Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования




НазваниеРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
страница9/11
Дата публикации25.07.2013
Размер1.44 Mb.
ТипДокументы
zadocs.ru > Математика > Документы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В БАНАХОВЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1. Метрические пространства
Напомним некоторые определения, понятия и результаты, возможно, известные из курса анализа.

^ Метрическое пространство – это произвольное непустое множество E с заданным на нём отображением : E R, называемым метрикой и удовлетворяющим следующим трём свойствам:

неотрицательность: x , y E (x, y) 0 ((x, y) = 0 x = y),

симметричность: x, y E (x, y) = (y, x),

неравенство треугольника: x , y, z E (x, z) (x, y) + (y, z). Величину (x, y) называют также расстоянием между точками x, y метрического пространства E.

Примеры: 1. На числовой оси R определено обычное расстояние (x, y) = |xy|, превращающее R в метрическое пространство.

2. В пространстве Rn определено обычное расстояние, превращающее Rn в метрическое пространство: для x = (x1 ; … ; xn), y = (y1 ; … ; yn) Rn положим (x, y) = .

3. На любом множестве E можно задать тривиальную метрику (x, y) = . Ясно, что все свойства метрики выполнены.

4. Уже из предыдущих примеров видно, что одно и то же множество можно превратить в метрическое пространство разными способами, задавая на нём разные метрики. Например, на Rn метрикой будет и отображение (x, y) = = .

5. На множестве F([0; 1], R) всех непрерывных функций, определённых на [0; 1], со значениями в R метрикой будет (f, g) = .

В метрическом пространстве можно ввести понятие сходимости последовательности. Последовательность {xn}n N называется сходящейся к пределу x E, если > 0 ( N N ( n N (xn , x) < )). В этом случае пишут x = . Это определение согласуется с обычным школьным определением сходимости числовых последовательностей.

По аналогии с пространством Rn в произвольном метрическом пространстве можно ввести понятие непрерывной функции: если есть два метрических пространства (E1 , 1), (E2 , 2) , функция f : E1 E2 называется непрерывной в точке x0 из области определения D(f) функции f , если > 0 > 0 x D(f) ((x, x0) < ) ((f(x), f(x0)) < ). Функция f, определённая на множестве M, называется непрерывной на M, если она непрерывна в каждой точке множества M.

Полностью аналогично известным определениям вводится понятие непрерывности функции нескольких аргументов f : E1En E в точке области её определения (y1 ; … ; yn) D(f) E1En :

  > 0 > 0 (x1 ; … ; xn) D(f) E1En

(1(x1 , y1) < ) (n(xn , yn) < ) ((f(x1 , … , xn), f(y1 , … , yn)) < )

и непрерывной функции на множестве.

Простейшим примером непрерывной функции может служить сама метрика : EE R :

  > 0 > 0 x1 , x2 E ((x1 , y1) < ) ((x2 , y2) < )

(|(x1 , x2) – (y1 , y2)| < ).

Действительно, по неравенству треугольника, если (x1 , x2) (y1 , y2), то (x1 , x2) (x1 , y1) + (y1 , x2) (x1 , y1) + (y1 , y2) + (y2 , x2), т.е. выполняется 0 (x1 , x2) – (y1 , y2) (x1 , y1) + (y2 , x2) < 2, так что по заданному > 0 можно выбрать = / 2. Что изменится, если (x1 , x2) < (y1 , y2) ?

Другой пример непрерывных функций дают сжимающие отображения: отображение f : E E называется сжимающим, если c [0; 1) x, y E (f(x), f(y)) c·(x, y). Для получения оценки (f(x), f(y)) < достаточно выбрать = / c : (f(x), f(y)) c·(x, y) < c( / c) = .

Последовательность {xn}n N называется фундаментальной или последовательностью Коши, если

  > 0 ( N N ( n, m N (xn , xm) < )).

Метрическое пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится.

Примеры: 1. Пространство Rn с рассмотренными выше метриками (x, y) = или (x, y) = полно.

2. Метрическое пространство с тривиальной метрикой полно, т.к. любая последовательность Коши в нём имеет бесконечный “хвост” из одного и того же элемента, к которому и сходится: если {xn}n N – последовательность Коши, то взяв = 0,5 из условия N N ( n, m N (xn , xm) < 0,5) и тривиальности метрики, получим xn = xm , т.е. рассматриваемая последовательность имеет вид x1 , x2 , … , xN–1 , x, x, …. Элемент x будет её пределом (?!).

3. Пространство Q рациональных чисел с метрикой (x, y) = |xy| полным не будет. Для указания не сходящейся фундаментальной последовательности можно, например, взять бесконечную десятичную дробь

= 1,4142135623730950488016887242097…

и задать последовательность {xn}n N , беря за xn конечную десятичную дробь, состоящую из первых n цифр указанного бесконечного десятичного разложения иррационального числа : x1 = 1, x2 = 1,4 = , x3 = 1,41 = и т.д. Эта последовательность будет фундаментальной: какое бы ни взять, можно найти N со свойством 10N+1 < , и члены последовательности xn , xm при n m N будут иметь m первых одинаковых цифр, т.е.



Таким образом, эта фундаментальная последовательность не имеет предела в Q, хотя и сходится к в R.

4. Пространство F([0; 1], R) всех непрерывных функций, определённых на [0; 1] , со значениями в R и метрикой (f, g) = тоже не будет полным. Это следует из того, что любую (не обязательно непрерывную функцию) можно сколь угодно близко (по этой метрике) приблизить полиномами. Таким образом, можно построить фундаментальную последовательность полиномов, не имеющую предела в классе непрерывных функций.

Важность рассмотрения полных метрических пространств обусловлена, в частности, следующей теоремой:

^ Теорема (о неподвижной точке сжимающего отображения). Пусть в полном метрическом пространстве E c метрикой определено сжимающее отображение f : E E (т.е. отображение со свойством c [0; 1) x, y E (f(x), f(y)) c·(x, y)). Тогда у f существует единственная неподвижная точка x E: f(x) = x. Эта неподвижная точка может быть получена, например, как предел последовательности {xn}n N , где x1 = f(x0), xn+1 = f(xn), а x0 – произвольный элемент из E. При этом (x, xn) и (xn+1 , x) c·(xn , x).
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Похожие:

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры Российской Федерации Федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconМинистерство культуры российской федерации федеральное государственное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего Профессионального Образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconРоссийской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов