Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования




НазваниеРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница8/11
Дата публикации25.07.2013
Размер1.44 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
§ 10. Спектр симметричного оператора
^ Ортогональные дополнения подпространств евклидова пространства
Пусть U, W два подпространства в векторном пространстве V, причем U W = {0} и v V u U , w W v = u + w, т.е. V = U + W. Тогда говорят, что пространство V является прямой суммой подпространств U и W и пишут V = U W.

Примеры: 1. Пусть V = V2(O, R) – множество всех векторов плоскости, отложенных от т. О, и на плоскости задана аффинная система координат с центром в т. О, U = { u V | u лежит на оси ОХ }, W = { w V | w лежит на оси ОY }. Тогда V = U W (?!).

2. Пусть V = R3. Рассмотрим подпространства

U = {(u1 ; u2 ; u3) R3 | u1 + u2 + u3 = 0}, W = {(w1 ; w2 ; w3) R3 | w1 = w2 = 0}

(почему они будут подпространствами в V ?!). Тогда V = U W . Действительно, если v = (v1 ; v2 ; v3) U W, то , т.е. v1 = v2 = = v3 = 0, и U W = {0}. Справедливость равенства U + W = V следует из представления (v1 ; v2 ; v3) = (v1 ; v2 ; –v1 – v2) + (0; 0; v3 + v1 + v2) U + W.

Упражнение. Докажите, что (V = U W) ( v V ! u U, w W v = u + w).

Теорема (об ортогональном дополнении). Пусть (V, (_, _)) – евклидово пространство, U – его конечномерное подпространство. Тогда

U = {w V | u U (u , w) = 0 }

является подпространством в V, причем V = U U. Пространство U называется ортогональным дополнением к U в пространстве V.

Доказательство. Прежде всего, U , т.к. 0 U. Кроме того, U замкнуто относительно сложения и умножения на скаляры. В самом деле, если w1 , w2 U, R, то для любого u U имеем:

(u , w1 + w2) = (u , w1)+(u , w2 ) = 0+0 = 0, (u , w1) = (u , w 1) = 0 = 0.

По лемме о подпространстве, Uподпространство в V.

Докажем, что V = U U. Пусть v U U. Тогда по определению U имеем (v , v) = 0, и v = 0 из неотрицательности скалярного произведения. Итак, U = {0}. Осталось проверить, что V = U + U. Если U = {0}, то U = V, и доказывать нечего. Если же U {0}, то (по теореме об ортонормированном базисе) можно выбрать ортонормированный базис e = (e1 , … , en ) в U. Пусть v V и u = (v , e1 )e1 + … + (v , en)en U, g = vu . Тогда, как и в теореме об ортонормированном базисе, убеждаемся, что g ei (1 i n), т.е. g U (?!) и v = u + g U + U.

Теорема доказана.

Примеры: 1. Найти ортогональное дополнение к подпространству U, порожденному векторами u1 = (0; 1; –1; 1) и u2 = (–1; 0; 0; 1) стандартного евклидова пространства R4.

Так как U = {w R4 | u U (u , w) = 0 }, то

((w1 ; w2 ; w3 ; w4) ) .

Таким образом, U = { (w4 ; w3 – w4 ; w3 ; w4) R4 | w3 , w4 R }. Базисом является фундаментальная система решений рассмотренной однородной системы линейных уравнений, получающаяся из найденного общего решения при значениях свободных переменных w3 = 1, w4 = 0 и w3 = 0, w4 = 1 – а именно система векторов (0; 1; 1; 0), (1; –1; 0; 1).

2. Пусть V = V2(O, R) со стандартным скалярным произведением (a , b) = = |a||b|cos( a ,b). Если U = { u V | u лежит на прямой y = 2x }, то легко доказать, что U= { w V | w лежит на прямой y = – 0,5x } (?!).
Симметричные линейные операторы
Квадратная матрица A порядка n над полем F называется симметричной, если At = A. Линейный оператор h: Fn Fn называется симметричным, если его матрица в стандартном базисе симметрична. Нашей целью является доказательство следующей важной теоремы:

^ Теорема (о спектре симметричного линейного оператора). Собственные числа симметричного оператора h: Rn Rn вещественны, а его матрица диагонализируема (по диагонали стоят собственные числа).

Доказательство. Пусть A – матрица симметричного оператора h в стандартном базисе, = + i её (возможно, комплексное) собственное значение (, R), а z соответствующий ему собственный вектор с (возможно, комплексными) компонентами zk = xk + iyk (xk , yk R, 1 k n). Тогда z = x+ iy, где x, y вещественные векторы с компонентами xk , yk R, (1 k n). Задумайтесь: почему у матрицы A есть хотя бы одно собственное число и собственный вектор ?

Так как Az = z , то A(x+ iy) = (+ i)(x+ iy). Учитывая, что A вещественная матрица, и сравнивая действительные и мнимые части в полученном равенстве, приходим к двум условиям: Ax = xy, Ay = y + x . При этом (Ay = y +x) ((Ay)t = (y + x)t) (ytAt = (yt + xt)). Учитывая, что At = A, получаем систему . Умножая первое уравнение на yt слева, а второе – на x справа, и вычитая одно из другого, приходим к равенству

0 = –ytyxtx = –(y12 + … + yn2 + x12 + … + xn2).

Отсюда либо = 0, либо y1 = … = yn = x1 = … = xn = 0. Последняя возможность исключается, т.к. собственный вектор z = x+ iy ненулевой, и, значит, = 0. Итак, R .

Для доказательства диагонализируемости матрицы A проведем индукцию по n и докажем, что существует такая ортогональная матрица S, что матрица S –1AS = D диагональна с собственными числами матрицы A по диагонали (ортогональность матрицы S означает, что S –1 = S tтранспонированная матрица). При этом будем рассматривать пространство nR как евклидово со стандартным скалярным произведением (x, y) = xty .

База индукции (n = 1) очевидна. Предположим, что любая симметричная матрица порядка n – 1 диагонализируема с собственными числами по диагонали, и докажем это для матрицы A порядка n. Пусть одно из её собственных чисел (которые, по доказанному выше, все вещественны), а x – соответствующий собственный вектор с вещественными (?!) компонентами и U = L(x) – одномерное подпространство в nR , натянутое на вектор x. По теореме об ортогональном дополненииподпространства имеем nR = U U, где U = { y nR | xty = 0 }.

Заметим, что y U Ay U. Действительно, xtAy = (?!) = (Ax)ty = = (x)ty = xty = 0. Таким образом, если f1 , … , fn–1 – ортонормированный базис пространства U , то Afi = . Это значит, что в базисе e = (x, f1 , … , fn–1) матрица [h]e распавшаяся:

[h]e = T –1AT = ,

где B = (bij) M(n–1, F), T = ( , f1 , … , fn ), T –1 = T t . При этом полученная матрица снова симметрична:

(T –1AT)t = (T tAT)t = T tA t(T t)t = T tAT = T –1AT.

В частности, симметрична матрица B, к которой применимо предположение индукции.

По предположению индукции, B = P –1P, где P –1 = P t , диагональная матрица с собственными числами матрицы B по диагонали, так что



– диагональная матрица с собственными числами матрицы A по диагонали (?!). В итоге , где сопрягающая матрица T ортогональна:

.

Теорема доказана.

Примеры: 1. Если h : R2 R2 , где h(x, y) = (x + y ; x + y), то в стандартном базисе [h]e = A = . Для нахождения её диагональной формы найдём собственные числа и собственные векторы.

1. Решаем характеристическое уравнение:

|I2A| = = ( – 1)2 – 1 = ( – 2) = 0.

Таким образом, 1 = 2, 2 = 0.

2. Находим собственные векторы, решая системы (iI2A)v = 0 (i = 1, 2).

а) 1 = 2: v = , v2 0.

б) 2 = 0: v = , v2 0.

3. Находим базис из собственных векторов и нормируем его: b1 = , b2 =

4. Составляем из базисных векторов сопрягающую матрицу:

T = , T –1 = T t = .

5. Находим диагональный вид матрицы:

T –1AT = .

2. Если h : R3 R3 , где

h(x, y, z) = (x + y ; x + y + z ; y + z),

то в стандартном базисе [h]e = A = . Для нахождения её диагональной формы найдём собственные числа и собственные векторы.

1. Решаем характеристическое уравнение:

|I3A| = = ( – 1)32(1) = ( – 1)(22 1) = 0.

Таким образом, 1 = 1, 2 = 1 + , 3 = 1 – .

2. Находим собственные векторы, решая системы (iI2A)v = 0 (1 i 3).

а) 1 = 1: v = , v3 0.

б) 2 = 1 + : v = , v1 0.

в) 3 = 1 – : , v = , v1 0.

3. Нормированный базис из собственных векторов:

b1 = , b2 = , b3 = .

4. Составляем из базисных векторов сопрягающую матрицу:

T = , T –1 = T t = .

5. Находим диагональный вид матрицы:

T –1AT = =

= .

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего Профессионального Образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов