, т.е. является собственным вектором, соответствующим собственному числу .

Теорема доказана.

Уравнение det(A – In) = 0, решениями которого являются собственные числа матрицы A (и только они), называется характеристическим уравнением матрицы А. Многочлен А() = det(A – In) называют характеристическим многочленом матрицы А.

Доказанная теорема даёт алгоритм решения спектральной задачи для матрицы ^ А:

I. Составление характеристического уравнения det(A – In) = 0.

II. Нахождение собственных чисел матрицы А – корней её характеристического уравнения.

III. Для каждого собственного числа i нахождение собственных векторов, отвечающих этому числу, – как множества всех ненулевых решений однородной системы линейных уравнений (A – In)v = 0.

Для линейного оператора спектральная задача решается путём предварительного сведения её к спектральной задаче для матрицы этого оператора в подходящем образом выбранном базисе и заключительного нахождения собственных векторов по найденным их координатным столбцам.

Примеры: 1. Решим спектральную задачу для линейного оператора, заданного в пространстве R3 правилом (x; y; z) = (x + z; 2y; –xz).

0. Выберем стандартный базис

e = (e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0), e3 = (0; 0; 1))

пространства R3 и найдём матрицу A = []e оператора в этом базисе.

Имеем (e1) = (1; 0; 0) = (1; 0; –1) = e1e3 , (e2) = (0; 1; 0) = = (0; 2; 0) = 2e2 , (e3) = (0; 0; 1) = (1; 0; –1) = e1e3 . Поэтому можно составить матрицу А = []e = .

Решаем спектральную задачу для матрицы А.

I. Составляем характеристическое уравнение det(A – In) = 0.

det(A – In) = = (1 – )(2 – )(–1 – ) + (2 – ) =

= (2 – )((1 – )(–1 – ) + 1) = (2 – )2 = 0.

Таким образом, характеристическое уравнение для матрицы А имеет вид (2 – )2 = 0.

II. Находим собственные числа матрицы А, решая характеристическое уравнение:

1 = 2, 2,3 = 0. Таким образом, Sp() = Sp(A) = {2, 0}.

III. Находим собственные векторы матрицы А.

а) для 1 = 2:

составляем однородную систему линейных уравнений и находим её общее решение методом Гаусса:

.

Таким образом, общее решение имеет вид , а векторы (v2 0) являются собственными векторами матрицы А, соответствующими собственному числу 1 = 2.

б) для 2, 3 = 0:

составляем однородную систему линейных уравнений и находим её общее решение (?!). Таким образом, векторы , где v3 0, являются собственными векторами матрицы А, соответствующими собственному числу 2 , 3 = 0.

IV. Находим собственные векторы исходного линейного оператора по формуле v = e[v]e .

a) для 1 = 2: v = (e1 , e2 , e3) = v2e2 = v2(0; 1; 0) = (0; v2 ; 0) , где v2 R \ {0}.

б) для 2,3 = 0:

v = (e1 , e2 , e3) = v3e1 + v3e3 = –v3(1; 0; 0) + v3(0; 0; 1) = (–v3 ; 0; v3 ), где v3 R \ {0}.

Итак, линейный оператор имеет собственные числа 1 = 2 и 2,3 = 0. Первому из них отвечают собственные векторы (0; v2 ; 0) , где v2 R \ {0}, а двум другим – векторы (–v3 ; 0; v3 ), где v3 R \ {0}.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего Профессионального Образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов