Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования




НазваниеРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница7/11
Дата публикации25.07.2013
Размер1.44 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
§ 8. Подобные матрицы и их спектральные задачи
Две квадратные (nn) матрицы A, B M(n, F) называются подобными или сопряжёнными, если существует обратимая матрица T GL(n, F), называемая сопрягающей матрицей для A и B, со свойством T –1AT = B.

Примеры: 1. Матрицы A = , B = M(2, F) сопряжены с помощью сопрягающей матрицы T = :

T –1AT = = B.

2. Матрицы A = и B = M(2, F) не подобны.

Действительно, если бы существовала сопрягающая матрица T GL(2, F), то B = T –1AT и 1 = |B| = |T –1||A||T| = |T |–1|A||T| = |A| = 0 – противоречие.

3. Матрицы A = и B = M(2, R) не сопряжены при любом 1 и сопряжены при = 1.

Действительно, если существует невырожденная сопрягающая матрица T = GL(2, R), то B = T –1AT , т.е. TB = AT или

.

Таким образом, получается система линейных уравнений , откуда t21 = 0, ( – 1)t22 = 0, 2t11 = t22 –( – 1)t12 . Если = 1, то сопрягающей матрицей будет T = при t11 0.

Если же 1, то t21 = 0 = t22 и матрица T вырождена, что невозможно.

Теорема (о спектральных задачах подобных матриц). Пусть матрицы A, B M(n, F) подобны, т.е. B = T –1AT для некоторой обратимой матрицы T GL(n, F). Тогда

  1. Sp(A) = Sp(B),

  2. вектор v n F \ {0} является собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению Sp(A), тогда и только тогда, когда вектор T –1v n F \ {0} является собственным вектором матрицы B, отвечающим собственному значению Sp(B).

Доказательство следует из цепочки Av = v TBT –1v = v (BT –1)v = (T –1v) с учётом того, что v 0 T –1v 0 .

Теорема доказана.

§ 9. Post Scriptum : о подобии матриц
Укажем некоторые важные случаи, когда матрицу можно путём сопряжения с помощью невырожденной матрицы привести к более простому виду.

I. Диагонализируемые матрицы. Матрица A M(n, F) называется диагонализируемой, если она подобна некоторой диагональной матрице. Другими словами, – если существует обратимая матрица T GL(n, F) со свойством T –1AT = диагональная матрица. Если существует базис векторного пространства V, в котором матрица []e имеет диагональный вид, то линейный оператор : V V называется диагонализируемым.

Теорема (о диагонализируемости). (1) Матрица A M(n, F) диагонализируема тогда и только тогда, когда пространство n F имеет базис, состоящий из собственных векторов матрицы A .

(2) Линейный оператор : V V диагонализируем тогда и только тогда, когда пространство V имеет базис, состоящий из собственных векторов оператора .

Доказательство. (1) Если T –1AT = диагональная матрица, то di очевидно будет собственным числом диагональной матрицы, а eit её собственным вектором, отвечающим di (1 i n). Тогда T(e1t , … , ent) – базис пространства n F, состоящий из собственных векторов матрицы A (см. теорему о спектральных задачах подобных матриц).

Обратно, пусть v = (v1 , … , vn) – базис пространства n F, состоящий из собственных векторов матрицы A, а : n F n F – линейный оператор, заданный правилом x n F (x) = Ax. Тогда для стандартного базиса e = (e1t , … , ent) имеем []e = A и []v = Te,v–1ATe,v , где Te,vматрица перехода от базиса e к базису v. Кроме того, (vi) = Avi = ivi для соответствующего собственного значения i F, так что [(vi)]v = iei (1 i n) и Te,v–1АTe,v = []v = диагональная матрица.

(2) следует из определения диагонализируемости линейного оператора и связи спектральных задач линейного оператора и его матрицы.

Теорема доказана.

Примеры: 1. Матрица A = M(2, R) не диагонализируема, т.к. не имеет в R собственных чисел.

2. Матрица A = M(2, С) диагонализируема, т.к. Sp(A) = {i, –i} и C 2 имеет базис (), состоящий из соответствующих собственных векторов.

3. Матрица A = M(2, F) не диагонализируема над любым полем F : у ней единственное собственное число = 1, а отвечающие ему собственные векторы имеют вид , F \ {0} и не образуют базиса в 2 F.

4. Матрица A = M(2, R) диагонализируема над R : Sp(A) = {1, 2} и () – соответствующий базис из собственных векторов.

^ Теорема (достаточное условие диагонализируемости). Линейный оператор в n-мерном векторном пространстве с n различными собственными значениями диагонализируем.

Доказательство. Пусть 1 , … , nразличные собственные числа линейного оператора : V V в n-мерном векторном пространстве. По каждому из них найдём собственные векторы v1 , … , vn V \ {0} и докажем их линейную независимость.

Если 1v1 + … + nvn = 0нетривиальная линейная комбинация, то, подействовав оператором , получим

0 = (1v1 + … + nvn) = 1(v1) + … + n(vn) = 11v1 + … + nnvn ,

т.е. 11v1 + … + nnvn = 0. Вычитая из этого равенства исходное соотношение линейной зависимости, умноженное на 1 , получим новое соотношение 2(21)v2 + … + n(n1)vn = 0. Оно не может быть тривиальным, т.к. в случае 2 = … = n = 0 получаем 1v1 = 0, т.е. v1 = 0, что невозможно.

Продолжая процесс исключения векторов v2 , … , vn–1 , придём к невозможному нетривиальному соотношению nvn = 0. Полученное противоречие показывает, что векторы v1 , … , vn V линейно независимы, а их количество равно n = dim V. Значит, они образуют базис векторного пространства V.

Теорема доказана.

II. Нильпотентные матрицы. Матрица A M(n, F) называется нильпотентной, если A k = 0 nn для некоторого k N. Аналогично, линейный оператор : V V в векторном пространстве V называется нильпотентным, если k = 0нулевой оператор для некоторого k N. При этом число k называется индексом нильпотентности матрицы и линейного оператора соответственно.

Примеры: матрицы (0) M(1, F), M(2, F), M(3, F) нильпотентны с индексами нильпотентности 1, 2, 2, 3 соответственно, в чём нетрудно убедиться непосредственным вычислением степеней матриц.

Матрица A M(n, F) называется строго верхнетреугольной, если все её компоненты, стоящие как на главной диагонали, так и под ней нулевые. Аналогично определяется понятие строго нижнетреугольной матрицы.

Примеры: 1. среди матриц предыдущего примера строго верхнетреугольными будут первая и третья.

2. матрица строго нижнетреугольна, а матрица таковой не является.

^ Теорема (о нильпотентных матрицах и линейных операторах). Следующие условия для матрицы A M(n, F) (соответственно для линейного оператора : V V) эквивалентны:

  1. матрица A (или линейный оператор ) нильпотентна (нильпотентен),

  2. Sp(A) = {0} (или Sp() = {0}),

  3. А подобна строго верхнетреугольной матрице (или матрица []e строго верхнетреугольна в некотором базисе e векторного пространства V),

  4. А подобна строго нижнетреугольной матрице (или матрица []e строго нижнетреугольна в некотором базисе e векторного пространства V).

Доказательство. Будем доказывать только утверждения для линейного оператора, т.к. матрица A M(n, F) нильпотентна тогда и только тогда, когда нильпотентен линейный оператор : V V , заданный правилом x n F (x) = Ax .

(1) (2) Если = 0, то доказывать нечего. Будем считать, что k = 0, но k–1 0. Тогда x V (v = k–1(x) 0) ((v) = k(x) = 0 = 0v) , т.е. v собственный вектор , отвечающий собственному числу = 0.

Если предположить вопреки доказываемому, что 0 Sp(), то рассматривая соответствующий собственный вектор w, получим

(w) = w, 2(w) = ((w)) = (w) = (w) = 2w,

3(w) = 3w, … , k–1(w) = k–1w, 0 = k(w) = kw ,

что противоречит предположению 0 и условию w 0. Значит Sp() = {0}.

(2) (3) Рассмотрим -инвариантное подпространство U = Im() векторного пространства V. Если U = {0}, то v V (v) = 0 , т.е. = 0 и в любом базисе e пространства V матрица []e будет нулевой, а значит, строго верхнетреугольной.

Значит можно считать U {0}. При этом U V, т.к. в противном случае эпиморфизм, и по теореме о сумме ранга и дефекта линейного оператора, выполнялось бы равенство

dim V = dim(Ker()) + dim U = dim(Ker()) + dim V,

из которого следует, что dim Ker() = 0, вопреки условию 0 Sp(): (v) = = 0v = 0 для собственного вектора v V \ {0}.

Итак, U собственное -инвариантное подпространство. Если взять базис U систему векторов e = (e1 , … , ek), то дополнив его до базиса всего пространства V векторами e = (ek+1 , … … , en), получим базис e, в котором матрица оператора полураспавшаяся: []e = . При этом имеем (ek+j) Im() = L(e1 , … , ek) = U (1 j nk), т.е. B = 0.

Рассмотрим линейный оператор h: U U, заданный правилом u U h(u) = (u) U и имеющий в базисе e матрицу A. Поскольку dim U < dim V, то можно считать (по индукции), что для оператора h утверждение (3) уже доказано, т.е. матрица [h]u является строго верхнетреугольной в некотором базисе u пространства U. Пусть T – матрица перехода от базиса (e1 , … , ek) пространства U к базису u . Тогда матрица [h]u = T –1AT = T –1[h]e T является строго верхнетреугольной и верхнетреугольна матрица

.

Теперь, в качестве искомого базиса можно взять (e, e) = (u, e).

(3) (4) Если e = (e1 , … , en) – базис, в котором линейный оператор : V V имеет строго верхнетреугольную матрицу, то в базисе (en , … , e1) его матрица строго нижнетреугольна (?!).

(4) (1) Пусть линейный оператор : V V имеет строго нижнетреугольную матрицу A = в некотором базисе e = (e1 , … , en). Достаточно доказать, что A n = 0: если это так, то [ n]e = []en = A n = 0 и n = 0, т.е. линейный оператор нильпотентен с индексом нильпотентности не выше n.

Докажем индукцией по m N, что матрица A m является строго нижнетреугольной и имеет m – 1 нулевую диагональ ниже главной. База индукции при m = 1 очевидна. Предположим, что

A m = и докажем, что в матрице A m+1 = AA m будет нулевой (m+1)-я диагональ. По правилу вычисления произведения AA m матриц, (m+1+s, s+1)-я его компонента (т.е. s-й элемент (m+1)-й диагонали) вычисляется по правилу

(am+1+s 1 , … , am+1+s m+s , 0, … , 0)(0, … , 0, bm+1+s s+1 , … , bn s+1) t = 0

(0 s nm–1). Легко видеть также, что нули и в предыдущих m диагоналях “не испортятся”. Значит, в матрице A n будет n нулевых диагоналей, что эквивалентно равенству A n = 0.

Теорема доказана.

Следствие (об индексе нильпотентности). Индекс любого нильпотентного линейного оператора в n-мерном векторном пространстве не превосходит n.

Доказательство. Если : V V нильпотентен, то в некотором базисе его матрица строго нижнетреугольна и n-я её степень равна нулю, т.е. n = 0.

Следствие доказано.

III. Идемпотентные матрицы. Матрица A M(n, F) называется идемпотентной, если A 2 = A . Линейный оператор : V V называется идемпотентным, если 2 = .

Примеры: Матрицы 0, In M(n, F), M(2, F) идемпотентны, в чём нетрудно убедиться непосредственным вычислением.

Теорема (об идемпотентных матрицах и линейных операторах). Следующие условия для матрицы A M(n, F) (или для линейного оператора : V V) эквивалентны:

  1. матрица A (или линейный оператор ) идемпотентна (идемпотентен),

  2. А подобна матрице вида , где 0 r n (или матрица []e в некотором базисе e векторного пространства V имеет указанный вид).

При этом для идемпотентной матрицы A (или оператора ) справедливы утверждения Sp(A) {0, 1} (или Sp() {0, 1}).

Доказательство. Как и в предыдущей теореме, докажем только утверждения для линейного оператора, т.к. матрица A M(n, F) идемпотентна тогда и только тогда, когда идемпотентен линейный оператор : V V , заданный правилом x n F (x) = Ax .

(1) (2) Докажем, что для идемпотентного оператора верны следующие равенства: Im() Ker() = {0} и V = Im() + Ker(). Последнее равенство следует понимать так: v V x Im(), y Ker() v = x + y.

Действительно, если u Im() Ker(), то v V u = (v) (u) = 0, так что 0 = (u) = 2(v) = (v) = u, что и требовалось. Кроме того, имеем v V v = (v) + (v (v)), где (v) Im(), v (v) Ker(), т.к. (v(v)) = (v) – ((v)) = (v) – 2(v) = (v) – (v) =0.

Итак, Im() Ker() ={0} и V = Im() + Ker(). Если Im() = V, то Ker() = {0}, и оператор является изоморфизмом. В частности, в этом случае –1: V V  –1 = idV = –1 и из идемпотентности 2 = получаем (умножая на –1) равенство = idV . Значит, в случае Im() = V матрица оператора в любом базисе равна In , где n = dim V.

Поэтому можно считать, что dim(Im()) < n . Зафиксируемем в Im() базис u = (u1 , … , ur) и базис k = (kr+1 , … , kn) в Ker(). Тогда система векторов e = (u1 , … , ur , kr+1 , … , kn) будет базисом всего пространства V и матрица оператора в этом базисе имеет вид []e = (?!). Рассмотрим оператор h: Im() Im(), заданный правилом x Im() h(x) = (x) с матрицей A и заметим, что Ker(h) = {0}. В самом деле, если x = (v) Im() и h(x) = 0, то 0 = h(x) = (x) = ((v)) = 2(v) = (v) = x, что и требовалось. Таким образом, hмономорфизм, а значит и изоморфизм, т.е. по доказанному выше h = idIm() и А = [h]u = Ir , что и требовалось доказать.

(2) (1) Если []e = , то [ 2]e = []e2 = = = []e , т.е. 2 = .

Докажем теперь, что для идемпотентного оператора выполнено условие Sp() {0, 1}. Если = 0, то Sp() = {0} и доказывать нечего. Пусть поэтому x V v = (x) 0. Тогда (v) = ((x)) = 2(x) = (x) = v, т.е. v – собственный вектор оператора , отвечающий собственному значению 1. Таким образом, 1 Sp(). С другой стороны, если предположить, что Sp() \ {0, 1}, то (w) = w для некоторого ненулевого вектора w V, причём (w) = (w) = ((w)) = 2(w) = (w), ( – 1)(w) = 0, что невозможно, т.к. 1 и (w) = w 0. Значит Sp() {0, 1}.

Теорема доказана.

Замечание. Условие   Sp()  {0, 1} не равносильно идемпотентности оператора, т.к. иначе идемпотентными были бы все нильпотентные операторы. На самом деле одновременно идемпотентен и нильпотентен только нулевой оператор (?!)

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего Профессионального Образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов